比例的意义和性质
武昌鱼的做法-
中小学
1
对
1
课外辅导专家
武汉龙文教育学科辅导讲义
授课对象
授课时间
课
型
复习
授课教师
授课题目
使用教具
比例的意义和性质
讲义
纸
笔
1
、理解
并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质解比例；
教学目标
2
、理解比例尺的意义，能看懂线段比例尺。会求一幅图的比例尺；
教学重点和难点
教学重点：
比例的性质。
教学难点：
求解比例尺。
教学流程及授课详案
小学数学总复习归类讲解及训练
（五）
主要内容
比例的意义和基本性质
考点分析
1
、把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定
的比放大或缩小。
2
、表示两个比相等的式子叫做比例。
3
、组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的
外项，中间的两项叫
做比例的内项。
4
、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。
5
、根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意
三项，就可以求出这个比例中的另
一个未知项。求比例的未知项，叫做解比例。
典型例题
例
1
、
（把图形按某个比相应放大或缩小，形状
没有改变，只是大小变了）
A
B
C
（
1
）长方形
A
的长是
1.5
厘米，宽是
1
厘米；长方形
B
的长是
3
厘米，
宽是
2
厘米。
这两个长方形的长有什么
关系？宽呢？
（
2
< br>）如果要把长方形
A
按
1:2
的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？各是多少？
龙文教育·教育是一项良心工程
中小学
1
对
1
课外辅导专家
分析与解：
（
1
）长方形
B
的长是长方形
A
的<
/p>
2
倍，宽也是长方形
A
< br>的
2
倍。或者说长
方形
B
和长方形
A
长的比是
2:1
，宽的比也是
2:1
。
把长方形的每条边放大到原来的
2
倍，
放大后的长方形的长和宽与原
来长方形的比是
2:1
，
就是
把长方形
A
的长和宽按
2:1
的比进行放大。
（
2
）把长方形
A
按
1:2
的比缩小后为长方形
C
，长、
宽缩小为原来的
1
，
2
图
C
的长是
0.75
厘米，图
C
的宽是
0.
5
厘米。
由此可见，
放大或缩小前后图形形状没有改变，
还是长方形，
只是
大小变了。
例
2
、
（根据指定的比，将图形按要求放大或缩小）
先按
3:2
的比画出长方形
A
放大后的图形
B
，
再按
1:2
的比画出长方形
A
缩小后的图形
C
。
< br>（
1
）图
B
的长、宽各是几格？（
2
）图
C<
/p>
呢？（
3
）观察这三幅图形，你有什么发
现？
A
B
C
分析与解：
（
1
）按
3:2
< br>的比将长方形
A
放大，即将长方形
A
的长与宽分别扩大
1.5
倍，那么
图
B
的长为
6
×
1.5 = 9
格，宽为
4
×
1.5 = 6
格。
（
2
）按
1:2
的
比将长方形
A
缩小，
即将长方形
A
的长与宽分别缩小到原来的
1
，
那么图
2
C
的长为
6
÷
2 = 3
格，宽为
4
÷
2 = 2
格。
（
3
）从这三幅大小不同的图形
上可以看出，放大或缩小后的
图形与原来的图形比较，大小虽变了，
但形
状不变，而且各条边
长度的变化都符合指定的比。
点评：
按比例放大图形或缩小图形，
关键是要先根据比确定是放大还是缩小，
< br>然后确
定好每条边的长度，画出图形就行了。
例
3
、
（将两个相等比
写成一个等式）
图
B
是由图
A
放大后得到的，
你能
分别写出这两幅图中各自的长与宽的比吗？比较写
出的两个比，你有什么发现？
B
A
3
厘米
6
厘米
4
厘米
8
厘米
分析
与解：
（
1
）图
A
中长与宽的比是
4:3
；图
B
中长与宽的原始比是
8:6
，而
8:6
化
简后就是
4:3
。
（
2
）这两个比化简后都是
4:3
，比值相等，说明这两个比可以写成一个等式。即
4:3 =
8:6
或
4
8
=
，都读作：
4
比
< br>3
等于
8
比
6
。
3
6
2
中小学
1
对
1
课外辅导专家
例
4
、
（认识比例）
下面哪几组中的两个比能组成比例，把组成的比例写下来。
（
1
）
5
：
6
和
15
：
18
（
2
）
0.2
：
0.1
和
3
：
1
（
3
）
1
1
3
1
