有趣的斐波那契数列例子
数一数二-
斐波那契数列
斐波那契数列的发明者，是意大
利数学家列昂纳多
·
斐波那契（
Leo
nardo
Fibonacci
，生
于公元
1170
年，
卒于
1240
年，
籍贯大概是比萨）
。
他被人称作
―
比萨的列昂纳多<
/p>
‖
。
1202
年
，他撰写了《珠算原理》
(Liber
Abacci)
一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学
理论的欧洲人。他的父亲被
比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今
日的阿尔及利亚地区，列昂纳多
因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还
曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和
普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：
1
、
1
、
2<
/p>
、
3
、
5
、
8
、
13
、
21
、
……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列通项公式
通项公式
(
见图<
/p>
)
（又叫
―
比内
公式
‖
，是用无理数表示有理数的一个范例。
< br>）
注：此时
a1=1
< br>，
a2=1
，
an=a(n-1
)+a(n-2)
（
n>=3,n
∈<
/p>
N*
）
通项公式的推导
斐波那契数列：
1
< br>、
1
、
2
、
3
、
5
、
8
、
13
、<
/p>
21
、
……
如果设
F
(n)
为该数列的第
n
项
(n
∈
N+)
。那么这句话
可以写成如下形式：
F(0) = 0
，
F(1)=1
，
F(n)=F(n-1)+F(n-<
/p>
2) (n≥2)
，
显然这是一个线性递推数列。
方法一：利用特征方程（线性代数解法）
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2,
，
X2=(1-
√5)/2
。
< br>
则
F(n)=C1*X1^n +
C2*X2^n
。
∵
F(1
)=F(2)=1
。
∴
C1*X1 +
C2*X2
。
C1*X1^2 +
C2*X2^2
。
解得
C1
=1/√5
，
C2=-
1/√5
。
∴
F(n)=(1/√5)*{[(
1+√5)/2]^(n+1)
- [(1-
√5)/2]^
(n+1)}
（
√5
表示根号
5
）
。
方法二
：待定系数法构造等比数列
1
（初等待数解法）
设常数
r
，
s
。
使得
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*
F(n-2)]
。
则
r+s
=1
，
-rs=1
。
n≥3
时，有。
F(n
)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
。
< br>
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
。
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
< br>。
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
。
联立以上
n-2
个式子，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(
2)-r*F(1)]
。
∵
s=1
-r
，
F(1)=F(2)=1
。
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
。
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*
F(n-1)
。
= s^(n-1) +
r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
。
=
s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +
r^3*F(n-3)
。
……
= s^(n-1) +
r*s^(n-2) + r^2*s^(n-
3) +……+
r^(n
-2)*s +
r^(n-1)*F(1)
。
= s^(n-1) +
r*s^(n-2) + r^2*s^(n-
3) +……+
r^(n
-2)*s +
r^(n-1)
。
（这是一个以
s^(n-1)
为首项、以
r^(n-1)
为末项、
r/s
为公比的等比数列的各项的
和）
。
=[s^(n-1)-r^(n-
1)*r/s]/(1-r/s)
。
=(s^n -
r^n)/(s-r)
。
r+s=1
，
-rs=1
的一解为
s=(1+√5)/2
，
r=(1-
< br>√5)/2
。
则
F(n
)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1)
- [(1-
√5)/2]^(n+1)}
。
方法三
：待定系数法构造等比数列
2
（初等待数解法）
已知
a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),
求数列
{an}
的通项公式。
解
:
设
an-
αa(n
-
1)=β(a(n
-1)-
αa(n
-
2))
。
得
α+β=1
。
αβ=
-1
。
构造方
程
x^2-x-1=0,
解得
α=(1
-
√5)/2,β=(1+√5)/2
或
α=(1+√5)/2,β=(1
-
√5)/2
。
所以。
an-
(1-
√5)/2*a(n
-
1)=(
1+√5)/2*(a(n
-1)-(1-
√5)/2*a(n
-
2))=[(1+√5)/2]^(n
-2)*(a2-(1-
√5)/2*a1
)```````
``1
。
an-
(1+√5)/2*a(n<
/p>
-1)=(1-
√5)/2*(a(n
-
1)-
(1+√5)/2*a(n
-2))=[(1-
√5)/2]^(n
-2)*(a2-
(1+√
5)/2*a1
)`````````2
。
由式
1,
式
2,
可得。
an=[(1+√5)/2]^(n
-2)*(a2-(1-
√5)/2*a1)``````````````3
。
an=[(1-
√5)/2]^(n
-2)*(a2-
(1+√5)/2*a1)````````
``````4
。
将式
3*
(1+√5)/2
-
式
4*(1-
√5)/2,
化简得
an=(
1/√5)*{[(1+√5)/2]^n
-
[(1-
√5)/2]^n}
。
与黄金分割的关系
有趣的是：这样一个完全是自然数
的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而
且当
n
无穷大时
(an-1)/an
越来越逼近黄金分割
数
0.618
。
1÷<
/p>
1=1
，
2÷
1
=2
，
3÷
2=1.5
，
5÷
3=1.666...
