经典数列求和公式
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数列求和的基本方法和技巧
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
.
1
、
等差数列求和公式：
S
n
< br>(
a
1
a
n
)
n
2
na
n<
/p>
(
n
1
)
1
2
d
na
1<
/p>
(
q
1
)
2
、等比数列求和公式：
< br>S
a
n
n
1
(
1
q
)
a
1
q
1
a
n
q
< br>
1
q
(
q
1
)
3
、
S
n
n
k
1
n
(
n
1
< br>)
自然数列
k
1
2
n
4
、
S
2
n
< br>
k
1
6
n
(
n
1
)(
2
n<
/p>
1
)
自然数平方组成的数列
k
1
[
例
1]
已知
log
1
3
x
log
，求
x
x
2
< br>x
3
x
n
的前
n
项和
. <
/p>
2
3
解：由
lo
g
1
3
x<
/p>
log
lo
g
1
3
x
<
/p>
log
3
2<
/p>
x
2
2
3
由等比数列求和公式得
S
n
x
x
2
x
3
< br>
x
n
1
n
＝
x
(
1
x
)
1
x
＝
2
(
1
< br>
1
2
n
)
1
＝
1
－
1
2
n
1
2
[
例
2]
设
S
n
＝
1+2+3+
…+n
，
n
∈
N
*
,
求
f
(
n
)
S
n
(
< br>n
32
)
S
的最大值
.
n
1
解：由等差数列求和公式得
S
1
n
2
n
(
n
1
)
，
S
1
n
2
(
n
1<
/p>
)(
n
2
)
∴
f
(
n
)
S
n
n
(
n
32
)
S
＝
n
1
n
2
34
n
6
4
＝
1
＝
1
1
n
34
64
n
(
n
8
2
n
< br>)
50
50
< br>
∴
当
n
8
1
8
，即
n
＝
8
时，
f
(
n
)
max
50
1
（利用常用公式）
（利用常用公式）
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二、错位相减法求和
这种方法是在推
导等比数列的前
n
项和公式时所用的方法，
这种方法主要用于求数列
{a
n
·
b
n
}
的前
n
项和，其中
{ a
n
}
、
{ b
n
}
分别是等差数列和等比数列
.
[
例
3]
<
/p>
求和：
S
n
<
/p>
1
3
x
5
x
2
7
x
3
(
2
n
1
)
x
n<
/p>
1
………………………
①
解：由题可知，
{
(
2
n
1
)
x
n
1
}
的通项是等差数列
{2n
－
1}
的通
项与等比数列
{
x
n
< br>
1
}
的通项之积
设
xS
n
1
x
3
x
2
5
x
3
7<
/p>
x
4
(
2
n
1
)
x
n
……………………….
②
①－②得
(
1
x
)<
/p>
S
4
n
1
2
x
2
x
2
2
x
3
2
x
2<
/p>
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
再利用等比数列的求和
公式得：
(
1
x
)
S
1
x
n
1
n
1
2
x
1
x
(
< br>2
n
1
)
x
n
(
2
n
1
)
x
n
1
∴
S
(
2
n
1
)
x
n
(
1
< br>
x
)
n
(
1
x
)
2
[
例
4]
<
/p>
求数列
2
2
,<
/p>
4
6
2
n
2
2
,
2
3
,
,
2
n
,
前
n
项的和
.
解：由题可知，
{
2
n
1
2
n
}
< br>的通项是等差数列
{2n}
的通项与等比数列
{
2
n
}
的通项之积
设
S
2
4
6
2
n
n
2
2
2
2
3
<
/p>
2
n
…………
………………………
①
1
2
S
2
4
6
2
2
2
2
n
n
2<
/p>
3
4
2
n
1
………………………………
②
< br>
①－②
得
(
1
1<
/p>
2
)
S
2
2
2
2
2
2
n
n
2
2
2
2
3
2
4
<
/p>
2
n
2
n
1
2
1
2
n
2
n
1
2
n
1
< br>
∴
S
n
2
n
4
2
n
1
< br>练习：
*
提示：不要觉得重复和无聊，乘公比错位相减的
关键就是熟练！
通项为
{a
n
·
b
n
},
1
、
an
是自
然数列，
bn
是首项为
1
，
q
为
2
< br>的等比数列
2
、
an
是正偶数数列，
bn
是
首项为
1
，
q
为
2
的等比数列
3
、
an
是正奇数数列，
bn
是首项为
1
，
q
为
2
的等比数列
4
、
an<
/p>
是正偶数数列，
bn
是首项为
3
，
q
为
3
的等比数列
5
、
an
是正奇数数列，
b
n
是首项为
3
，
q
为
3
的等比数列
< br>
6
、
an
是自然数列，
bn
是首项为
3
，
q
为
3
的等比数列
2
）
）
（设制错位）
（错位相减
（设制错位）
（错位相减