：
和
1.2
：
0.8
（
4
）
6
：
2
和
：
2
3
8
8
分析与解：
分别求出每组中两个比的比值，<
/p>
如果相等就组成比例，
不相等就不能组成比例。
< br>
（
1
）
因为
5
：
6
=
5
5
，
15
：
18 =
，所以
5
：
6
= 15
：
18
。
<
/p>
6
6
（
2
）
因为
0.2
：
0.1
=
2
，
3
：
1 =
3
，所以
0.2
：
0.1
和
3
：
1
不<
/p>
能组成比例。
（
3
）
因为
0.8
。
（
4
）
6
：
2
=
3
，
1
1
3<
/p>
3
1
1
：
=
，
1.2
：
0.8
=
，所以
：
= 1.2
：
2
3
2
2
2
3
3
1<
/p>
3
1
：
=
3
，所以
6
：
2
=
：
。
8
8
8
8
点评：
判断两个比能不能组成比例，可以像题目中的方法一样，求出两个比的比值，
比值相等就能组成比例，否则就不行。这样解题的依据是比例的意义。
例
5
、
（比例的各部
分名称和比例的基本性质）
一台织布机
3
小时织布
3.6
米，
4
小时织布
4.8
米。你能
根据数量间的关系写出比例吗？
分析与解：
< br>（
1
）这台织布机织布米数和织布时间的比相等。
3.6
：
3
= 4.8
：
4
< br>（
2
）这台织布机织布米数的比和织布时间的比相等。<
/p>
3.6
：
4.8
= 3
：
4
（
3
）
这台织布机织布时间和织布米
数的比相等。
3
：
3.6
=
4
：
4.8
介绍“项”
：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间<
/p>
的两项叫做比例的内项。例如：
3.6
：
3
=
4.8
：
4
内项
外项
观察题中的三个比例，你有什么发现？
3.6
：
3
= 4.8
：
4 3.6
：
4.8
= 3
：
4 3
：
3.6
= 4
：
4.8
（
1
）
3.6
和
4
可以同时做比例的外项，也可以同时做比例的内项。
（
2
）
3.6
×
4 = 3
×
4.8
，可见在比例中两个外项的积等于两个内项的积。
（
3
）如果把
3.
6
：
3
=
4.8
：
4
改写成分数形式
3
.
6
4
.
8
=
，等号两边的分子、
3
4
分母
分别交叉相乘，结果也相等。
（
4<
/p>
）如果用字母表示比例的四个项，即
a : b = c :
d
，
那么这个规律可表示成
ad = bc
或
bc =
ad
。
（
5
）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。
例
6
、
（比例基本性质的应用）
根据
2
×
7 = 1.4
×
10
这个等式写出几个比例。
分析与
解：
根据比例的基本性质，
可以得出
2
和
7
、
1.4
和
10
这两组数要么同时是比
例的外项，要么同时是比例的内项。
1.4
: 2 = 7 : 10 1.4 : 7 = 2 : 10
3
中小学
1
对
1
课外辅导专家
10 : 2 = 7 :
1.4 10 : 7 = 2 : 1.4
2
: 1.4 = 10 : 7 2 : 10 = 1.4 : 7
7 : 1.4 = 10 : 2 7 :
10 = 1.4 : 2
点评：
像这样的比例一共可以写<
/p>
8
个。
但它们不变的是
< br>2
和
7
要么同时为内项，
要么
同时为外项，而
1.4
< br>和
10
这一组数也一样。写的时候可以一组一组地写了。
例
7
、
（按比例放大的含义）
王叔叔在电脑上将
下图按比例放大，放大后的图片的长是
12.5
厘米，你有什么
发现？
4
厘米
5
厘米
分析
与解：
按比例放大就是把原图形中的各部分线段都按相同的比放大，
放大前后的
相关线段的厘米数是可以组成比例的。
两张图片
长的比与宽的比可以组成
比例，两张图片中各自长、宽的比也可以组成比例。
12.5 : 5 =
宽
: 4
或
12.5 :
宽
= 5 : 4
例
8
、
（解比例）
上图中宽是
多少厘米？
分析与解：
在解比例时，
根据比例的基本性质把比例转化为积相等的式子，
然后再根
据等式的性质来解答。
解：设宽是ⅹ厘米。
12.5 :
5 =
ⅹ
: 4
5
ⅹ
= 12.5
×
4
┈┈
根据比例的基本性质
5
ⅹ
=
50
ⅹ
=
10
答：
放大后图片的宽是
10
厘米。
点评：<
/p>
像上面这样求比例中的未知项，叫做解比例。
同学们，你会解答
5
12
.<
/p>
5
=
这个比例吗？试试看吧！
4
模拟试题
1
、
一张长方形图片，
长
12
厘米，
宽
9
厘米。
