概率公式大全
iq测试-
第一章
随机事件和概率
（
1
）排列组
从
m
个人中挑出
n
个人进行排列的可能数。
合公式
从
m
个人中挑出
n
个人进行组合的可能数。
加法原理（两种方法均能完成此
事）
：
m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由
m
种方法完成，
第二种方法可由
n
种
（
2
）加法和
方法来完成，则这件事可由
m+n
种方法来完成。
乘法原理
乘法原理（两个步骤分别不
能完成这件事）
：
m×
n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由
< br>m
种方法完成，第二个步骤可由
n
种
方法来完成，则这件事可由
m×
n
种方法来完成。
重复排列和非重复排列（有序）
（<
/p>
3
）一些常
对立事件（至少有一个）
见排列
顺序问题
（
4
）随机试
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，
而每次试验的可能结果不止一个，
但在
验
和
随
机
事
进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
件
试验的可能结果称为随机事件。
在一
个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下
性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
（
5
）基本事
这样一组事
件中的每一个事件称为基本事件，用
来表示。
件、样本空间
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用
表示。
和事件
一个事件就是由
中的部分点（基本事件
）组成的集合
。通常用大写字母
A
，
B
，
C
，
…
< br>表示事件，它们是
的子集。
为必然事件，
Ø
为不可能事件。
不可能事件（
Ø
）
的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必
然事件（
Ω
）的概率为
1
，而概率为<
/p>
1
的事件也不一定是必然事件。
①关系：
如果事件
< br>A
的组成部分也是事件
B
的组成
部分，
（
A
发生必有事件
B
发生）
：
如果同时有
，
，则称事件
A
与事件
B
等价，或称
A
等于
B
：
A=B
。
A
、
B
中至少有一个发生的事件：
A B
，或者
A+B
。
属于
A
而不属于
B
的部分所构成的事件，称为
A
与
B
的差，记为
A-B
，也可表示
为
A-AB
或者
，它表示
A
< br>发生而
B
不发生的事件。
（
6
）事件的
A<
/p>
、
B
同时发生：
A B
，或者
AB
。
< br>A B=Ø
，则表示
A
与
B
不可能同时发生，称事件
关系与运算
A
与事件
B
互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A
称为事件
A
的逆事件，或称
A
的对立事件，记为
。它表示
A
不发生的事件。
互斥未
必对立。
②运算：
结合率：
A(BC)=(AB)C
A
∪
(B
∪<
/p>
C)=(A
∪
B)
∪
C
分配率：
< br>(AB)
∪
C=(A
∪
C)
∩(B
∪
C)
(A
∪
B)∩C=(AC)
∪
(BC)
德摩根率：
，
设
为样本空间，
为事件，对每一个事件
都有一个实数
P(A)
，若满足下列三个条
（
7
）概率的
件：
公理化定义
1°
0≤P(A)≤1
，
2° P(Ω)
=1
3°
对于两两互不相容的事件
，
，
…
有
常称为可列（完全）可加性。
<
/p>
则称
P(A)
为事件
的概率。
1°
，
2°
。
<
/p>
（
8
）古典概
设
任一事件
，它是由
组成的，则有
型
P(A)=
=
若随机试验的结果为无限不
可数并且每个结果出现的可能性均匀，
同时样本空间中
（
9
）几何概
的每一个基本事件可以使用一个有
界区域来描述，
则称此随机试验为几何概型。
对
型
任一事件
A
，
。其中
L
为几何度量（长度、面积、体
积）
。
（
1
0
）加法公
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
