一元二次方程应用题经典题型汇总
晚安心语-
一元二次方程应用题经典题型汇总
列一元二次方程解应用题中遇到的常见的典型题目，举例说明
.
一、增长率问题
例
1
恒利商
厦九月份的销售额为
200
万元，十月份的销售额下降了
20%
，商
厦从十一月份起加强管理，改善经
营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到
了
193.6<
/p>
万元，求这两个月的平均增长率
.
解
设这两个月的平均增长率是
x
.
，则根据题意，得
200(1
－
20%)(1+
x
)
2
＝
193.6
，
即
(1+
x
)
2
＝
1.21
，解这个方程，得
x
1
＝
0.1
，
x
2
＝－
2.1
（舍去）
.
答
这两个月的平均增长率是
10%.
说明
这是一道正增长率问题，对于正
的增长率问题，在弄清楚增长的次数和
问题中每一个数据的意义，
即可利用公式
m
(1+
x
)
2
＝
n
求解，
其中
m
＜
n
.
对于负的增
长率问题，
若经过两次相等下降后，则有公式
m
(1
－
x
)
2
＝
n
即可求解，其中
m
< br>＞
n
.
二、商品定价
例
2
益群精
品店以每件
21
元的价格购进一批商品，
该商品可以自行定价，
若
每件商品售价
a
元，则可卖出（
350
－
10
a
）件，但物价局限定每件商品的利润不得
超过
20%
，商店计划要盈利
400
元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？
解
根据题意，得
(
a
－
21)(350
－
10
a
)
＝
400
，整理，得
a
2
－
56
a
+775
＝
0
，
解这个方程，得
a
1
＝
25
，
< br>a
2
＝
31.
因为
21
×(1+20%)
＝
25.2
，所以<
/p>
a
2
=31
不合
题意，舍去
.
所以
350
－
10
a
＝
350
－
10×25
＝
100
（件）
.
答
需要进货
100
件，每件商品应定价
25
元
.
说明
商品的
定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点
.
三、储蓄问题
例
3
王红梅
同学将
1000
元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行
”，
到期后将本金和利息取出，并将其中的
500
元捐给“希望工程”，剩余的又全部按
一年定期存入，这时存款的年利率已下
调到第一次存款时年利率的
90%
，这样到期
< br>后，可得本金和利息共
530
元，求第一次存款时的年利
率
.
（假设不计利息税）
解
设第一次存款时的年利率为
x
.
则根据题意，得
[1000(1+
x
)
－
500](1+0.9
< br>x
)
＝
530.
整理，得
90
x
2
+145
x
－
3
＝
0.
解这个方程，得
x
1
≈
0.0204
＝
2.04%
，
x
2
≈－
1.63.
由于存
款利率不能为负数，
所以将
x
2
≈－
1.63
舍去
.
答
第一次存款的年利率约是
2.04%.
说明
这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税
.
四、趣味问题
例
4
一个醉
汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽
4
米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比
城门高
2
米
，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着
拿，二人一试，不
多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？
解
设渠道的深度为
< br>x
m
，那么渠底宽为
(
x
+0.1)m
，上口宽为
(
x
+0.1+1.4)m.
则
根据题意，得
1
(
x
< br>+0.1+
x
+1.4+0.1)·
x
＝
1.8
，整理，得
x
2
+0.8
x
－
1.8
＝
0.
2
解这个方程，得
x
1
＝－
1.8
（舍去），
x
2
＝
1.
所以
x
+1.4+0.1
＝
1+1.4+0.1
＝
2.5.
答
渠道的上口宽
2.5m
，渠深
1m.
说明
求解本题开始时好象无从下笔，
但只要能仔细地阅读和口味，就能从中
找到等量关系，列出方程求解
.
例
5
读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）
.
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解
设周瑜逝世时的年龄的个位数字为
x
，则十位数字为
x
< br>－
3.
则根据题意，得
x
2
＝
10(
x
－
3)+
x
，即<
/p>
x
2
-11x+30
＝
0
，解这个方程，得
x
＝
5
或
x
＝
6.
当
x
＝
5
时，周瑜的年龄
25<
/p>
岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当
x
＝
6
时，周瑜年龄为
36
岁，完全符合题意
.
答
周瑜去世的年龄为
36
岁
.
说明
本题虽然是一道古诗问
题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学
们应从中认真口味
.
六、象棋比赛
例
6
象棋比
赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记
2
分，
输者记
0
分
.
如果平局，两个选手各记
1
分，领司有
四个同学统计了中全部选
手的
得分总
数，分别是
1979
，
1980
，
1984
，
198
5.
经核实，有一位同学统计无误
.
试
计
算这次比赛共有多少个选手参加
.
解
设共有
n
个选手参加比赛，每个选手都要与
(
n
－
1)
个选手比赛一局，共计
n
(
n
－
1)
局，
但两个选手的对局从每个选手的角度各自统
计了一次，
因此实际比赛总
局数应为
1
n
(
n
－
1)
局
.
