高三数学 教案 斐波那契数列通项公式推导过程
台州特产-
斐波那契数列
斐波
那契数列，又称
黄金分割
数列、因
数学
家
列昂纳多
·
斐波那契以兔子繁殖为例
子而
引入，故又称为
“
兔子数列
”
，指的是这样一个数列：
1
、
1
、
2
、
3
、
5
、
8
、
13
、
21
、
34
、
……
在数学上，
斐波纳契数列以如下被
以
递推
的方法定义：
F(1)=1
，
F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)
（
n>=3
，
n
∈
N*
）在现代物理、准晶体结构、化学等
领域，斐波纳契数列都有直接的应用，
为此，美国数学会从
19
63
年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于
专门刊载这方面的研究成果。
定义
斐波那契数列
指的是这样一个数列
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,
144, 233
，
377
，
610
，
987
，
1597
，
2584
，
4181
，
6765
，
10946
，
17711
，
28657
，
46368........
自然中的斐波那契数列
这个数列从第
3
项开始，每一项都等于前两
项之和。
斐波那契
数列
的定义者，是意大利数学家
列昂纳多
·
斐波那契
，生于公元
1170
年，卒
于
1250
年，籍贯是
比萨
。他被人称作
“
比萨的
列昂纳多
”
。
< br>1202
年，他撰写了《算盘全书》
（
< br>Liber Abacci
）一书。他是第一个研究了
印
度
和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比
萨的一家商业团体
聘任为外交领事，
派驻地点于
阿尔及利亚
地区，
列昂纳多因此得以在一个
阿拉伯老师的指导下研究数学
。
他还曾在
埃及
、
叙利亚
、
希腊、
西西里
和
普罗旺斯
等地研究
数学
。
通项公式
递推公式
斐波那契数列：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, 34, 55, 89, 144, ...
如
果<
/p>
设
F(n
）
为<
/p>
该
数
列
的
第
n
项
（
n
∈
N*
）
，
那
么
这
< br>句
话
可
以
写
成
如
下
形
式：
:F(n)=F(n-1)+F(n-2)
显然这是一个线性
递推数列
。
通项公式
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(
如上，又称为
“
比内公式
”
，是用
无理数
表示有理数的一个范例。
)
注：此时
通项公式推导
< br>方法一：利用特征方程（
线性代数
解法）
线性
递推数列
的
特征方程
为：
x²
=x+1
解得
，
.
则
∵
∴
解得
方法二：
待定系数法
构造
等比数列
1
（
初等代数
解法）
设常数
r
，
s
.
使得
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则
r+s
=1
，－
rs=1
n≥3
时，有
……
联立
以上
n-2
个式子，得：
∵
，
上式可化简得：
那么
……
（这是一个以
为首项、以
为末项、
为公比的
等比数列
的各项的和）
。
，
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的解为
则
方法三：
待定系数法
构造
等比数列
2
（初等代数解
法）
设
得
构造方程
解得
，所以
由<
/p>
(1)(2)
式得
化简可得
方法四：母函数法。
对于斐波那契数
列
{a
n
}
，
有
a
1
=a
2
=1,a
n
=a
n-1
+a
n-2
(n>2
时
)
令
S(x)=a
1
x+a
2
x
+…+a
n
x
n
+...
那么有
S(x)*(1-x-x²
)=a
1
x+(a
2
-a
1
)x²+…+(a
n
-a
n-1
-a
< br>n-2
)x
n
+...=x
因此
S(x)=
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.
不难证明
1-x-x²
=-(x+
)(x+
)=(1-
*x)(1-
*x).
因此
S(x)=
*[x/(1-
*x)-x/(1-
*x)].
再利用展开式
1/(1-
x)=1+x
²+…+x
n
+…
< br>于是就可以得
S(x)=b
1
x
+b
2
x²+…+b
n
x
n
+…
其中
b
n
=
*[(
)
n
-
(
)
n
].
因
此可以得到
a
n
=b
< br>n
=
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*[(
)- (
)]
与黄金分割
关系
有趣的是，
这样一个完全是
自然数
的数列，
通
项公式却是用
无理数
来表达的。
而且当
n
趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近
黄金分割
0.618
（或者说后一项与前一
项的比值小数部分越来越逼近
0.618
）
。
1÷
1=
1
，
1÷
2=0.5
< br>，
2÷
3=0.666...
，
3÷
5=0.6
，
5÷8=0.625…………
，
55÷89=0.6179
77……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886….
..
越到后面，这些比值越接近黄金比
.
证明
两边同时除以
得到：
。
若
则
。
所以
的极限存在，设其极限为
x
，
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。
由于
解得
所以极限是黄金分割比。
特性
平方与前后项
从第二项开始，每个偶
数项的
平方
都比前后两项之积少
1
，每个奇数项的平方都比前
后两项之积多
1
。
如：第二项
1
的平方比它的前一项
1
和它的后一
项
2
的积
2
少
1
，第三项
2
的平方比
它的前一项
1
和它的后一项<
/p>
3
的积
3
多
1
。
（注：
奇数项和偶数项是指项数的奇偶
，而并不是
指数
列的数字本身的奇偶，比如从
数列第二项
< br>1
开始数，第
4
项
5
是奇数，但它是偶数项，如果认为
5
是奇数项，那就误解
题意，怎么都说不通）
证明
经计算可得：
[f(n)]^2-f(n
-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)
与集合子集
<
/p>
斐波那契数列的第
n+2
项同时也代表了
集合
{1,2,...,n}
中所有不
包含
相邻正
整数
的
子集
个数。
奇数项求和
偶数项求和
平方求和
隔项关系
f(2n-2m-2)[f
(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n
〉
m≥
-1
，且
n≥1]
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