三角函数所有公式大全
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倒数关系：
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα
·secα=1
商的关系：
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2(α)=csc^2(α)
平常针对不同条件的常用的两个公式
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan α *cot
α=1
一个特殊公式
（
sin
a+sinθ
）
*
（
< br>sina-
sinθ
）
=sin
（
a+θ
）
*
sin
（
a-
θ
）
证
明：（
sina+sinθ
）
*
（
sina-
sinθ
）
=2 sin[(θ+a)/2]
cos[(a
-
θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2]
sin[(a-
θ)/2]
=sin
（
a+θ
）
*sin
< br>（
a-
θ
）
坡度
公式
我们通常半坡面的铅直高度
h
与水平高度
l
的比
叫做
坡度
（也叫
坡比
< br>），
用字
母
< br>i
表示，
即
i=h
/ l,
坡度
的一般形式写成
l : m
形式，如
i=1:5.<
/p>
如果把坡面与
水平面
的夹
角记作
a(
叫做坡角），那么
i=h/l=tan a.
锐角三角函数
公式
正弦：
sin α=
∠
α
的对边
/
∠
α
的斜边
余弦：
cos α=
∠
α
的邻边
/
∠
α
的斜边
正切
：
tan α=
< br>∠
α
的对边
/
< br>∠
α
的邻边
余切
：
cot α=
< br>∠
α
的邻边
/
< br>∠
α
的对边
二倍角公式
正弦
sin2A=2sinA·
cosA
余弦
2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)
2a=1-2Sin^2(a)
2a=2Cos^2(a)-1
即
Cos2a=Cos^2(a)-
Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)
正切
tan2A=
（
2tanA
）
/
（
1-tan^2(A)
）
三倍角公式
sin
3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3
-
α
)
co
s3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3
-
α)
tan3a = tan a · tan(π/3+a)·
tan(π/3
-a)
三倍角公式
推导
sin(3a)
=sin(a+2a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin²
a)+
(1-2sin²
a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos²
a-1)cosa-
2(1-cos^a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina(3/4-sin²
a)
=4sina[(√3/2)²<
/p>
-sin²
a]
=4sina(sin²
60°
-sin²
a)
=4sina(sin60°
+si
na)(sin60°
-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(6
0°
-a)/2]*2sin[(60°
-a)/2]cos[
(60°
-a)/2]
=4sinasin(60°
+a)sin(60°
-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos²
a-3/4)
=4cosa[cos²
a-
(√3/2)^2]
=4cosa(cos²
a-cos²
30°
)
=4cosa(cosa+cos30°
)(cosa-
cos30°
)
=4cosa*2cos[(a+30°
)/2]cos[(a-30°
)/2]*{-2sin[(a+30°
)/2]sin[(a-30
°
)/2]}
< br>=-4cosasin(a+30°
)sin(a-30°
)
=-4cosasin[9
0°
-(60°
-a)]sin[-90°
+(60°
+a)]
=-4cosacos(60°
-a)[-cos(60°
+a)]
=4co
sacos(60°
-a)cos(60°
+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°
-a)tan(60°
+a)
现列出公式如下
: sin2α=2sinαcosα
tan2α=2tanα/(1
-tan^
2(α))
cos2α=cos^2(α)
-
sin^2
(α)=2cos^2(α)
-1=1-
2sin^2(α)
可别轻视这些字符
,
它们在数
学学习中会起到重要作用。包括一些图像问题和函数问题中
三倍角公式
sin3α=3sinα
-4si<
/p>
n^3(α)=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3
-
α)
cos3α=4cos^3(α)
< br>-
3cosα=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3
-
α)
tan3α=tan(α)*(
-
3+tan(α)^2)/(
-
1+3*tan(α)^2)=tan a · tan(π/3+a)·
tan(π/3
-a)
半角公式
sin^2(α/2)=(1
-
cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1
-
cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1
-
cosα)/sinα
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1
-
tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1
-
t
an^2(α/2)]
其他
sinα+sin(α+2π/n
)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n
-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π
*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n
-1)/n
]=0
以
及
sin^2(α)+sin^2(α
-
2π/3)+sin^
2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
四
倍角公式
sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)
tan4A=(4*t
anA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)
五
倍角公式
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tan
A*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)
六
倍角公式
sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+
1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))
cos6A=((-1
+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))
tan
