四年级奥数有余除法的应用
-
有余除法的应用
知识框架
一、带余除法的定义及性质
一般地，
如果
a
是整数，
b
是整数（
b≠0
）
,
若有
a÷b=q……r
，也就是
a
＝
b×q
＋
r,
0≤r
＜
b
；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
(1)
当
r
0
时：我们称
a
< br>可以被
b
整除，
q
称为
a
除以
b
的商或完全商
(2)
当<
/p>
r
0
时：我们
称
a
不可以被
b
整除，
q
称为
a
除以
b
的商或不完全商
一个完美的带余除法讲解模型
:
如图
这是一堆书，共有
a
本，这个
a
就可以理解为被除数，现在要求按照
b
本一捆打包，那么
b
就是除数
的角色，经过打包后共打包了
c
捆，那么这个
c
就是商，最后还剩余
d
本，这个
d
就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中
4
个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：
（一）余数的加法定理
a
与
b
的和除以
c
的余数，等于
a
,
b<
/p>
分别除以
c
的余数之和，或这个和除以<
/p>
c
的余数。
例
如：
23
，
16
除以
5
的余数分别是
3
和
1
，所以
23+16
＝
39
除以
5
的余数等于
4
，即两个余数的和
3+1.
当
余数的和比除数大时，所求的余数等于
余数之和再除以
c
的余数。
例如：
23
，
19
除以
5
的余数分别是
3
和
4
，所以
23+19
＝
42
除以
5
的余数等于
3+4=7
除
以
5
的余数为
2
（二）余数的减法定理
a
与
b
的差除以
c
的余数，等于
a
,
b<
/p>
分别除以
c
的余数之差。
例如：
23
，
16
除以
5
的余数分别是<
/p>
3
和
1
，所以<
/p>
23
－
16
＝<
/p>
7
除以
5
的余数
等于
2
，两个余数差
3
－
1
＝
2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：
23
，
14
除以
5
的余数分别是
3
和
4
，
23
－
14
＝
9
除以
5
的余数等于
4
，两个余数差为
3
＋
5
－
4
＝
4
1
/
14
（三）余数的乘法定理
a
与
b
的乘积除以
c
的余数，等于
a
,
b
分别除以
c
的余数的积，或者这个积除以
c
所得的余数。
< br>
例如：
23
，
16
除以
5
的余数分别是
3
和
1
，所以
23×16
除以
5
的余数等于
3×1＝
3
。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以
< br>c
的余数。
例如：
23
，
19
除以
5
的余数分别是
3
和<
/p>
4
，所以
23×19
除以
5
的余数等于
3×4
除以
5
的余数，即
2.
乘方：如果
a
与
b
除以
m
的余数相同，那么
a
n
与
b
n
除以
m
的余数也相同．<
/p>
例题精讲
模块一、简单的有余数除法
【例
1
】
在下列每个算式中的两个括号内，填上所有可能的数。
（
1
）
17÷
（）
=
（）
·
·
·
·
·
·
2
（
2
）
（）
÷
4=8·
·
·
·
·
·
（）
（
3
）
（）
÷
（）
=3·
·
·
·
·
·
5
，
（除数小于
9
）
【
巩
固
】
在
下列每个算
式中的两个括号内，填上所有可能的数．
（
< br>1
）
62÷
（）
=5·
·
·
·
·
·
（）
< br>（
2
）
（）
÷
3=6·
·
·
< br>·
·
·
（）
（
3
）
38÷
（）
=
（）
·
·
·
·
·
·
3
（
4
）
（）
÷
（）
=5·
·
·
·
·
·
2
，被除
数小于
35
．
【例
2
】
已知
5
7
除以
8
，
商
为
（
）
，
余数为
（
）
，
被除数与除数同时扩大
6
75
倍，
则商为
（
余数为（
）
．
【
巩
固
】
已
知
255510
除以
3003
，
商为
（
）
，
余数为
（
）
，
被除数与除数同
时缩小
255
倍，
则商为
（
余数为（
）
．
2
/
14
，
，
）
）
【例
3
】
1992
年
1
月
1
日
是星期三，阳历
2004
年
1
月
1
日是星期几？