，
8÷
5=1.6
，
< br>…………
，
89÷55=1.6181818…
，
…………233÷144=1.618055…75025÷4636
8=1.6180339889…
。
..
越到后面，这些比值越接近黄金比
.
证明
:
a[n
+2]=a[n+1]+a[n]
。
两边同时除以
a[n+1]
得到：
a[n+2]/a[n+1]=1
+a[n]/a[n+1]
。
若
a[n
+1]/a[n]
的极限存在，设其极限为
x
< br>，
则
lim[n-
>∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n
-
>
∞](a[n+1]/a[n])=x
。
所以<
/p>
x=1+1/x
。
即
x²=x+1
。
所以极限是黄金分割比
。
奇妙的属性
斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前
——
比如松果、凤梨、树
叶的排列、某些花朵
的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等，有时也可能是我
们对斐波那契额数过于热
衷，把原来只是巧合的东西强行划分为斐波那契数。比如钢
琴上白键的
< br>8
，黑键上的
5
都是斐波那契数
，因该把它看做巧合还是规律呢？
随
着
数
列
项
数
的
增
加
，
前
一
项
与
后
< br>一
项
之
比
越
来
越
逼
近
黄
金
分
割
的
数
值
0.618
0339887……
从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多
1
，每个偶数项的平方都
比前后两项之积少
1
。
（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字
本身的奇偶，比如第四项
3
是奇数，但它是偶数
项，第五项
5
是奇数，它是奇数项，
如
果认为数字
3
和
5
都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）
多了的一在哪？
如果你看到有这样一个题目：
某人把一个
8*8
的方格切成四块，拼成一个
5*13
< br>的长方形，故
作惊讶地问你：
为什么
64=65
？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：
5
、
8
、
13
正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积
确实差
1
，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意
到。
斐波那契数列的第
n
项同时也代表了集
合
{1,2,...,n}
中所有不包含相邻正整数的子
集个数。
斐波那契数列（
f(n)
，
f(0)=0
，
f(1
)=1
，
f(2)=1
，
f(3)=2……
）的其他性质：
1.f
(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(
n+2)-1
。
2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n
-1)=f
(2n)
。
3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n)
=f(2n+1)
-1
。
4.[
f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)
。
<
/p>
5.f(0)-f(1)+f(2)-
…+(
-1)^n·
f(n)=(-1)^n·
[f(n+1)-
f(n)]+1
。
6.f(m+n-1)=f(m-
1)·
f(n-1)+f(m)·
f(n)
。
利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为
O
（
log n
）的程序。
怎样实现呢？伪代码描述一下
?
7.[f(n)]^2=(-1)
^(n-1)+f(n-1)·
f(n+1)
。
8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
。
9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)
。
10.
f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n
〉
m≥
-1,
且
n≥1]
斐波那契数列
11.f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2.
在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列
将杨
辉三角依次下降，成如图所示排列，将同一行的数加起来，即得一数列
1
、
1
、
2
、
3
、
5
、
8
、
……
公式表示如下：
f(1)=C(0,0)=1
。
f(2)=C(1,0)=1
。
f(3)=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2
。
f(4)=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3
。
f(5)=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5
。
f(6)=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8
。
F(7)=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C
(3,3)=1+5+6+1=13
。
……
F(n
)=C(n-1,0)+C(n-
2,1)+…+C(n
-1-
m,m) (m<=n-1-m)
斐波那契数列的整除性与素数生成性
每
3
个数有
且只有一个被
2
整除，
每
4
个数有且只有一个被
3
< br>整除
,
每
5
个数有
且只有一个被
5
整除，
每
6
个数有且只有一个被
8
< br>整除
,
每
7
个数有
且只有一个被
13
整除，
每
8
个数有且只有一个被
21
整除
,
每
9
个数有
且只有一个被
34
整除，
.......