由于每局
共计
2
分，所以全部选手得分总共为
n
(
n
－
1)<
/p>
分
.
显
2
然
(
n
－
1)
与
n
为相邻的自然数
，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是
0
，
2
，
6
，故总分不可能
是
1979
，
1984
，
1985
，因此总分只能是
1980
，于是由
n
(
n
－
1)
＝
< br>1980
，得
n
2
－
n
－
1980
＝
0
，解得
n
1
＝
45
，
n
2
＝－
44
（舍去）
.
答
参加比赛的选手共有
45
人
.
说明
类似于本题中的象棋比
赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以
仿照些方法求解
.
七、情景对话
例
7
春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图
1
对话中
收费标准
.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，
共支付给春秋旅行社旅游费用
< br>27000
元
.
请问
该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
解
设该单位这次共有
x
名员工去天水湾风景区旅游
.
因为
1000×25
＝
25000<
/p>
＜
27000
，所以员工人数一定超过<
/p>
25
人
.
则根
据题意，得
[1000
－
20(
x
－
25)]
x
＝
27000.
整理，得
x
2
－
75
< br>x
+1350
＝
0
，解这个方程，得
x
1
＝<
/p>
45
，
x
2
＝
30.
当
x<
/p>
＝
45
时，
10
00
－
20(
x
－
25)
＝
600
< br>＜
700
，故舍去
x
1
；
当
x
2
＝
30
< br>时，
1000
－
20(
x
－
25)
＝
900
＞
700
，符合
题意
.
答：该单位这次共有
30
名员工去天水湾风景区旅游
.
说明
求解本题要时刻注意对话框中的
数量关系，
求得的解还要注意分类讨论，
从中找出符合题意的结
论
.
图
1 <
/p>
如果人数不超过
25
人，
人均旅游费用为
1000
元
.
如果人数超过
25
人，每增加
1
人，人均旅游费用降低
20
< br>元，
但人均旅游费用不得低于
700
八、等积变形
例
8
将一块
长
18
米，宽
15
米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占
的面积为原来荒地面积的三分之二<
/p>
.
（精确到
0.1m
）
（
1
）设计方案
1
（如图
2
）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路
.
（
2
）设计方案
2
（
如图
3
）花园中每个角的扇形都相同
.
以上两种方案是否都能符合条件
?
若能
，请计算出图
2
中的小路的宽和图
3<
/p>
中
扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由
.
解
都能
.
（
1
）设小路宽为
x
，则
18
x
+16
x
－
x
2
＝
＝
0
< br>，
2
×18×15
，即
x
2
－
34
x
+180
3
解这个方程，得
x
＝
3
4
436
，即
x
≈
6.6.
2
< br>（
2
）设扇形半径为
r
，则
3.14
r
2
＝
2
×18×15
，即
r
2
≈
5
7.32
，所以
r
≈
< br>7.6.
3
说明
等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变
积不
变；或形变积也变，但重量不变，等等
.
B
Q
A
C
P
图
< br>4
图
2
图
3
九、动态几何问题
例
9
如图<
/p>
4
所示，在△
ABC
中，∠
C
＝
90°
，
AC
＝
6cm
，
BC
＝
8cm
，点
P
从点
A
出发沿边
AC
向点
C
以
1cm/s
的速度移动，
点
Q
从
C
点出发沿
CB
边向点
B
以
2cm/s
的速度移动
.
（
1
）如果
P
、
Q
同时出发，几秒钟后，可使△
PCQ
的面积为
8
平方厘米？
（
2
）
点
P
、
Q
在移动过程中，
是否存在某一时刻，
使得△
PCQ
的面积等于△
ABC
的面积的一半
.
若存在，求出运动的时
间；若不存在，说明理由
.
解
因为∠
C
＝
90°
，所以
AB
＝
AC
2
BC
2
＝
6
2
<
/p>
8
2
＝
10
（
cm
）
.
（
1
）设
x
s
后，可使△
PCQ
的面积为
8cm
2
，所以
AP
＝
x
cm
，
PC
＝
(6
－
x
)cm
，
CQ
＝
2
x
cm.
则根据题意，得
2
，
x
2
＝
4.
所以
P
、<
/p>
Q
同时出发，
2s
或
4s
后可使△
PCQ
的面积为
8cm
2
.
（
2
）设点
P
出发
x
秒后，△
P
CQ
的面积等于△
ABC
面积的一半<
/p>
.
1
·
(6<
/p>
－
x
)·
2
x
＝
8.
整理，得
x
2
－
6
x
+8
＝
0
，解这个方程，得
x
1
＝
2
则根据题意，得
1
1
1
(6
－
x
)·
2
x
< br>＝
×
×6×8.
整理，得
x
2
－
6
x
+12
＝
0.
2
2
2
由于此方程没
有实数根，
所以不存在使△
PCQ
的面
积等于
ABC
面积一半的时刻
.
说明
本题虽然是一道动态型应用题，
但它又要运用到行程的知识，求解时必
须依据路程＝速度×时间
.