【
巩
固
】
1
998
年元旦是星期五，
1999
年元旦是星期几？
2000
年元旦是星期几？
2001
年元旦是星期几？
【例
4
】
节日的街上挂起了长长的一排彩灯，共有
2013
盏，从第
1
盏开始，按照
5
盏红灯，
4
盏黄灯，
< br>3
【例
5
】
盏蓝灯，
2
盏绿灯不断地排下去．问：
（<
/p>
1
）第
1982
盏灯是什么颜色？
（
2
）蓝灯共有多少盏？
【
巩
固
】
下
面写了一组自然数：
1
，
10
，
11
，
20
，
21
，
30
，
31
，
40
，41„„如果按照这个规律写下去，那么
第
2003
个位置的数被
13
除余几？
3
/
14
【例
6
】
电子跳蚤每跳一步，可从一个圆
圈跳到相邻的圆圈。现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈
按顺时针方向跳了
1991
步，落在一个圆圈里。一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈
起跳，但它
是沿着逆时针方向跳了
1949
步，落在另一个圆圈里。问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？
【
巩
固
】
如
图是一钟面共分成
12
格，
设时针刚好对正
12
，
若将时针按
顺时针方向向前拨动
365
格，
再按逆
时针方向向前拨动
263
格，再按顺时
针方向向前拨动
462
格，再按逆时针方向向前拨动
392
格，
这时时针应指向多少点？
【例
7
】
甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏，从
1
< br>起按下面顺序进行：甲报
1
、乙报
2
、丙报
3
、丁报
< br>4
、丙报
5
、乙报
6
、甲报
7
、乙报
8
、丙报
9„„这样，报
2003
这个数的是谁？
4
/
14
【
巩
固
】
把
自然数中的单数
1
、
3
、
5
、
7
、
9
，„„，如右表所示依此排成列，把最
左边的一列叫做第
1
列，
从左到右依此
叫做第
2
列，„„，第
5
列。问数“2003”出现在第几列？
【例
8
】
582
除以一个数所得的不完全商是
1
1
，并且除数与余数的差是
6
，除数、
余数各是多少？
【
巩
固
】
两
个数相除商
5
余
3
。如果
被除数、除数都扩大到原来的
2
倍，则被除数、除数、商、余数
之和为
101
。求原来的被除数和除数。
模块二、有余数除法三大定理
【例
9
】
六名小学生分别带着
14
元、
17
元、
18
元、
21
元、
26
元、
37
元钱，一起到新华书店购买《成语
大词典》
．一看定价才发现有
5
个人带
的钱不够，但是其中甲、乙、丙
3
人的钱凑在一起恰好可
买
2
本，丁、戊
2<
/p>
人的钱凑在一起恰好可买
1
本．这种《成
语大词典》的定价是
________
元．
5
/
14
【
巩
固
】
<
/p>
商
店里有六箱货物，分别重
15
，
16
，
18
，
19
，
20
，
31
千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知
一
个顾客买的货物重量是另一个顾客的
2
倍，那么商店剩下的一箱货物重量是
________
千克．
【例
10
】
求
2461
135
6047
< br>11
的余数．
【
巩
固
】
求
478
296
351
除以
17
的余数．
【例
11
】
【
例
10
】
2
与<
/p>
2003
的和除以
7
的余数是
________
．
23
2
【
巩
固
】
在
1995
，
1998
，
2000
，
2001
，
2003
中，
若其中几个数的和被
9
除
余
7
，
则将这几个数归为一组．
这
样的数组共有
______
组．
6
/
14
【例
12
】
有
一个数，除以
7
余
2
，除以
8
余
4
，除以
9
余
3
，这个数至少是多少？
【
巩
固
】
有
一个数，除以
3
余<
/p>
1
，除以
5
余<
/p>
2
，除以
7
余<
/p>
3
，求适合条件的最小数是多少？
【例
13
】
有
一类自然数，其中每个数与
3
的和都是
5
的倍数，与
4
的差都是
7
的倍数。这类自然数中
最小
的是多少？
【
巩
固
】
5
0
以内被
5
除余
2
，被
6
除余
5
的数是什么？
7
/
14