数列通项公式求法大全(配练习及答案)-
顶尖-
）
数列通项公式的几种求法
注：一道题中往往会同时用到几种方法求解，要学会
灵活运用。
一
、公式法
二
、累加法
三
、累乘法
四
、构造法
五
、倒数法
六
、递推公式为
S
n
< br>与
a
n
的关系式
(
或
S
n
f
(
a
n
)
@
（七）
、对数变换法
（当通项公式中含幂指数时适用）
（八）
、迭代法
（九）
、数学归纳法
已知数列的类型
一、公式法
*
a
n
a
1
(
n
1)
d
dn
a
1
d
< br>(
n
N
)
a
n
a
1
q
n
1
a
1
n
q
(
n
< br>N
*
)
q
已知递推公式
{
二、累加法
a
n
1
a
n
f
(
n
)
（
1
）
f
n
d<
/p>
（
2
）<
/p>
f
n
n
（
3
）
f
n
2
n
例
1
已知数列
{
a
n
}
，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
a
n
n
2<
/p>
满足
a
n
1
a
n
2
n
1
n
例
< br>2
已
知
数
列
{
a
n
}
满
足
a<
/p>
n
1
a
n
2
3
1
，
a
1
3
，
求
数
列
{
a
n
}<
/p>
的
通
项
公
式
。
n
（
a
n
3
n
1.
< br>）
三、累乘法
a
n
1
f
(
n
< br>)
a
n
]
（
1
）
f
n
d
（
2
）
f
n
n
，
n
n
，
2
n
<
/p>
1
n
例
3
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2(
n
1)5<
/p>
a
n
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
（<
/p>
a
n
3
2
n
1
5
n
(
n
1)
< br>2
n
!.
）
n
评注：
本题解题的关键是把递推关系
a
n
1
2(
n
1)5
a
n
转化为
a
n
1
2(<
/p>
n
1)5
n<
/p>
，
进而求
a
n<
/p>
出
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n
2
a
3
a
2
a<
/p>
1
，即得数列
{
a
n
}
的通项公式。
< br>
a
2
a
1
例
4
（
20XX
年全国
I
第
15
题，原题是填空题）
，
a
n
a
1
2
a
2
< br>3
a
3
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
1
式。
（
a
n
(<
/p>
n
1)
a
n
1
(
n
2)
，求
{
a
n
}
的通项公
n
!
.
）
2
a
n
1
n
1(
n
2)
，
a
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
(
n
1)
a
n
(
n
2)
转化为
<
/p>
进而求出
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n
2
a
3
< br>
a
2
，
从而可得当
n
2
< br>时，
a
n
的表达式，
最后再求出数列
{
a
n<
/p>
}
的
a
2
通项公式。
!
四、构造法
a
n
1
pa
n
q
a
n
1
pa
n
f
n
<
/p>
a
n
2
pa
n<
/p>
1
qa
n
（其中
p
，
q
均为常数）
。
（
1
）
a
n
1
pa
n
q
（构造等比）
a
n
1
t
pa
n
t
q
q
t
a
n
1
t
p<
/p>
a
n
p
t
q
t
p
q
t
p
1
例
5
已知数
列
{
a
n
}<
/p>
满足
a
n
1
3
a
n
4
《
（
2
）
a
n
1
pa
n
f
n
a
n
1
pa
n
q
.
m
n
（）构造等比数列
a
n
1
t
m
n
1
pa
n
qm
n
<
/p>
t
m
n
1
a
n
1
t
m
n
1
q
m
n
t<
/p>
m
n
1
p
a
n
p
(
q
t
m
)<
/p>
m
n
p
a
n
p
a
n
1
t
m
n
<
/p>
1
t
q
tm
<
/p>
p
;
q
t
p
m
（当
p
m
时用构造成累加的形式求）
n
例
6
已
知
数
列
{
a
n
}
满
足
a
n
1
< br>2
a
n
3
5
，
a
1
6
，
求
数
列
a
n
的
通
项
公
式
< br>。
n
1
n
（
a
n
2
5
）
n
n
1
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
2
a
n
3
5
< br>转化为
a
n
< br>1
5
2(
a
n
5
)
，
n
n<
/p>
从而可知数列
{
a
n
5
}
是
等比数列，进而求出数列
{
a
n
5
}
的通项公式，
最后再求出数列
{
a
n
}
的通项公式。
（）够造成累加法
a
n
1
pa
n
q
.
