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2021年2月17日发(作者：曾以深情赴白头)

一张

A4

纸最大能包立体图形最大体积的建模分 析

一、问题重述。

现有一张

A4

< br>纸，用它纸包住一个闭合的空间，不一定要求把纸边重叠起来，

现用它来包装正方 体、长方体、球体、圆锥体等，求包装上述形体的东西时所包

装物体体积最大值。

建模要求：

（

1

）包装的方法要有图例说明

（

2

）至 少给出两种以上形体的包装方法，并说明理由。

二、模型的假设。

1

、假设这张纸没有厚度，可以随意折叠。

2

、假设这张纸不能拉大，也不许剪破。

3

、假设建模的模型能够完全覆盖被装的物体。

三、

符号假设

。

a

代表长方体的宽。

b

代表长方体的高。

c

代表长方体一半的宽。

d

代表长方体的长。

v

代表物体的体积。

r

为圆的半径。

h

为圆锥的高。

l

为圆锥的母线长

四、模型的建立和求解。

模型一：长方体

A4

纸大小为为

21cm

×

29. 7cm.

要使得被包住图形的体积最大，

则要使得重叠的面

积最小，首先我们可以考虑将其直接包起来的情况。

b

a

d

c





a< /p>



2

b



2

c



21



d



8.7



4

c





a



2

< br>c







a



2

c



d



2

b



29.7



21



4

c





b





2

2

1



4

c

v

< br>

a

b

d



(

8.

7



4

c



)< /p>

2

c



2

得：

2

3



(

8.

7

< p>


c

4

)

(

c

2



1

c

4



)



c

1

< /p>

6

求

2

c

4

< p>
9.



2

c

1

8

2.

7

令

v

,





48

c

2



98.4

c



182.7=0

求得

v

,

=3.228

还有一解舍去。

可以求出

v

=566.86

cm

max

3

接着

我们 从无盖的长方体体积最大，

想到无盖的两个长方体拼起来就是一个有盖

< br>的长方体了，进行第二次包装。

b

a

c



c

+2

b

=21



c

=21- 2

b





其中

b



7.25





a

+2

b

=14.5



a

=14.5-2

b

v=2

abc

=(21-2b)



(14.5-2b)< /p>



2b

=8b

3

-142b

2

-609b

令

v

,

=24b

2

-284b-609=0



b=2.8584

v

max

= 2abc=797.97

cm

3

模型二：正方体。

首先受长方体的影响，正方体就是特殊的长方体，如下图所示：

b

a

c



a=

c

=2

b

令





2

b

=7.25

cm< /p>



4

b

=21< /p>

v

max

=(2b)

3

=381.07

cm

3

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