按
1
:
3
的比缩小后，
< br>新图片的长是
（
）
厘米，宽是（
）厘米，这张图片（
）不变，大小（
）。
<
/p>
2
、一块正方形的花手帕，边长
10
厘米，将其按（
）的比放大后，边长变为
30
厘米。
3
、按
2
:
1
的比画出平行四边形放大后的图形，按
1
:
3
的比画出长方形缩小后的图形。
4
中小学
1
对
1
课外辅导专家
4
、应用比例的意义，判断下面哪一组中的两个比可以组成比例？<
/p>
6
∶
10
和
9
∶
15
20
∶
5<
/p>
和
4
∶
1
5
∶
1
和
6
∶
2
5
、
在
2
∶
5
、
12
∶
0.2
、
310
∶
15
三个比中，
与
5.6
∶
1
4
能组成比例的一个比是
(
)
。
6
、在比例里，两个（
）的积和两个（
）积相等。
7
、如果
A
×
3=B
< br>×
5
，那么
A
< br>∶
B= (
)
∶
(
)
。
8
、从
6
、
24
、
20
、
18
与
5
这五个数中选出四个数组成一个比例是
：
(
)
∶
(
) = (
)
∶
(
)
。
9
、
根据
3
×
8 = 4
×
6<
/p>
写成的比例是
（
）
、
（
）
或
（
）
。
10
、甲数的
25%
等于乙数的
75%
，那么甲数与乙数的比是（
）∶（
）
。
13
、解比例
7
1
9
4.5
1
2
1
ⅹ∶
3 =
∶
=
∶
=
∶
x
8<
/p>
4
x
0.8
6<
/p>
5
2
3
3
1.3
x
∶
x = 3
∶
12
∶
x =
5
％∶
0.6
=
4
8
18
3.6
1
4
、
在一个比例里，
两个外项的积是<
/p>
30
，
已知一个内项是
< br>10
，
另一个内项是
（
）
。
（六）
主要内容
比例尺、面积变化、确定位置
5
中小学
1
对
1
课外辅
导专家
考点分析
< br>1
、图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
2
、比例尺
=
图上距离
，比例尺有两种形式：数
值比例尺和线段比例尺。
实际距离
1
）后，
n
3
、
把一个平面图形按照一定的倍数（
n
）放大或缩小到原来的几分
之一（
放大（或缩小）后与放大（或缩小）前图形的面积比是
n
²
:1
（或
1
:n
²
）
。
4
、知道
了物体的方向和距离，就能确定物体的位置。
5
、根据物体的位置，结合比例尺的相关知识，可以在平面图上画出物体的位置
。画
的时候先按方向画一条射线，在根据图上距离找出点所在的位置。
< br>
6
、描述行走路线要依次逐段地说，每一段都应说出行
走的方向与路程。
典型例题：
例
1
、
（认识比例
尺）
王伯伯家有一块长方形的菜地，长
40
米，宽
30
米。把这块菜地按一
定的比例缩小，
画在平面图上长
4
厘米
，
宽
3
厘米。
你能分别写出菜地长、
宽的图上距离和实际距离
的比吗？
分析与解：
图上距离和实际距离的单位不同
，先要统一成相同的单位，写出比后再化简。
40
米
=
4000
厘米
3
厘米
=
0.03
米
4
1
0
.
03
3
1
=
=
=
4000
1000
30
3000
1000
图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
图上距离
:
实际距离
=
比例尺或
图上距离
=
比例尺
实际距离
1
，
1000
图上距离和实际距离
的比是
1:1000
，这幅图的比例尺是
1:1000
，也可写成
仍读作
1<
/p>
比
1000
。
点评：
求一幅地图的比例尺是一种比较简单的题目。
做的时候唯一要注意的就是末尾
0
的问题：一是米
、千米化成厘米的时候要在米、千米那个数的末尾加上
2
、
5
个
0
；二是在求
比例尺的结果时要注意
0
的个数。多数一数、想一想，是不会<
/p>
有错的。
例
2
、
（对比例尺的理解及比例尺的两种表示方法）
比例尺
1:1000
表示图
上距离是实际距离的几分之几？实际距离是图上距离的多少
倍？图上
1
厘米表示实际距离多少米？
分
析与解：
比例尺
1:1000
表示图上
距离是实际距离的
1
，实际距离是图上距离
1000
的
1000
倍，图上
1
厘米的距离代表实际距离
1000
厘米，即
10
米。
像形如
1:1000
这样的比例尺叫做
数值比例尺。比例尺
1:1000
还可以这样
< br>表示
0 10 20
30
米
，这是线段比例尺，它表示图上
1
厘米
的距离代
表实际距离
10
米。
例
3
、一个手表零件
长
2
毫米，画在一幅图上长
4
厘米，这幅图的比例尺是多少？
6