小升初奥数知识点奥数必考30个知识点大全
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小升初奥数知识点—奥数必考
30
个知识点大全
1.
和差倍问题
和差问题
和倍问题
差倍问题
已知条件
几个数的和与差
几个数的和与倍数
几个数的差
与倍数
公式适用范围
已知两个数的和，差，倍数关系
公式
①(和
-
差)÷2=较小数
较小数
+
差
=
较大数
和
-
较小数
=
较大数
②(和
+
差)÷2
=较大数
较大数
-
< br>差
=
较小数
< br>和
-
较大数
=
< br>较小数
和÷(倍数
+1)=<
/p>
小数
小数×倍数
=
大数
和
-
小数
=
大数
差÷(倍数
-1)=
小数
小数×倍数
=
大数
小数
+
差
=
大数
关键问题
求出同一条件下的
和与差
和与倍数
差与倍数
2.
年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的
;
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②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的
;
③两个人的年龄的倍数是发生变化的
;
3.
归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那
个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来
表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量
;
4.
植树问题
基本类型
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树
在
直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树
在直线或者
不封闭的曲线上植树，只有一端植树
封闭曲线上植树
基本公式
棵数
=
段数
+1
棵距×段数
=
总长
棵数
=
段数
-1
棵距×段数
=
总长
棵数
=
段数
棵距×段数
=
总长
关键问题
确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系
5.
鸡兔同笼问题
< br>基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是
把假设错的那部分置换
出来
;
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在
(
甲和乙一样或者乙和甲
一
样
)
：
<
/p>
②假设后，
发生了和题目条件不同的差，
找出这个差是多少
;
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③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原
因
;
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：
鸡数
=(
兔脚数×总头数
-
总脚
数)÷(兔脚数
-
鸡
脚数
)
②把所有兔子假设成鸡：兔数
=(
总脚数一鸡脚数×总头
数)÷(兔脚数一鸡脚数
)
关键问题：找出总量的差与单位量的差。
6.
盈亏问题
基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结
果：按照另一种标准分组，
又产生一种结果，由于分组的标
准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组
数
或对象的总量
.
基本思路：先将两
种分配方案进行比较，分析由于标准的差
异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配
的总份数，
然后根据题意求出对象的总量
.
基本题型：
①一次有余数，另一次不足
;
基本公
式：总份数
=(
余数
+
不足数)÷两次每份数的差
②当两次都有余数
;
基本公式：总份
数
=(
较大余数一较小余数)÷两次每份数的
< br>3 / 24
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差
③当两次都不足
;
基本公式：总份数
=(
较大不足数一较小不足数)÷两次每份
数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
7.
牛吃草问题
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不
同的吃法，求出其中的总
草量的差
;
再找出造成这种差异的
原因
，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的
;
关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量
< br>=(
较长时间×长时间牛头数
-
较短时间×短时间牛头
数)÷(长时间
-
短时间
);
总草量
=
较长时间×长时间牛头数
-
较长时间×生长量
;
8.
周期循环与数表规律
周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环
出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：确定循环周期。
闰
年：一年有
366
天
;
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①年份能被
4
整除;②如果年份能被
1
00
整除，则年份必须
能被
400
整除
;
平
年：一年有
365
天。
①年份不能被
4
整除;②如果年
份能被
100
整除，但不能被
400<
/p>
整除
;
9.
平均数
基本公式：①平均数
=
总数量÷总份数
总数量
=
平均数×总份数
总份数
=
总数量÷平均数
②平均数
=
基准数
+
每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算
.
②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数
;
一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数
;
以基准
数为标准，求所有给出数与基准数的差
;
再求出所有差的和
;
再求出这些差的平均数
;
最后求这个差的平均数和基准数的
和，就是
所求的平均数，具体关系见基本公式②。
10.
抽屉原理
抽屉原则一：如果把
(n+1)
个物体放在
n
个抽屉里，那么必
有一个抽屉中至少放有
2
个物体。
例：把
4
个物体放在
3
个
抽屉里，也就是把
4
分解成三个整
数的
和，那么就有以下四种情况：
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①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0
④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一
个共同特点：总
有那么一个抽屉里有
2
个或多于
2
个物体，也就是说必有一
个
抽屉中至少放有
2
个物体。
抽屉原则二：如果把
n
个物体放在
m
个抽屉里，其中
nm
，那
么必有一个抽屉至少有
:
①k=[n/m ]+1
个物体：当
n
不能被
m
整除时。
②k=n/m
个物体：当
n
能被
m
整除时。
理解知识点：
[X]
表示不超过
X
的最大整数。
例
[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的
量，而后依据抽屉原
则进行运算。
11.
定义新运算
< br>基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含
有多种基本
(
混合
)
运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，
转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行
运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算
顺序
。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
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12.
数列求和
等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这
样的一列数，就叫做等差
数列。
基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用
a1
表示
;
项数：
等差数列的所有数的个数，一般用
n
表示
;
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用
d
表示
;
通项：表示数列中每一个数的公式，一般
用
an
表示
;
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用
Sn
表示
.
基本思路：等差数列中涉及五个量：
a1
,an, d, n,sn,,
通
项公式中涉及四个量，
如果己知其中三个，
就可求出第四个
;
求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第
四个。
基本公式：通项公式：
an =
a1+(n-1)d;
通项
=
首项<
/p>
+(
项数一
1)
×公差
;
数列和公式：sn,= (a1+
an)×n÷2;
数列和
=(
首项
+
末项)×项数÷2;
< br>
项数公式：n= (an+ a1)÷d+1;
项数
=(
末项
-<
/p>
首项)÷公差
+1;
公差公式：
d
=(an-
a1))÷(n
-1);
公差
=(
末项
-
首项)÷(项数
-1);
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式
;
13.
