数列中裂项求和的几种常见模型(学习资料)
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2021年02月17日 16:16
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数列中裂项求和的几种常见模型
数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识
的掌握，又
注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求
和，所以数列求和方法是学生必
须掌握的，主要的求和方法有：公式
法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相
加法、倒序相加
法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现
频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，
以供参考。
模型一：数列
{
a
n
}
是以
d
为公差的等差数列，且
d
0
,
a
n
0
(
n
1
,
2
,
3
,
)
，则
1
1
1
1
(
)
a
n
a
n
1<
/p>
d
a
n
a
n
1
例
1
已知二次函数
y
f
'
(
x
)
6
x
2
，
数列
{
a
n
}
的前
f
(
x
)
的图像经过坐标原点，其导函数为
f
(
x
)
的
n
项和为
S
n
，
点
(
n
,
S
n
)(
n
N
)
均在函数
y
图像上。<
/p>
（Ⅰ）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）
设
b
n
n
N
1
，
T
n
是数列
{
b
n
}
的前
a
n
a
n
1
n
项和，
求使得
T
n
正
整
数
m
对所有
20
都
成
立
的
最
小
2
m
；
（
2006
年湖北省数学高考理科试题）
解：
（Ⅰ）设这二次函数
f(x
)
＝
ax
+bx
(a
≠
0)
,
则
f`(x)=2ax+b,
由于
f`(x)=6x
－
2,
得
a=3 ,
b=
－
2,
所以
f(x)
＝
< br>3x
－
2x.
又因为点
(
n
,
S
n
)(
n
N
)
均在函数
y
2
2
f
(
x
)
的图像上，所以
S
n
＝
3n
2
－
2n.
3
n
1
)
2
< br>2
(
n
1
)
＝
6
n
－
5.
当
n
≥
2
时，<
/p>
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝（
3n
－
2n
）－
（
当
n
＝
1
时，
a
1
< br>＝
S
1
＝3×1
－
2
＝6×1－
5
，
所以，
a
n
＝
6n
－
5
（
n
N
）
2
知识类
+
1