我们看到第
5
、
7
、
11
、
13
、
17
、
23
位分别是素数：
5
，
13
，
89
，
233
，
1597
，
28657
（第
1
9
位不是）
斐波那契数列的素数无限多吗？
<
/p>
斐波那契数列的个位数：一个
60
步的循
环
11235,83145,94370,77415,61785.38190,
99875,27965,16730,33695,49325,72910…
斐波那契数与植物花瓣
3………………………
百合和蝴蝶花
5……
…………………
蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花
8………………………
翠雀花
13………………………
金盏
和玫瑰
21………………………
紫宛
34<
/p>
、
55
、
89…
…………
雏菊
斐波那契数还可以在植物的叶、枝
、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选
一片叶子，记其为数
0
，然后依序点数叶子（假定没有折损）
，直到到达与那息叶
子正
对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位
置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子
数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比
呈现为斐波那契数的比。
< br>斐波那契
—
卢卡斯数列与广义斐波那契数列
斐波那契
—
卢卡斯数列<
/p>
卢卡斯数
列
1
、
3
、<
/p>
4
、
7
、
11
、
18…
，也具
有斐波那契数列同样的性质。
(
我们可
称之为斐波那契
—
卢卡斯递推：
从第三
项开始，
每一项都等于前两项之和
f(n) =
f(n-1)+
f(n-2)
）
。<
/p>
这两个数列还有一种特殊的联系（如下表所示）
，
F
（
n
）
*L
（
n
）
=
F(2n)
，及
L
（
< br>n
）
=F
（
n-1
）
+F(n+1)
n
斐
波
那<
/p>
契
数
列
F(n)
卢
卡
斯
数
列
L(n)
F(n)*L(n)
1
1
2
1
3
2
4
3
5
5
6
8
7
13
8
21
9
34
10
55
…
…
1
1
3
3
4
8
7
21
11
55
18
144
29
377
47
987
76
2584
123
6765
…
…
类似的数列还有无限多个，我们称
之为斐波那契
—
卢卡斯数列。
如
1
，
4
，
5
，
9
，
14
，
23…
，因为
1
，
4
开头，可记作
F[1
，
4]
，斐波那契数列就是
F[1
，
1]
，卢卡斯数列就是
F[1
，
3]
，斐波那契
—
卢卡斯数列
就是
F[a
，
b]
。
斐波那契
< br>—
卢卡斯数列之间的广泛联系
①任意两个或两个以上斐波那契
—<
/p>
卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契
—
卢
卡
斯数列。
如：
F[
1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n
，
F[1,4]
n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1)
，
n
F[1,4]n
F[1,3]n
F[1,4]n-F[1,3]n
F[1,4]n+F[1,3]n
1
1
1
0
2
2
4
3
1
7
3
5
4
1
9
4
9
7
2
16
5
14
11
3
25
6
23
18
5
41
7
37
29
8
66
8
60
47
13
107
9
97
76
21
173
10
157
123
34
280
…
…
…
…
…
②任何一个斐波那契
—
卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得，
如
n
F[1,1](n)
F[1,1](n-1)
F[1,1](n-1)
F[1,3]n
1
1
0
0
1
2
1
1
1
3
3
2
1
1
4
4
3
2
2
7
5
5
3
3
11
6
8
5
5
18
7
13
8
8
29
8
21
13
13
47
9
34
21
21
76
10
55
34
34
123
…
…
…
…
…
黄金特征与孪生斐波那契
—
卢卡斯数列
斐波那契
—
卢卡斯数列的另一个共同性质：
中间项的平方数与前后两项之积的差
的绝对值是一个恒值，
斐波那契数列：
|1*1-1*2|
=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-
5*1
3|=…=1
卢卡斯数列：
|3*3-1*4|=|4*4-
3*7
|=…=5
< br>F[1
，
4]
数列：
|4*4-1*5|=11
F[2
，
5
]
数列：
|5*5-2*7|=11
F[2
，
7]
数列：
|7*7-2*9|=31
斐波那
契数列这个值是
1
最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，
我们称为
黄金特征，黄金特征
1
的数列
只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特
征是
5<
/p>
，也是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两
个数列。
而
F[1
，
4]
与
F[2
，
5]
的黄金特征都是
11
，是孪生数列。
F[2
，
7]
也有孪生数列：
F[3
，
8]
。其他前两项互质的斐波那契
—
卢卡斯数列都是孪生数列，称为孪生斐波那契
—
卢
卡斯数列。
广义斐波那契数列
斐波那契数列的黄金特征
1
，还让我们联想到佩儿数列：
1
，
2
，
5
，
< br>12
，
29
，
< br>…
，
也有
|2*2-1*5|=
|5*5-
2*12|=…=1
（该类数列的这种特征值称为勾
股特征）
。
佩尔数列
Pn
的递推规则：
P1=1
，
P2=2
，
Pn=P(n-2)+2P(n-1
).
