一元二次方程应用题经典题型汇总含答案
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z
一元二次方程应用题经典题型汇总
一、增长率问题
例
1
恒利商
厦九月份的销售额为
200
万元，十月份的销售额下降了
20%
，商厦从十一
月份起加强管理，改善经
营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了
193.6
万
元，求
这两个月的平均增长率
.
解
设这两个月的平均增长率是
x
.
，则根据题意，得
200(1
－
20%)(1+
x
)
2
＝
193.6
，
即
(1+
x
)
2
＝
1.21
，解这个方程，得
x
1
＝
0.1
，
x
2
＝－
2.1
（舍去）
.
答
这两个月的平均增长率是
10%.
说明
这是一道正增长率问题，对于正
的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中
每一个数据的意义，
即可利用公式
m
(1+
x
)
2
＝
n
求解，
其中
m
＜
n
.
对于负的增长率问题，
若
经过两次相等下降后，则有公式
m
(
1
－
x
)
2<
/p>
＝
n
即可求解，其中
m
＞
n
.
二、商品定价
例
2
益群精
品店以每件
21
元的价格购进一批商品，
该商品可以自行定价，
若每件商品
售价
a
元，则可卖出（
350
－
10
a
）件，但物价局限定每件商品的利润不得
超过
20%
，商店
计划要盈利
400
元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？
解
根据题意，得
(
a
－
21)(350
－
10
a
)
＝
400
，整理，得
a
2
－
56
a
+775
＝
0
，
解这个方程，得
a
1
＝
25
，
< br>a
2
＝
31.
因为
21
×
(1+20%)<
/p>
＝
25.2
，所以
a
2
=31
不合题意，舍去
.
所以
350
－
10
a
＝
350<
/p>
－
10
×
25<
/p>
＝
100
（件）
.
答
需要进货
100
件，每件商品应定价
25
元
.
说明
商
品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点
.
三、储蓄问题
例
3
王红梅
同学将
1000
元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行
”，到期后
将本金和利息取出，并将其中的
500
元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，
这时存款的年利率已下
调到第一次存款时年利率的
90%
，这样到期后，可得本金和利
息共
530
元，求第一次存款时的年利率
.
（假设不计利息税）
解
设第一次存款时的年利率为
x
.
则根据题意，得
[1000(1+
x
)
－
500](1+0.9
< br>x
)
＝
530.
整理，得
90
x
2
+145
x
－
3
＝
0.
解这个方程，得
x
1
≈
0.0204
＝
2.04%
，
x
2
≈－
1.63.
由于存
款利率不能为负数，所以将
x
2
≈－<
/p>
1.63
舍去
.
答
第一次存款的年利率约是
2.04%.
说明
这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税
.
四、趣味问题
例
4
一个醉
汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽
4
米，旁
边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高
2
米，二人
没办法，只好请教聪明人，
聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚
好进城，你知道竹竿有多
长吗？
解
设渠道的深度为
x
m
，那么渠底宽为<
/p>
(
x
+0.1)m
，上口宽为
(
x
+0.1+1.4)
m.
则根据题意，得
(
x
+0.1+
x
+1.4+0.1)
·
x
＝
1.8
，整理，得
x
2
+0.8
x
－
1.8
＝
0.
解这个方程，得
x
< br>1
＝－
1.8
（舍去）
，
x
2
＝
1.
所以
x
+1.4+0
.1
＝
1+1.4+0.1
＝
2.5.
答
渠道的
上口宽
2.5m
，渠深
1m.
说明
求解本题开始时好象无从下笔，
但只要能仔细地阅读和口味，
就能从中找到等量
关系，列出方程求解
.
五、古诗问题
例
5
读诗词
解题：
（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）
.
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解
设周瑜逝世时的年龄的个位数字为
x
，则十位数字为
x
< br>－
3.
则根据题意，得
x
2
＝
10(
x
－
3)+
x
，即<
/p>
x
2
-11x+30
＝
0
，解这个方程，得
x
＝
5
或
x
＝
6.
当
x
＝
5
时，周瑜的年龄
25<
/p>
岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当
x
＝
6
时，周
瑜年龄为
36
岁，完全符合题意
.
答
周瑜去世的年龄为
36
岁
.
六、象棋比赛
例
6
象棋比
赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记
2
分，
输者记
0
分
.
如果平局，两个选手各记
1
分，领司有四个同学统计了中全部选
手的得分总数，分别是
1979
，
1980
，
19
84
，
1985.
经核实，有一位同学
统计无误
.
试计算这次比赛共有多少个选手
参加
.
解
设共有
n
个选手参加比赛，每个选手都要与
(
n
－
1)
< br>个选手比赛一局，共计
n
(
n<
/p>
－
1)
局，但两个选手的对局从每个选手
的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为
n
(
n
－
1)
局
.
由于每局共计
2
分，<
/p>
所以全部选手得分总共为
n
(
n
－
1)
分
.