6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*t
anA^4+tanA^6)
七倍角公式
sin7A=-(sinA*(5
6*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))
cos7A
=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))
tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1
+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tan
A^6)
八倍角公式
sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA
^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))
cos8A=1+(
160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)
tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(
1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tan
A^6+tanA^8)
九倍角公式
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(
64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))
cos9A
=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^
2-3))
tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^
4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*ta
nA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)
十倍角公式
sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA
^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+1
6*sinA^4))
cos10A=((-1+2*cosA^
2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))
tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-
60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-
210*t
anA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)
N
倍角公式
根据棣美弗定理，
(cosθ+ i
sinθ)^n = cos(nθ)+ i sin(nθ)
为方便描述，
令
sinθ=s
，
co
sθ=c
考虑
n
为正整数的情形：<
/p>
cos(nθ)+ i sin(nθ) = (c+ i
s)^n = C(n,0)*c^n +
C(n,2)*c^(n-2)*(i
s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ...
+C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 +
C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 +
C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ...
=>
比较两边的实部与虚部
实部：
cos(nθ)=C(n,0)*c^n +
C(n,2)*c^(n
-2)*(i s)^2 +
C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... i*(
虚部
)
：
i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(
n
-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 +
C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ...
对所有的
自然数
n
，
1. cos(nθ)
：
公式中出现的
s
都是偶次方，而
< br>s^2=1-c^2(
平方
关系
)
，
因此全部都可以改成以
c(
也就是
cosθ)
表示。
2. sin(nθ)
：
(1)
当
n
是奇数
时：
公式中出现的
c
都是偶次方，
而
c^2=1-s^2(
平方关系
)
，
因此全部都可以
改成以
s(
也
就是
sinθ)
表示。
(2)
当
n
是偶数时：
<
/p>
公式中出现的
c
都是奇次方，
而
c^2=1-s^2(
平
方关系
)
，因此即使再怎么换成
s<
/p>
，都至少会剩
c(
也就是
cosθ)
的一次方无法消掉。
(
例
. c^3=c*c^2=c*(
1-s^2)
，
c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^
2)^2)
半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos
(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
和差化积
sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2]
cos[(θ
-
φ)/2]
sinθ
-
sinφ = 2
cos[(θ+φ)/2]
sin[(θ
-
φ)/2]
cosθ+cosφ = 2
cos[(θ+φ)/2]
cos[(θ
-
φ)/2]
cosθ
-
cosφ =
-
2 sin[(θ+φ)/2]
sin[(θ
-
φ)/2]
tanA+tanB=sin(A
+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-
tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
两角和公式
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1
-
tanαtanβ)
tan(α
-
β)=(tanα
-
tanβ)/
(1+tanαtanβ)
cos(α+β)=cosαcosβ
-
s
inαsinβ
cos(α
-
β)=cosαcosβ+sinαsi
nβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α
-
β)=sinαcosβ
-
cosαsinβ
积化和差
sinαsinβ =
-
[cos(α
+β)
-
cos(α
-
β)] /2
cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α
-<
/p>
β)]/2
sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α
-<
/p>
β)]/2
cosαsinβ = [sin(α+β)
-
sin(α
-
β)]/2
双曲函数
sh a = [e^a-e^(-a)]/2
ch a = [e^a+e^(-a)]/2
th a = sin
h(a)/cos h(a)
公式一：
设
α
为
任意角
，终边相同的角的同一
三角函数
的值相
等：
s
in
（
2kπ+α
）
< br>=
sinα
cos
（
2
kπ+α
）
= cosα