后来者居上-

2021年2月17日发(作者：卢浮宫)

华中农业大学本科毕业论文（或设计）

斐波那契数列

摘

要

通过对斐波那契数列的定义、性质，以及它的属性的研究，介绍斐波那契数列在各

< p>
个领域，包括数学界，自然界以及社会生活的应用，从而了解和研究斐波那契数列。

关键词

斐波那契数列；定义和性质；应用

Geometry - the arithmetic mean inequality and its application in

algebra

I

华中农业大学本科毕业论文（或设计）

Abstract

Geometry - the arithmetic average of inequality is very important inequality

，

The most

widely used in modern analytical mathematics

，

Many of the conclusions proved to be using

this inequality on the basis of

，

Clever use of this inequality can make many of the problems is

a beautiful solution

，

Brought a lot of convenience for our research work. The proof of this

inequality and we are interested in.

With the inequality continues to be proven and be used to prove the other conclusions

，

Lead

to

the

use

of

inequality

greatly

advance.

Geometry

-

the

arithmetic

average

of

the

inequality in the extreme value, the conditional extremum seeking some iterative series limit,

series convergence and inequality derivation of a large number of widely used

，

Apply this

inequality can be many unexpected results

，

It also results of the use and development of a

variety

of

transformation.

On

the

geometry

-

the

arithmetic

mean

inequality

research

and

extension,

our

problem-solving

ideas

will

be

to

develop

mathematical

thinking

will

be

a

corresponding

increase

in,

which

is

of

practical

significance

to

explore

some

of

the

substantive issues.

Key words

Geometry - the arithmetic average of inequality

Elementary Proof The use of inequality

II

华中农业大学本科毕业论文（或设计）

1

引言

1.1

研究背景和意义

< p>
公元

1202

年，意大利数学家列昂纳多·斐波那 契（

Leonardo Fibonacci

，生于公元

1170

年，卒于

1240

< br>年，籍贯大概是比萨）撰写了一本《珠算原理》

，他被人称作“比萨的列

昂纳多”

，

他是第一个研究印度和阿拉伯数学的 欧洲人，

书中提到了一种数列：

1

、< /p>

1

、

2

、

3

、

5

、

< p>
8

、

13

、

21

·

·

·

·

·

·

这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。这个数

列引起了很多数学家的关 注，后来人们称其为斐波那契数列。书中的兔子问题，也被誉

为经典的数列模型。继兔子 问题以后，斐波那契数列得到了蓬勃的发展。至今为止，斐

波那契数列不光在数学领域，

在物理，

化学甚至金融领域等各个领域都有了广泛的应用。

1.2

研究现状

目前关于斐波那契数列的相 关研究比较多，

主要研究斐波那契数列的性质以及在各

领域的应 用，美国数学会

1960

年出版了《斐波那契数列》季刊，专门 研究斐波那契数

列。

1.3

本文的主要工作及内容

本文通过查阅 相关资料了解了斐波那契数列的定义以及性质，

介绍斐波那契数列在

各个领域的应用，从而解读斐波那契数列。

2

斐波那契数列的定义和性质

2.1

斐波那契数列的定义

定义

：一个数列，前两项都为

1

，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个

数列称为斐波那契数列，又称 黄金分割数列。

表达式

< p>
F

0

=1,

F

< p>
1

=1,

F

n

< p>
=

F

n-1

+

< p>
F

n-2

(

n

< p>


N



)

通项公式







1

< br>



1



5

1



5









F

n



















5



< br>

2





2









（又叫“比内公式”

，是用无理数表示有理数的一个范例）

比较有趣的是：一个完全是自然数的数列，通项公式竟然是用无理 数表示的。

n

n

2.2

斐波那契数列通项公式的证明

下面是其通项公式的几种证明方法：

方法一（利用特征方程）

1

华中农业大学本科毕业论文（或设计）

线性递推数列的特征方程为：

x

2



x



1

1



5

1



5

解得：

x

1



，

x

2



2

2

则

F

n



c

1

x

1

n



< br>c

2

x

2

n

∵

F

1



F

2



1



1



c

1

x

1



c

2

< br>x

2

1

1

∴



解得：

；

c



c





1

2

2

2

1



c

x



c

x

< br>5

5



1

1

2

2

n

n

1





1



5





1



5











< br>

∴

F

n



















5





2





2









方法二（递推法）

：

设



n



N



,



r

,

s



R



< br>“

n



3



F

n



r F

n



1

< /p>

s

(

F

n



1



rF

n



2

)

”

