小学数学图形计算例题大汇总
-
第一讲
不规则图形面积的计算（一）
我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形
、菱形、圆和扇形等图形，
一般称为基本图形或规则图形
.
我们的面积及周长都有相应的公式直接计算
.
如下表：
实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一
些基本图形组合、拼凑成
的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算
< br>.
一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎
样去计算呢我们可以针对这些图形通过实施割补、剪
拼等方法将它们转化为基本图形的和
、差关系，问题就能解决了。
例
1
如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是
10
厘米和
12
厘米
.
求阴影部分的
面积。
解：阴
影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△
ABG
、
△
BDE
、
△
EFG
）的面积之和。
【
又因为
S
甲
+S
乙
=12
×
12+10
×
10=244
，
所以阴影部分面积
=244-
（
50+132+12
）
=50
（平
方厘米）
。
例
2
如右图，
正方形
ABCD
的边长为
6
厘米，
△
ABE
、
△
ADF
与四边形
AECF
的面积彼此相等，
求三角形
A
EF
的面积
.
解：<
/p>
因为△
ABE
、
△
ADF
与四边形
AECF
的面积彼此相等，
所以四边形
AECF
的面积与
△
ABE
、
△
ADF
的面积都等于正方形
ABCD
在△
AB
E
中，因为
AB=6.
所以
BE=4
，同理
DF=4
，因此
CE=CF=2
，
∴△
EC
F
的面积为
2
×
2
÷
2=2
。
所以
S
△
AEF=S
四边形
AECF-S
△
ECF=12-2=10
（平方厘米）
。
例
3
两块等腰直角三角形的三角板，
直角边分别是
10
厘米和
6
厘米。如右图那样重合
.
求重
合部分（阴影部分）的面积。
。
解：在
等腰直角三角形
ABC
中
∵
AB=10
∵
EF=BF=AB-
AF=10-6=4
，
∴阴影部分面积
=S
△
ABG-S
△
BEF=25
-8=17
（平方厘米）
。
例
4
如右图，
A
为
△
CDE
的
DE
边上中点，
BC=CD
，若
△
ABC
（阴影
部分）面积为
5
平方厘米
.
求
△
ABD
及
△
ACE
的面积
.
.
解：取
B
D
中点
F
，连结
AF.
因为
△
ADF
、
△
ABF
和
△
ABC
等底、等高，所以它们的面积相
等，都等于
5
平方厘米
.<
/p>
所以△<
/p>
ACD
的面积等于
15
< br>平方厘米，
△
ABD
的面积等于
10
平方厘米。
又由于△
ACE
与
△
ACD
等底、等高，所以
△
ACE
的面积
是
15
平方厘米。
例
5
如下页右上图，在正方形
ABCD
中，三角形
ABE
< br>的面积是
8
平方厘
解：过
E
作
BC
的垂
线交
AD
于
F
。
在矩
形
ABEF
中
AE
是对角线，所以
S
△
ABE=S<
/p>
△
AEF=8.
在矩形
< br>CDFE
中
DE
是对角线，所以
S
△
ECD=S
△
EDF
。
例
6
如右
图，已知：
S
△
ABC=1
，
[
解：连结
DF
。
∵
AE=ED
，
∴
S
△
AEF=S
△
D
EF
；
S
△
A
BE=S
△
BED
，
< br>
例
7
如下
页右上图，正方形
ABCD
的边长是
4
厘米，
CG=3
厘米，矩形
DEFG
的长
DG
为
5
厘
米，求它的宽
DE
等于多少厘米
^
解：连结
AG
，自
A
作
AH
垂直于
DG
于
H
，在
△
ADG
中，
AD=4
，
DC=4
（
AD
上的高）
.
∴
S
△
AGD
=4
×
4<
/p>
÷
2=8
，又
D
G=5
，
∴
S
△
AGD
=AH
×
DG
÷
2
，<
/p>
∴
AH=8
×
2
÷
5=
（厘米）
，
∴
DE=
（厘米）
。
例
8
如右图，
梯形
ABCD
的面积是
45
平方米，
高
6
米，
△
AED
的面积是
5
平方米，
BC=10
米，
求阴影部分面积
.
解：∵梯形面积
< br>=
（上底
+
下底）
×
高
÷2
即
45=
（
AD+BC
）
×6
÷
2
，
45=
（
AD+10
）
×6
÷
2
，
~
∴
AD=45
×
2
÷
6-10=5
米。
< br>
∴△
ADE
的高是
2
米。
△
EBC
的高等于梯形的高减去
△
ADE
的高，即
6-2=4
米，
例
9
如右图，四边形
ABCD
和
DEFG
都是平行
四边形，证明它们的面积相等
.
证明：
连
结
CE
，
面积的
2
倍。
∴
DEFG
的面积也是
△
CDE
ABCD
的面积等于
△
CDE
面
积的
2
倍，
而
ABCD
的面积与
DEFG
的面积相等。
习题一
%
一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）
：
二、解答题：
1.
如右图，
ABCD
为长方形，
AB=10
厘米
，
BC=6
厘米，
E
< br>、
F
分别为
AB
、
AD
中点，
且
FG=2GE.
求阴影部分面积。
2.<
/p>
如右图，正方形
ABCD
与正方形
DEFG
的边长分别为
12
< br>厘米和
6
厘米
.
求四边形
CMGN
（阴影部分）的面积
.
3.
如右图，正方形
ABCD
的边长为
5
厘米，<
/p>
△
CEF
的面积比
△
ADF
的面积大
5
平方厘米
.