式
当
P(A
B)
＝
0
时，
P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
（
11
）减法公
当
B
A
时，
P(A-B)=P(A)-P(B)
式
当
A=Ω
时，
P( )=1- P(B)
定义
设
A<
/p>
、
B
是两个事件，且
P(A)>0
，则称
为事件
A
发生条件下，事件
B
发生
（
12
）条件概
的条件概率，记为
。
率
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如
P(Ω/B)=1 P(
/A)=1
-P(B/A)
乘法公式：
（
13
）乘法公
更一般地，对事件
A1
，
A2
，
…A
n
，若
P(A1A2…An
-1)>0
，则有
式
… …… …
。
①两个事件的独立性
设事件
、
满足
，则称事件
、
是相互独立的。
若事件
、
相互独立，且
，则有
若事件
、
相互独立，则可得到
与
、
与
、
与
也都相互独立。
必然事件
和不可能事件
Ø
与任何事件都相互独立。
（
14
）独立性
Ø
与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设
ABC
是三个事件，如果满足两两独立的条件，<
/p>
P(AB)=P(A)P(B)
；
P(BC)=P(B)P(C)
；
P(CA
)=P(C)P(A)
并且同时满足
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么
A
、
B
、
C
相互独立。
<
/p>
对于
n
个事件类似。
设事件
满足
1°
两两互不相容，
，
（
15<
/p>
）全概公
2°
，
式
则有
。
<
/p>
（
16
）贝叶斯设事件
< br>
，
，
…
，
及
满足
公式
1°
，
，
…
，
两两互不相容，
>0
，
1<
/p>
，
2
，
…
，
，
2°
，
，
则
，
i=1
，
2
，
…n
。
此公式即为贝叶斯公式。
，
（
，
，
…
，
）
，通常叫先验概率。
，
（
，
，
…
，
）
，通常称为后验概率。贝
叶斯公式反映了
―
因果
‖
的概
率规律，并作出了
―
由果朔因
‖
的推断。
我们作了
次试验，且满足
u
每次试验只有两种可能结果，
发生或
不发生；
u
次试验是重复进行的，即
发生的概率每次均一样；
u
每次试验是独立的，即每次试验
发生与否与其他次试验
发生与否是互
不影
（
17
）伯努利
< br>响的。
概型
这种试验称为伯努利概型，或称为
重伯努利试验。
用
表示每次试验
发生的概率，则
发生的概率为
，用
表示
重伯努利试验中
出
现
次的概率，
，
。
第二章
随机变量及其分布
（
1
）
离散型
设离散型随机变
量
的可能取值为
Xk(k=1,2,
…)
且取各个值的概率，即事件
随机变量的
(X=Xk)
的概率为
分布律
P(X=xk)=pk
，
k=1,2,…
，
则称上式为离散型随机变量
的概率分
布或分布律。有时也用分布列的形式给
出：
。
显然分布律应满足下列条件：
（
1
）
，
，
（
2
）
。
（
2
）
连续型
设
是随机变量
的分布函数，若存在非负函数
，对任意实数
，有
随机变量的
，
分布密度
则称
为连续型随机变量。
称为
的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面
4
个性质：
1°
。
2°
。
（
3
）
离散与
连续型随机
积分元
在连续型随机变量理论中所起的作用与
在离散型随机变量理论中所起
变量的关系
的作用相类似。
（
< br>4
）
分布函
设
< br>
为随机变量，
是任意实数，则函数
数
称为随
机变量
X
的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到
X
落入区间
的概率。分布函数
表示随机变量落入区间（
–
∞
，
x]
内
的概率。
分布函数具有如下性质：
1°
；
2°
是单调不减的函数，即
时，有
；
3°
，
；
4°
，即
是右连续的；
5°
。
对于离散型随机变量，
；
对于连续型随机变量，
。
（
5
）
八大分
0-1
分
布
布
二项分布
P(X=1)=p,
P(X=0)=q
