神奇的斐波那契数列
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神奇的斐波那契数列
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神奇的斐波那契数列
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斐波那契数列指的是这样一个数列：
1
、
1
、
2
、<
/p>
3
、
5
、
8
、
13
、
21
、
……
这个数
列从第三项开始，每一项都等于前两项之
和。它的通项公式为：
(1/
√
5)*{[(1+
√
5)/2]^n -
[(1-
√
5)/2]^n}
（又叫
“
比内公式
”
，
是用无理数表示有
理数的一个范例。）（
√
5
< br>表示根号
5
）
有趣的是：这样一个完全是自然数
的数列，通项
公式居然是用无理数来表达的。
【
奇妙的属性
】
随
着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来
越逼近黄金分割的数值
0.6180339887
……
从第二项开始，每个奇数项的平方
都比前后两项
之积多
1
，每个偶数项的
平方都比前后两项之积少
1
。
（注：奇
数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指
数列的数字本身的奇偶，比如第五项的平方比
前后两
项之积多
1
，第四项的平方比前
后两项之积少
1
）
如果你
看到有这样一个题目：某人把一个
8*8
的
方格切成四块，
拼成一个
5*13
的长方形，
故作惊讶地
问你：
为什么<
/p>
64
＝
65
？其
实就是利用了斐波那契数列
的这个性质：
5
、
8
、
13
正是数列中相邻的三项，事实
上前后两块的面积确实差
1
，只不过后面那个图中有
一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。<
/p>
斐波那契数列的第
n
项同时也代表了集合
{1,2,...,n}
中所有不包含相邻正整数的子集个数。
斐波那契数列（
< br>f(n)
，
f(0)=0
，
f(1)=1
，
f(2)=1
，
f(3)=2
……
）的其
他性质：
1.f(0)+f(1)+f(2)+
…
+f(n)=f(n
+2)-1
2.f(1)+f(
3)+f(5)+
…
+f(2n-1)=f(2n)-1
3.f(0)+f(2)+f(4
)+
…
+f(2n)=f(2n+1)-1
4.[f(0)]^2+[f(1
)]^2+
…
+[f(n)]^2=f(n)
< br>·
f(n+1)
5.f(0)-f(1)+f(2)-
…
+(-
1)^n
·
f(n)=(-1)^n
·
[f(n+1)-
f(n)]+1
6.f(m+n)=f(m-1)
·
f(n-1)+f(m)
·
f(n)
利用这一点，可以用程序编出时间
复杂度仅为
O
（
log
n
）的程序。
7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1
)
·
f(n+1)
8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)
10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)
]=f(2m+2)+f(4n-2m)
[ n
〉
m
≥
-1,
且
n
≥
1]
在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列
……
过第一行的
“
1
”
向左下方做
< br>45
度斜线，之后做直
线的平行线，将每条直线所过的数
加起来，即得一数
列
1
、
1
、
2
、
< br>3
、
5
、
8
、
……
斐波那契数与植物花瓣
3
………………………
百合和蝴蝶花
5
………………………
蓝花耧斗菜、金凤花、
飞燕草
8
………………………
翠雀花
13
……
…………………
金盏草
21
………………………
紫宛
34
、
55
、
89
……………
雏菊
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中
发现。例如，在树木
的枝干上选一片叶子，记其为数
0
，然后依序点数叶子（假定没
有折损），直到到达与
那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那
契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一
个循回。叶子在一个循回
中旋转的圈数也是斐波那契
数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶
序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序
比呈现为斐波那契数
的比。
向日癸结籽盘，是对数螺线，有顺
时针也有逆时针的
两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐
< br>数，一般是
34
和
55
，大的向日癸是
89
和
144
，还曾
发现过一个更大的向日葵有
144
和
233
条螺线，都是
相继的斐数，和向日葵是一样的，还有松籽、菜花。
这种现象走到
1993
年才给出了合理的解释，
这是植物
生长的动力特性造成的，相同器官原基之间的夹角是
黄金角
------137.50776
度；这使种子的零售堆集效
率达到最高。
钢琴中的键也是斐数。
推广的斐列：
改变前两顶，
前两项不能是
1
、<
/p>
2
这样就
缺推理下去就缺了一项不是严格
意义上的推广。所以
前两项可以是
1
，
3
，
这样就是
1.3.4.7.11
，
18.
。
。
。
。
。
称之为卢卡斯数列。
卢卡斯数列前项比后项还有极限，
< br>极限还是黄金比。
再回到开始的问题，连续的十个斐数
，是第七个数的
11
倍。
推广了斐数列也
有这个特性。他的前
N
项和等于第
N+2
项减去第
2
项。
【
相关的数学问题
< br>】
1.
排列组合
有一段楼梯有
10
级台阶
,
规定每一步只能跨一
级
或两级
,
要登上第
< br>10
级台阶有几种不同的走法
?
这就是
一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一
种登法；
登上两级台阶
，
有两种登法；
登上三级台阶，
有三种
登法；登上四级台阶，有五种登法
……
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，
13
……
所以，登上十级，有
89
种走法。
2.
数列
中相邻两项的前项比后项的极限
当
n
趋于无穷大时，
< br>F(n)/F(n+1)
的极限是多少？
这个可由它的通项公式直接得到，
极限是
(-1+
√
5)/2
，这个就是黄金分割的数值，也是代表大
自然的和谐的一个数字。
3.
求递推数列
a(1)=1
，
a(n+1)=1+1/a(n)
的通项
< br>公式
由数学归纳法可以得到：
a(n)=F(n+1)/F(n)
，将
斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。