兔子数列,数学
凡尔赛和约-
兔子数列
即斐波那契数列
,“
斐波那契数列
”
的发明者，是
意大利
数学家列昂纳多
·
斐波那契（
Leo<
/p>
nardo
Fibonacci
，生于
公元
1170
年，卒于
1240
年。籍贯大概是比萨）。他被人称
作
“
比萨的列昂纳多
”
。
斐波那
契数列指的是这样一个数列：
0
，
1<
/p>
，
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，
13
，
21……
这个数列从
第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的
通项公式
为：
(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n
-
[(1-
√5)/2]^n}
【
√5
表示根号
5
】
很有趣的是：
这样一个完全是
自然数
的数列，
通项公式居然是用
无理数
来表达的。
【该数列有很多奇妙的属性】
比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金
分割
0.61803398
87……
还有一项性质，从第二项开始，每
个
奇数
项的平方都比前后两项之积多
1
，每个
偶数项的平方都比前后两项之积少
1
。
如果你看到有这样一个题目：某人把一个
8*8
的方格切成四块，拼成一个
5*13
的
长方形
，故作惊讶地问你：为什么
64
＝
65
？其实就是利用了斐波那契数列的这个
性质：
5
、
8
、
13
正是数列中相邻的三项，事实上前后两块
的面积确实差
1
，只不过
后面那个图中
有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
如果任意挑两个数为起始，比如
5<
/p>
、
-2.4
，然后两项两项地相加下去，
形成
5
、
-
2
.4
、
2.6
、
0.2
、
2.8
、
< br>3
、
5.8
、
< br>8.8
、
14.6……
等，你将
发现随着数列的发展，前后两
项之比也越来越逼近黄金分割，
且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某
个值。
斐波那契数
列的第
n
项同时也代表了集合
{1,2
,...,n}
中所有不包含相邻正
整数
的
子集个数。
【斐波那契数列别名】
斐波那契数列又因数学家列昂纳多
·
斐波那契以
兔子
繁殖为例子而引入，故又称
为
“
兔
子数列
”
。
斐波那契数列
一般而言，兔子在出生两个月后，
就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小
兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后
可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对
;
两个月后，生下一对小兔民数共有两对
;
三个月
以后，老兔子又生下一对，
因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对
;
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
经过月数：
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
兔子对数：
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
表中数字
0
，
1
，
1<
/p>
，
2
，
3
，
5
，
8
－－－构成了一个数列。这个数列有关十分明显
的特点，那是：前面相邻两
项之和，构成了后一项。
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提
出的，
这个级数的
通项公式，
除了具有
a(n+2)=an+a(n+1)/
的性质外，
还可以证明通项公式为：
an=1/√[
（
1
＋
√5/2)
n
-(1-
√5/2)
n](n=1,2,3.....
）
【斐波那挈数列通项公式的推导】
斐波那契数列：
0
< br>，
1
，
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，
13
，
21……
如果设
F
(n)
为该数列的第
n
项
(n
∈
N+)
。那么这句话
可以写成如下形式：
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-
2)
(n≥3)
显然这是一个
线性
< br>递推数列。
通项公式的推导方法一：利用特征
方程
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2,
X2=
(1
-
√5)/2.
则
F(n)=C1*X1^n
+
C2*X2^n
∵
F(1)=F(2)=1
∴
C1*X1
+
C2*X2