在
重贝努里试验中，设事件
发生的概率为
。事件
发生的次数
是随机变量，设为
，则
可能取值为
。
，
其中
，
则称随机变量
服从参数为
，
的二项分布。记为
。
当
时，
，
<
/p>
，这就是（
0-1
）分布，所以（
0-1
）分布是二项分布
的特例。
设随机变量
的分布律为
，
，
，
则称随机变量
服从参数为
的泊松分布，记为
或者
P(
)
。
泊松分布为二项分布的极限分布
（
np=λ
，
n→∞
< br>）
。
随机变量
X
服从参数为
n,N,M
的超几何分布，记为
H(n,N,M)
。
，其中
p≥0
，
q=1-p
。
随机变量
X
服从参数为
p
的几何分布，记为
G(p)
。
设随机变量
的值只落在
[a
，
b]
内
，
其密度函数
在
[a
，
b]
上为常数
，
即
a≤x≤b
其他，
则称随机变量
在
[a
，
b]
上服从均匀分布，记为
X~U(a
，
b)
。
分布函数为
a≤x≤b
0
，
高斯（ X <
br>＝
x
，
1
，
x>b
。
当
a≤x1
时，
X
落在区间（
）内的概率为
。
,
0,
,
泊松分布
超几何分布
几何分布
均匀分布
指数分布
其中
，则称随机变量
X
服从参数为
的指数分布。
X
的分布函数为
,
x<0
。
记住积分公式：
正态分布
设随机变量
的密度函数为
，
，
其中
、
为常数，则称随机变量
服从参数为
、
的正态分布或
Gauss
）分布，记为
。
具有如下性质：
1°
的图形是关于
对称的；
2°
当
时，
为最大值；
若
，则
的分布函数为
。
。
参数
、
时的正态分布称为标准正态分布，记为
，其密度函数
记为
，
，
分布函数为
。
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(
-x)
＝
1-
Φ(x)
且
Φ(0)
＝
。
如果
~
，则
~
。
。
（
6
）
分位数
下
分位表：
；
上分位表：
。
（
7
）
函数分
离散型
布
已知
的分布列为
，
的分布列（
互不相等）如下：
，
若有某些
相等，则应将对应的
相加作为
的概率。
先利用
的概率密度
fX(x)
写出
Y
的分布函数
FY(y)
P(g(X)≤y)
，
再利用
变上下限积分的求导公式求出
fY(y)
。
如果二维随机向量
（
X
，
Y
）的所有可能取
值为至多可
列个有序对（
x,y
）
，则称
为离散型随机量。
设
=
（
X
，
Y
）的所有可
能取值为
，且事件
{ =
}
的概率
连续型
第三章
二维随机变量及其分布
（
1
）
联合分
离散型
布
为
pij,,
称
为
=<
/p>
（
X
，
Y
）的分布律或称为
X
和
Y
的联合分布律。
联合分布有时也用下面的概率分布表来表示
：
Y
X
x1
x2
xi
y1
p11
p21
pi1
y2
p12
p22
…
…
…
…
yj
p1j
p2j
…
…
…
…
这里
pij
具有下面两个性质：
（
1
）
pij≥0
（
i,j=1,2,…
）
；
（
2
）
连续型
对于二维随机向量
，
如果存在非负函数
，
使对任意一
个
其
邻
边
分
别
平
行
于
坐
标
轴
的
矩
形
区
域
D
，<
/p>
即
和
<
br>
D={(X,Y)|a
有
则称
为连续型随机向量；并称
f(x,y)
为
=
（
X
，
Y
）的
分布密度或称为
X
Y
的联合分布密度。
分布密度
f(x,y)
具有下面两个性质：
（
1
）
f(x,y)≥0;
（
2
）
（
2
）
二维随
机变量的本
质
（
3
）
联合分
设（
X
，
Y<
/p>
）为二维随机变量，对于任意实数
x,y,
二元函数
布函数
称为二维随机向量（
X
，
Y
）的分布函数，
或称为随机变量
X
和
Y
的联合分布
函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，
以事件
的概率为函数值的一个实值函
数。分布函数
F(x,y)
具有以下的基本性质：
（
1
）
（
2
）
F
（
x,y
）分别对
x<
/p>
和
y
是非减的，即
当
x2>x1
时，有
F
（
x2,y
）
≥F(x1,y);
当
y2>y1
时，有
F(x,y2) ≥F(x,y1);
（
3
）
F
（
x,y
）分别对
x
和
y
是右连续的，即
（
4
）
（
5
）对于
.