< br>由

F

n



F

n



1



F

n



2

有

r



s



1

，

rs

< p>




1

因此当

n



3

时有：

F

n



rF

n



1

< br>

s

(

F

n



1



r F

n



2

)< /p>

F

n



1



rF

n



2



s

(

F

n



< br>2



rF

n



3

)

F

n



2

< /p>

rF

n



3



s

(

F

n



3



rF

n



4

)

„„

< /p>

F

3



rF

2



s

(

F

2



rF

< p>
1

)

将以上

< p>
n



2

个式子相乘得：< /p>

F

n



rF

n



1



s

n



2

(

F

2



< br>rF

1

)

上式可化简得：

< br>F

n



s

n



1



r F

n



1

< /p>

F

n

1

r

F

n



1

< p>
F

n

1

r







T

T





T

n



1

同时 等式两边除以

s

n

得：

n

，令

有：

n

n

s

s

s

s

n



1

s

n

s

s

1< /p>

r

则有：

T

n< /p>



1





T

n



2

< p>
；

s

s

r

因此

T

n

< br>

T

n



1



(

T

n



1



T

n



2

)

s

r

T



T

r

所以：

n

n



1

< br>

，

所以有数列



T

n



T

< br>n



1



为首项为

T

2



T

1

，

公比为

的等比数列。

s

T

n



1



< br>T

n



2

s

r

因此：

T

n



T

n



1



(

T

2



T

1

)(

)

n



< p>
2

s

1

r

又与

T

n

< br>



T

n



1

联立消去

T

n



1

得：

s

s

F

n

r

n



s

n

由

F

1



F

2



1

，

n

< br>

T

n

得：

T

n



n

，

s

s

(< /p>

r



s

)

r

n



s

< p>
n

n

又

F

n



T

n

s

得：

F

n



r



s

1



5

1



5

由

r



s



1

，

rs





1

得：

s



< br>

，

t



2

2

2

华中农业大学本科毕业论文（或设计）

n

n











1

1



5

1



5









综上所述：

F

n















< br>



5





2





2









方法三（黄金分割法）

：

< p>
1

2

1



5

1



5

因为

,

是方程

x

< br>2



x



1



0

的两根（其中



黄金分割比）

。

x

1

1



5

2

2

x

2

< br>

x



1



0

得到

x

2



x



1< /p>

,

再左右同时乘以

x

n

即得到：

n

< br>

2

n



1

n

x

1



x

1



x

1

①

x

2

n



2



x

2

n



1

n



x

< br>2

②

由①

,< /p>

②容易得到

:

n

1

x

1

n

n< /p>



2



x

2

x

1



< p>
x

2

n



2



x

1

n



1



x

2

x

1

< /p>

x

2

n



1

x



x

< p>
2



1

x

1



x

2

n

n

n

n







< /p>



x



x

2

1

1



< p>
5

1



5









现在我们令

F

n



得：

F

n

< br>

















x

1



x

2

5





2





2









< br>

其实斐波那契数列通项公式的证明有很多种，本文只 是介绍了其中的三种，下面我们

来研究斐波那契数列有那些性质。

2.3

斐波那契数列的性质及其证明

性质一

、若数列

{

F

n

}

为斐波那契数列，则

lim

割比。

证明 ：我们记：

x

1



1



5

1



5

，

x< /p>

2



则有

2

2

n



1

n

n

F

n



1

1

< br>

5

x

1

n



1



x

2

x

2

(

x

1



x

2

)

x

2







x

< br>1





5

n

n

n

n

n

n

F

n

2

x

1



x

2

x

1



x

2

x

< br>1



x

2

n

2

F

n



1

1



5

；其中

为黄金分



n



F

2

1



5

n

n

因此，我们分别讨论

n

为奇数、偶数的两种 情形，因为

x

2

有符号之别；

n

n



x

2



x

< br>2

x

2

ⅰ）当

< br>n

为奇数时有：

5

n

< p>


5



5





n

n

x

1



x

2

x

1

< /p>

x

1



所以







0

，取

N



log

x

2



x

< p>
1

5

，则

n



N

时有：

F

n



1

1

< br>

5







F

n

2

F

n



1

1



5

。



n



< p>
F

2

n

这正好说明

n

为奇数时成立，下面我们证明

n

< p>
为偶数时。

即

lim< /p>



x

2



x

x

ⅱ）当

n

为偶数时有：

5

n



(

5



1)< /p>



(

5



1)





n

x

1



x

2

x



< br>x

1



n

2

n

2

n

1

n

3

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