据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：
f(n)
= f(n-1) * p + f(n-2) *
q
，
称为广义斐波那契数列。
当
p=1
，
q=1
时
，我们得到斐波那契
—
卢卡斯数列。
当
p=1
，
q=2
时
，我们得到佩尔
—
勾股弦数（跟边长为整数的直角三角形有关的
数
列集合）
。
当
p=-1
，
q=2
时，我们得到等差数列。其中
f1=1
，
f2=2
时，我们得到自然数列
1
，
2
，
3
，
4…
。自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为
1
（等差数列的
这种差值称为自然特征）<
/p>
。
具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义斐波那契数列
p=±
1
。
当
f1=1
，
f2=2
，
p=2
，
q=1
< br>时，我们得到等比数列
1
，
2<
/p>
，
4
，
8
，
16……
编辑本段相关的数学问题
1.
排列组合
有一段楼梯有
10
级台阶，规定每一步只能跨一级或两级
,
要登上第
10
级台阶有
几种
不同的走法
?
这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上
两级台阶，有两种
登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法
……
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，
13……
所以，登上十级
，有
89
种走法。
类似的
，一枚均匀的硬币掷
10
次，问不连续出现正面的可能情形有多
少种？
答案是
(1/√5)*{[(1+√5)/2]^
（
10+2
）
- [(1-
√5)/2]^
（
10+2
）
}=144
种。
2.
数列中相邻两项的前项比后项的极限
当
n
趋于无
穷大时，
F(n)/F(n+1)
的极限是多少？
< br>这个可由它的通项公式直接得到，极限是
(-
1+√5)
/2
，这个就是黄金分割的数值，
也是代表大自然的和谐的一个
数字。
3.
求递推数列
a(1)=1
，
a(n+1)=1+1/a(n)
的通项公式
由数学归纳法可以得到：
a(n)=F(n+1)/F(n)
，将斐波那契数列的通项式代入，化简
就得结果。
3.
兔子繁殖问题（关于斐波
那契数列的别名）
斐波那契数列又因数学家列昂纳多
·
斐波那契以兔子
繁殖为例子而引入，
故又称为
―
兔子数
列
‖
。
一般而言，兔子在出生两个月后，
就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小
兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后
可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对
两个月后，生下一对小兔民数共有两对
三个月
以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
经过月数
幼仔对数
成兔对数
总体对数
0
0
0
1
1
0
1
1
2
1
1
2
3
1
2
3
4
2
3
5
5
3
5
8
6
5
8
13
7
8
13
21
8
13
21
34
9
21
34
55
10
34
55
89
11
55
89
144
12
89
144
233
幼仔对数
=
前月成兔对数
成兔对数
=
前月成兔对数
+
前月幼仔对数
总体对数
=
本月成兔对数
+
本月幼仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总
体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分
明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构
成了后一项。
这个数列是意大利中
世纪数学家斐波那契在
<
算盘全书
><
/p>
中提出的，这个级数的通
项公式，除了具有
a(n+2)=an+a(n+1)
的性质外，还可以证明通项公式为：
an=
（
1/√5
）
*{[(1+√5)/2]^n
-[(1-
√
5)/2]^n}
（
n=1,2,3.....
）
数学游戏
一位魔术师拿着一块边长为
8
英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：
―
请您把
这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长
13
英尺，宽
5
英尺的长
方
形地毯。
‖
这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为两者之间面积相差达一平方英
尺呢！可是魔术
师竟让匠师用图
2
和图
3
的办法达到了他的目的！
这真是不可思议的事！亲爱的读者
，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿
去呢？
实际上后来缝成的地毯有条细缝，面积刚好就是一平方英尺。
自然界中的巧合
斐波那契数列在自然科学的其他分
支，也有许多应用。例如，树木的生长，由于
新生的枝条，往往需要一段
―
休息
‖
时间，供自身生长，
而后才能萌发新枝。所以，一
株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年
新枝
―
休息
‖
，老枝依旧萌
发；此后，老枝与
―
休息
‖
过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年
< br>―
休息
‖
。这样，
一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的
< br>―
鲁德维格定律
‖
。
另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、
蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：
3
、
5
、
8
、
13
、
21
、
……
斐波那契螺旋：具有
13
条顺时针旋转和
21
条逆时针旋转的螺旋的蓟的头
部
<
/p>
这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，
它们只是按照自然
的规律才进化
成这样。这似乎是植物排列种子的
―
优化方式
‖
，它能使所有种子具有差不多的大小却<
/p>
又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长
方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过
程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一
下子同时出现的）
，每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是
< br>222.5
度，这个角度称
为
―
黄金角度
‖
，因为它和整个圆周
360
度之比是黄金分割数
0.618033
989……
的倒数，
而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产
生。
向日葵的种子排列形成的斐波那契螺
旋有时能达到
89
，甚至
144
条。