（
4
）<
/p>
离散型
与连续型的
关系
（
5
）
边缘分离散型
X
的边缘分布为
布
；
Y
的边缘分布为
。
连续型
X
的边缘分布密度为
Y
的边缘分布密度为
在已知
X=xi
< br>的条件下，
Y
取值的条件分布为
在已知
Y=yj
< br>的条件下，
X
取值的条件分布为
在已知
Y=y
的条件下，
X
的条件分布密度为
；
在已知
X
=x
的条件下，
Y
的条件分布密度为<
/p>
F(X,Y)=FX(x)FY(y)
有零不独立
f(x,y)=fX(x)fY(y)
直接判断，充要条件：
①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
＝
0
若
X1
,X2,…Xm,Xm+1,…Xn
相互独立，
h,g
为连续函
数，则：
h
（
X1
，<
/p>
X2,…Xm
）和
g
（
Xm+1,…Xn
）相互独立。
特例：若
X
与
Y
独立，则：
h
（
X
）和
g
（
Y
）独立。
例如：若
X
与
Y
独立，则：
3X+1
和
5Y-2
独
立。
（
6
）
条件分
离散型
布
连续型
（
7
）
独立性
一
般型
离散型
连续型
二维正态分布
随机变量的函数
（
< br>8
）
二维均
设随机向量（
X
，
Y
）的分布密度
函数为
匀分布
其中
SD
为区域
D
的面积，
则称
（
X
，
< br>Y
）
服从
D
上的均匀分布，
记为
（
X
，
Y
）
～
U
（
D
）
< br>。
例如图
3.1
、图
3.2
和图
3.3
。
y
1
D1
O
1
x
图
3.1
y
D2
1
1
O
2
x
图
3.2
y
D3
d
c
O
a
b
x
图
3.3
（
9
）
二维正
设随机向量（
X
，
Y
）的分布密度函数为
态分布
其中
是
5
个参数，则称（
< br>X
，
Y
）服从二维正态分布，<
/p>
记为（
X
，<
/p>
Y
）～
N
（
由边缘密度的计算公式，
可以推出二维正
态分布的两个边缘分布仍为正态分布，
即
X
～
N
（
但是若
X
～
N
（
，
(X<
/p>
，
Y)
未必是二维正态分布。
（
10
）函数
Z=X+Y
分布
根据定义计算：
对于连续型，
fZ(z)
＝
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（
）
。
n
个相互独立的正态分布的线性组合，
仍服从正态分布。
，
Z=max,min(X1,X2,…Xn)
若
相
互
独
立
，
其
分
布
函
数
分
别
为
< br>，
则
Z=max,min(X1,X2,…Xn)
的分布函数为：
分布
设
n
个随机变量
相互独立，且服从标准正态分布，可
以证明它们的平方和
的分布密度为
我们称随机变量
W
服从自由度为
n
的
分布，记为
W
～
，其中
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，
它是随机变
量分布中
的一个重要参数。
分布满足可加性：设
则
t
分布
设<
/p>
X
，
Y
是两个相
互独立的随机变量，且
可以证明函数
的概率密度为
我们称随机变量
T
服从自由度为
n
的
t
分布，记为
T
～
t(n)
。
设
，且
X
与
Y
独立，可以证明
的概率密度函数为
我们称随机变量
F
服从第一个自由度为
n1
，第二个自
由度为
n2
的
F
分布，记为
F
～
f(n1, n2).
离散型
连续型
F
分布
第四章
随机变量的数字特征
（
1
）一
维
随
机
期望<
/p>
变
量
的
期望就是平均值
数
字
特
征
函数的期望
设
X
是离散型随机变量，其分布
设
X<
/p>
是连续型随机变量，其概率密
律为
P(
)
＝
pk
，
k
=1,2,…,n
，
度为
f(x)
，
（要求绝对收敛）
（要求绝对收敛）
Y=g(X)
Y=g(X)
方差
D(X)=E[X-E(X)]2
，
标准差
，
矩
①对于正整数
k
，
称随机变量
X
的
①对于正整数
k
，
称随机变量
X
的
k
k
次幂的数学期望为
X
的
k
阶原点
次幂的数学期望为
X
的
k
阶原点矩，
矩，记为
vk,
即
记为
vk,
即
νk=E(Xk)= , k=1,2, ….
νk=E(Xk)=
②对于正整数<
/p>
k
，
称随机变量
X
与
k=1,2,
….
E
（
X
）差的
k
次幂的数学期望为
②对于正整数
k
，
称随机
变量
X
与
E
X
的
k
阶中心矩，记为
< br>
，即
（
X
）
差的
k
次幂的数学期望为
X
的
k
阶中心矩，记为
，即
=
，
k=1,2,
….
=
k=1,2,
….