二进制及其应用
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十进制：
< br>用
0
～
9
十个数字表示，
逢
10
进
1;
不同数位上的数
字表示不同的含义，十位上的
2
表示
20
，
百位上的
2
表示
200
。所以
234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n
-1+An-
1×10n
-2+An-
2×10n
-3+An-
3×10n
-4+An-4
×10n
-5+An-
6×10n
-
7+……+A3×102+A2×101+A1×100
<
/p>
注意：
N0=1;N1=N(
其中
N
是任意自然数
)
二进制：用
0
～
1
两个数字表示，逢
2
进
1;
不同数位上的数
字表示不同的含义。
(2)=
An×2n
-1+An-<
/p>
1×2n
-2+An-
2×2n
-3+An-
3×2n
-4+An-
4×2n
-
5+An-
6
×2n
-7
+
……+A3×22+A
2×21+A1×20
注意：
An<
/p>
不是
0
就是
1<
/p>
。
十进制化成二进制：
①根据二进制满
2
进
1
的特点
，用
2
连续去除这个数，直到
商为
0
，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的
2
的
n
次方，再求它们的差，再找不
大于
这个差的
2
的
n
次方，依此方法一直找到差为
0
，按照
二进制展开式特点即可写出。
14.
加法乘法原理和几何计数
加法原理：如果完成一件任务有
n
类方法，
在第一类方法中
有
m1
种不同方法，在
第二类方法中有
m2
种不同方法……，
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在第
n
类方法中有
mn
种不同方法，那么完成这件任务共有：
m1+
m2....... +mn
种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成
n
个步骤进行，做第<
/p>
1
步有
m1
种方
法，不管第
1
步用哪一种方法，第
2<
/p>
步总有
m2
种方法……不管前面
n-1
步用哪种方法，第
n
步总有
mn
种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2.
......
×mn
种不
同的方法。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
< br>直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成
的轨迹。
直线特点：没有端点，没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线：把直线的一端无限延长。
射线
特点：只有一个端点
;
没有长度。
①数线段规律：总数=1+2+3+…+(点数一
1);
②数角规律=1+2+3+…+(射线数一
1);
③数长方形规律：个数
=
长的线段数×宽的线段数
：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行
数×列数
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15.
质数与合数
< br>质数：一个数除了
1
和它本身之外，没有别的约数，这个
数
叫做质数，也叫做素数。
合数：一
个数除了
1
和它本身之外，还有别的约数，这个数
叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数
，那么这个质数叫做
这个数的质因数。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分
解质因数。通常用短除法分
解质因数。任何一个合数分解质
因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：
N=
，其中
a1
、
a2
、a3
……an
都是合数
N
的质因数，且
a1……
求约数个数的公式：
P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数：如果两个数的最大公约数是
1
，这两个数叫做互质
数。
16.
约数与倍数
< br>约数和倍数：若整数
a
能够被
b
整除，
a
叫做
b
的倍数，
b
就叫做
< br>a
的约数。
公约数：几个数公
有的约数，叫做这几个数的公约数
;
其中
最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
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1
、
几个数
都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质
数。
2
、
几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3
、
几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4
、
几个数
都乘以一个自然数
m
，所得的积的最大公约数等
于这几个数的最大公约数乘以
m
。
例如：
12
的约数有
1
、
2
、
3
、
4
、
6
、
12;
18
的约数有：
1
、
2
、
3
、
6
、
9
、
18;
那么
12
和
18
的公约数有：
1
、
2
、
3
、
6;
那么
12
和
18<
/p>
最大的公约数是：
6
，记作
(12
，
18)=6;
求最大公约数基本方法：
1
、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘
起来。
2
、短除法：先找公有的约数，然后相乘。<
/p>
3
、辗转相除法：每一次都用除数和余
数相除，能够整除的
那个余数，就是所求的最大公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数
;
其中
最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
<
/p>
12
的倍数有：
12
、
24
、
36
、48……;
18
的倍数有：<
/p>
18
、
36
、<
/p>
54
、72……;
那么
12
和
18
< br>的公倍数有：
36
、
72
、108……;
那么
12
和
18
最小的公倍数是
36
，记作
[12
，<
/p>
18]=36;
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最小公倍数的性质：
1
、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2
、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的
乘
积。
求最小公倍数基本方法：
1
、短除法求最小公倍数
;2
、分解
质因数的方法
17.
数的整除
一、基本概念和符号：
1
、整除：如果一个整数
a
，除以一个自然数
b
，得到一个整
数商
c
，而且没有余数，那么叫做
a
能被<
/p>
b
整除或
b
能整
除
a
，记作
b|a
。
2
、常用符号：整除符号“|
”，不能整除符号“”;因为符
号“∵”，所以的符号“∴”;
二、整除判断方法：
1.
能被
2
、
5
整除：末位上的数字能被
2
、
5
整除。
2.
能被
4
、
25
整除：末两位的数字所组成的数能被
4
、
25
整除。
3.
能被
8
、
125
整除：末三位的数字所组成的数能被
8
、<
/p>
125
整除。
4.
能被
3
、
9
整除：各个数位上数字的和能被
3
、
9
整除。
5.
能被
7
整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数
12
/ 24