m
n
a
n
1
a
n
qm
n
p
n
1
p
n
p
n
1
|
a
n
1
a
n
qm
n
（回归
到累加法
）
p
n
1
p
n
p
n
1
n
例
7
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
3
a
n
< br>2
3
1
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
< br>
n
n
1
解：
a
n
1
3
a<
/p>
n
2
3
1
两边除以
3
，得
a
n
1
a
n
2
1
，
3
n
1
3
n
3
3
n
<
/p>
1
则
a
n
1
a
n
2
1
n
n
1
，故
n
1
3
3
3
3
a
n
a
n
a
n
1
a
n
1
a
< br>n
2
a
n
2
a
n
3
(
)
(
)
(
)
3
< br>n
3
n
a
n
1
a
n
1
3
n
2
3
n
2
3
n
3
(
< br>a
2
a
1
a
1
)
3
2
3
1
3
2
1
2
1
2
1
2
1
3
< br>(
n
)
(
n
1
)
(
n
2
)
(
2
)
< br>3
3
3
3
3
3
3
3
3
2(
n
1)
1
1
1
1
1
(
n
n
n
1
< br>n
2
2
)
1
3
3
3
3
3
3
1
(1
3
n
1
)
n
a
n
2(
n
< br>1)
3
2
n
1
1
因此
n
，
1
n
3
3
1
3
3
2
2
3
则
< br>a
n
|
2
1
1
n
3
n
<
/p>
3
n
.
3
2
2
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
3
a
n
2
3
1
转化为
a
n
1
a
n
< br>2
1
n
n
1
，
n
1
3
3
3
3
进而求出
(
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n
2
a
n
2
a
n
3
<
/p>
)
(
)
(
)
3
n
3
n
1
3
n
1
3
n
2
3<
/p>
n
2
3
n
3
(
a
2
a
1
a
1
a
n
，即得数列
)
n
3
2
3
1
3
3<
/p>
的通项公式，最后再求数列
{
a
n
}
的通项公式。<
/p>
n
例
8
已知数列
{
a
n<
/p>
}
满足
a
n
1
3
a
n
5
2
4
< br>，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
1
n
< br>（
a
n
13
3
5
2
2<
/p>
）
n
评注：本
题解题的关键是把递推关系式
a
n
<
/p>
1
3
a
n
5
2
4
转化为
a
n
1
5
2
n
1
2
3(
a
n
5
2
n
2)
，从而可
知数列
{
a
n
5
2
n<
/p>
2}
是等比数列，进而求
出数列
{
a
n
5
2
< br>n
2}
的通项公式，最后再求
数列
{
a
n
}
的通项公式。
2
例
9
<
/p>
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n<
/p>
1
2
a
n
3
n
4
n
5
，
a
1
1
，求数列
< br>{
a
n
}
的通项公式。
n
4
2
（
a
n
2
3
n
10
n
18
）
<
/p>
2
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
<
/p>
2
a
n
3
n
4
n
5
转化为
a
n
1
3(
n
< br>1)
2
10(
n
1)
< br>18
2(
a
< br>n
3
n
2
10
n
18)
，
？
2
2
（设
a
n
1
p
n
1
q
n
1
f
2
a<
/p>
n
p
n
1
q
n
1
f
3
n
2
4
n
<
/p>
5
）
p
3
2
2
p
q
4
p
q
f
5
2
n
<
/p>
n
a
n
1
p
n
1
q
n
1
f
=
2
<
/p>
a
n
2
2
2
p
p
3
2
p
q
4
p
q
<
/p>
f
5
，
q
，
f
）
2
2
2
2
2
从而可知数列
{
a
n
3
n
< br>10
n
18}
是等比数列，
进而求出数列
{
a
n
3
n<
/p>
10
n
18}
的通项
公式，最后再求出数列
{
a
n
}
的通项公式。
五、倒数法
a
n
1
例
10
已知数列
{
a
n
}
满
足
a
n
1<
/p>
ka
n
pa
n
q
a
n
，
2
a
n
1
。
例
11
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
a
n
2
a
n
1
六、递推公式为
S
n
与
a
n
的关系式
(
或
S
n
< br>f
(
a
n
)
)
解
法：这种类型一般利用
a
n
>
S
1
< br>
(
n
1
)
S
S
(
n
2
< br>)
n
1
n