设随机变量
X
< br>具有数学期望
E
（
X
）
=μ
，方差
D
（
X
）
=σ2
，则对于任
意正数
ε
，
有下列切比雪夫不等式
切比雪夫不等式
切比雪夫不等式给出了在未知
X<
/p>
的分布的情况下，对概率
的一种估计，它在理论上有重要意义。
（
2
）期
（
1
）
E(C)=C <
/p>
望
的
性
（
2
）
E(CX)=CE(X)
质
（
3
）
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
，
（
4
）
E(XY)=E(X) E(Y)
，充分条件：
X
和
Y
独立；
充要条件：
X
和
Y
不相关。
（
3
）方
（
1
）
D(C)=0
；
E(C)=C
差
的
性
（
2
）
D(aX)=a2D(X)
；
E(aX)=aE(X)
质
（
3
）
D(aX+b)= a2D(X)
；
E(aX+b)=aE(X)+b
（
4
）
D(X)=E(X2)-E2(X)
（
5
）
D(X±
Y)=D(X)+D(Y)
，
充分条件：
X
和
Y
独立；
充要条件：
X
和
Y
不相关。
D(X±
Y)=D(X)+D(Y) ±
2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
，无条件成立。
而
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
，无条件成立。
（
4
）常
见
分
布
0-1
分布
的
期<
/p>
望
二项分布
和方差
泊松分布
几何分布
超几何分布
均匀分布
指数分布
正态分布
t
分布
（<
/p>
5
）二
期望
<
/p>
维
随
机
变
量
的
函数的期望
<
/p>
数
字
特
征
方差
期望
p
np
n
0
＝
方差
2n
(n>2)
＝
协方差
对于随机变量
X
与
Y
，称它们的二阶混合中
心矩
为
X
与
Y
的协方差
或相关矩，记为
，即
与记号
相对应，
X
与
Y
的方差
D
（
X
）与
D
（
Y
）也可分别记为
与
。
对于随机变量
X
与
Y
，如果
D
（
X
）
>0, D(Y)>0
，则称
<
/p>
为
X
与
Y
的相关系数，记作
（有时可简记为
）
。
| |≤1
，当
| |=1
时，称
X
与
Y
完全相关：
相关系数
完全相关
而当
时，称
X
与
Y
不相关。
以下五个命题是等价的：
①
；
②
cov(X,Y)=0;
③
E(XY)=E(X)E(Y);
④
D(X+Y)=D(X)+D(Y);
⑤
D(X-Y)=D(X)+D(Y).
协方差矩阵
混合矩
对于随机变量
X
与
Y
< br>，如果有
存在，则称之为
X<
/p>
与
Y
的
k+l<
/p>
阶混合
原点矩，记为
< br>；
k+l
阶混合中心矩记为：
（
6
）协
(i)
cov (X,
Y)=cov (Y, X);
方
差
的
(ii)
cov(aX,bY)=ab
cov(X,Y);
性质
(iii)
cov(X1+X2,
Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);
(iv)
cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
（
7
）独
（
i
）
若随机变量
X
与
Y
相互独立，则
；反之不真。
<
/p>
立
和
不
（
ii
）
若（
X
，
Y
）～
N
（
）
，
相关
则
X<
/p>
与
Y
相互独立的充要条件是
X
和
Y
不相关。
第五章
大数定律和中心极限定理
（
1
）大数定律
<
/p>
切
比
雪
设随机变
量
X1
，
X2
，
…
相互独立，均具有有限方差，且被同
夫
大
数
一常数
C
所界：
D
（
Xi
）
<
br>X2
则
对于任意的正数
ε
，有
定律
特殊情形：若
X1
，
，
…
具有相同的数学期望<
/p>
E
（
XI
）
=μ
，
则上式成为
伯
努
利<
/p>
设
μ
是
n
次独立试验中事件
A
发生的次数，
p
是事件
A
在每次
大
数
定
试验中发生的
概率，则对于任意的正数
ε
，有
律
伯努利大数定律说明，
当试验次数
n<
/p>
很大时，
事件
A
发生的
频率与概率有较大判别的可能性很小，即
这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。
辛
钦
大
设
X1
，
X2
，
…
，
Xn
，
…
是相互独立同分布的随机变量序列，
数定律
且
E
（
Xn
）
=μ
，则对于任意的正数<
/p>
ε
有
（
2
）
中心极限定
理
列
维
－<
/p>
设随机变量
X1
，
X2
，
…
相互独立，服从同一分布，
且具有相
林
德
伯
同的数学期望和方差：
，则随机变量
格定理
的分布函数
Fn(x)
对任意的实数
x
，有
此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
< br>棣
莫
弗
设随机变量
为具有参数
n, p(0
的二项分布，
则对于任意实
－
拉
普
数
x,
有
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