显然
(
n
－
1)
与
n
< br>为相邻的自
然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是
0
，
2
，
6
，故总分不可能是
1979
，<
/p>
1984
，
1985
，因此总分只能是
1980
，于是由
n
(
n
－
1
)
＝
1980
，得
n
2
－
n
－
1980
＝
0
，解得
n
1
＝
45
，
n
2
＝－
44
（舍去）
.
答
参加比赛的选手共有
45
人
.
说明
类似于本题中的象棋比赛的其它
体育比赛或互赠贺年片等问题，
都可以仿照些方
法求解
.
七、情景对话
例
7
春秋旅
行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图
1
对话中
收费标准
.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春
秋旅行社旅游费用
27000
元
.
请问该单位
这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
解
设该单位这次共有
x
名员工去天水湾风景区旅游
.
因为
1000
×
25
＝
25000
＜
2
7000
，所以员工人数一定超过
25
人
.
则根据题意，得
[1000
－
20(
x
－
25)]
x
＝
27
000.
整理，得
x
2
－
75
x
+1350
＝
0
，解这个方程，得
x
1
＝
45
，
x
2
＝
30
.
当
x
＝
4
5
时，
1000
－
20(
x
－
25)
＝
600
＜
700
，故舍去
x
1
；
当
x
2
＝
30
时，
1000
－
20(
x
－
25)
＝
900
＞<
/p>
700
，符合题意
.
< br>答：该单位这次共有
30
名员工去天水湾风景区旅游
.
说明
求解本
题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中
找出符合题意的结
论
.
八、等积变形
例
8
将一块
长
18
米，宽
15
米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为
原来荒地面积的三分之二<
/p>
.
（精确到
0.1m
）
（
1
）设计方案
1
（如图
2
）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路
.
（
2
）设计方案
2
（
如图
3
）花园中每个角的扇形都相同
.
以上两种方案是否都能符合条件
?
若能
，请计算出图
2
中的小路的宽和图
3<
/p>
中扇形的半
径；若不能符合条件，请说明理由
.
解
都能
.
（
1
）设小路宽为
x
，则
18
x
+16
x
－
x
2
＝
×
18
×
15
，即
x
2
－
34
x
< br>+180
＝
0
，
解这个方程，得
x
＝
，即
x
≈
6.6.
（
2
）设扇形半径为
< br>r
，则
3.14
r
2
＝
×
18
×
15
，即
r
2
≈
57.32
，所以
r
≈
7.6.
说
明
等积变
形一般都是涉及的是常见图形的体积，
面积公式；
其原则是形变
积不变；
或形变
积也变，但重量不变，等等
.
九、动态几何问题
例
9
如图<
/p>
4
所示，在△
ABC
中，∠
C
＝
90?/SPAN><
/p>
，
AC
＝
6cm
，
BC
＝
8c
m
，点
P
从
点
A
出发沿边
AC
向点
C
以
1cm/s
的速度移动，
点
Q
从
C
点出发沿
CB
边向点
B
以
2cm/s
的速度移动
.
（
1
）如果
P
、
Q
同时出发，几秒钟后，可使△
PCQ
的面积为
8
平方厘米？
（
2
）点
P
、
Q
在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△
PCQ
的面积等于△
ABC
的
面积的一半
.
若存在，求出运动的时间；若不存
在，说明理由
.
解
因为∠
C
＝
90?/SPAN
>
，所以
AB
＝
＝
＝
10
（
cm
）
.
（
1
）设
x
s
后
，可使△
PCQ
的面积为
8cm
2
，所以
AP
＝
x
cm
，
PC
＝
(6
－
x
)cm
，
CQ
＝
2
x
cm.
则根据题意，得
＝
4.
·
(6
－
x
)
·
2
x
＝
8.
整理，得
x
2
－
6
x
+8
＝
0
，解这个方程，得
x
1
＝
2
，
x
2
所以
P
、
Q
同时出发，
2s
或
4s
后可使△<
/p>
PCQ
的面积为
8cm
< br>2
.
（
2
）设点
P
出发
x
< br>秒后，△
PCQ
的面积等于△
A
BC
面积的一半
.
则根据题意，得<
/p>
(6
－
x
)
·
2
x
＝
×
×
6
×
8.
整理，得
x
2
－
6
x
+12
＝
0.
由于此方程没有实数根，所以不存在使
△
PCQ
的面积等于
ABC
面积一半的时刻
.
说明
本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据
路程＝速度×时间
.
十、梯子问题
例
10
一个
长为
10m
的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角
6m.
（
1
）若梯子的顶
端下滑
1m
，求梯子的底端水平滑动多少米？
< br>
（
2
）若梯子的底端水平向外
滑动
1m
，梯子的顶端滑动多少米？
（
3
）如果梯子顶端向下滑动的距离等
于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少
米？
解
依题意，梯子的顶端距墙角
＝
8
（
m
）
.
（
1
）若梯子顶端下滑
1m
，则顶端距地面
7m.
设梯子底端滑动
x
m
.
则根据勾股定理，列方程
7
2
+(6+
x
)
2<
/p>
＝
10
2
，整理
，得
x
2
+12
x
－
15
＝
0
，