求
CE
的长。
4.<
/p>
如右图，已知
CF=2DF
，
DE=EA
，三角形
BCF
的面积为
2
，四边形
BEDF
的面积为
4.
求三
角
形
ABE
的面积
.
:
5.
如右图，直角梯形
ABCD
的上底
BC=10
厘米，下底
AD=14
厘米，高
CD<
/p>
＝
5
厘米
.
又三角
形
ABF
、
三角形
BCE
和四边形
BEDF
的面积相等。求三角形
DEF
的面积
.
6.
如右图，
四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，
其中大、
< br>小正方形
的面积分别是
64
平方
米和
9
平方米
.
求长方形的长、宽各是多少
7.
如右图，有一三角形纸片沿虚线
折叠得到右下图，它的面积与原三角形面积之比为
2
：
3
，已知阴影部分的面积为
5
< br>平方厘米
.
求原三角形面积
.<
/p>
8.
如右图，
ABCD
的边长
BC=10
，直角三角形
BC
E
的直角边
EC
长
8
，已知阴影部分的
面积比
△
EFG
的面积大
10.
求
CF
的长
.
习题一解答
…
一、填空题：
二、解答题：
3
．
CE=7
厘米．
可求出
B
E=12
．所以
CE=BE-5=7
厘
米．
~
4
．
3
．提示：加辅助线
BD
< br>
∴
CE=
4
，
DE=CD-
CE=5-4=1
。
同理
AF=8
，
DF=AD-
AF=14-8=6
，
6
．
如右图，
大正
方形边长等于长方形的长与宽的和
.
中间小正方形的边长等于长
方形的长
与宽的差
.
而大、小正方形的
边长分别是
8
米和
3
< br>米，所以长方形的宽为（
8-3
）
÷2=
（米）
，长
方形的长为
=
（米）
.
7
．
15
平方厘米．解：如右图，设折叠后重
合部分的面积为
x
平方厘米，
x=5
．所以原三角形的面积为
2
×
5+5=15
平方厘米．
|
∴阴影部分面积是：
10x-40
＋
S
△
GEF
由题意：
S
△
GEF
＋
10=
阴影部分面积，
∴
< br>10x-40=10
，
x
＝
5
（厘米）
.
第五讲
同余的概念和性质
你会解答下面的问题吗
问题
1<
/p>
：今天是星期日，再过
15
天就是
“
六
·
一
”
儿童节了，问
“
六
·
一
”
儿童节是星
期几
这
个问题并不难答
.
因为，
一个星期有<
/p>
7
天，
而
15<
/p>
÷
7=2
…
1<
/p>
，
即
15
＝
7
×
2+1
，
所以
“
六
·
一
”
儿童节是星期一。
问题
2
：
1993
年的元旦是星期五，
1994
年的元旦是星期几
<
这个问题也难不倒我们
.
因为，
1993
年有
365
天，
而
365=7
×
52+1
，所以
1994
年的元旦
应
该是星期六。
< br>问题
1
、
2
的实质是求用
7
去除某一总的天数后所得的余数
.
在日常生活中，
时常要注意两
< br>个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题
.
这样
就产生了
“
同余
”
的概念
.
如问题
1
、
2
中的
15
与
365
除以
7
后，余数都是
1
，那么我们就说
15
与
365
对于模
7
同余。
同余定义：若两个整数
a
、
b
被自然数
m
除有相同的余数，那么称
a
、
< br>b
对于模
m
同余，
用式子表示为：
a
≡
b
（
modm
）
.
（
*
）
上式可读作：
a
同余于
b
，模
m
。
同余式（
*
）意味着（我们假设
a
≥
b
）
：
a-b=mk
，
k
是整数，即
m
｜（
a-b
）
.
例如：①
15
≡
365
（
mod7
）
，因为
365-15=350=7
< br>×
50
。
②
56<
/p>
≡
20
（
mod
9
）
，因为
56-20=36
＝
9
×
4
。
*
③
90<
/p>
≡
0
（
mod1
0
）
，因为
90-0
< br>＝
90=10
×
9
。
< br>由例③我们得到启发，
a
可被
m
整除，可用同余式表示为：
a
≡
0
（
modm
）
。
例如，表示
a
是一个偶数，可以写
a
< br>≡
0
（
mod
2
）
<
/p>
表示
b
是一个奇数，可以写
b
< br>≡
1
（
mod
2
）
<
/p>
补充定义：若
m
（
a-b
）
，就说
a
< br>、
b
对模
m
不同余，用式子表示是：
<
/p>
a
b
（
modm
）
我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似
.
同
余式有如下一些性质（其中
a
、
b
、
c
、
d
是整数，而
m
是自然数）
。
性质
1<
/p>
：
a
≡
a
（
mod m
）
，<
/p>
（反身性）
:
这个性质很显然
< br>.
因为
a-a=0=m
·
0
。
性质
2
：若
a
≡
b
（
mod m
）
，那么
b
≡
a
（
m
od m
）
，
（对称性）
。
< br>性质
3
：若
a
< br>≡
b
（
mod m
）
，
b
≡
< br>c
（
mod m
）
，那么
a
≡
c
（
mod m
）
，
（传递性）
。
性质
4
：若
a
≡
b
（
mod m
）
，
c
≡
d
（
mod
m
）
，那么
a
±
c
≡
b
±<
/p>
d
（
mod m
）
，
（可加减性）
。
< br>
性质
5
：若
a
≡
b
（
mod m
）
< br>，
c
≡
d
（
mod m
）
，那么
ac
≡
bd
（
mod m
）
（可乘性）
。
性质<
/p>
6
：若
a
≡
b
（
mod m
）
，那么
a
n
≡
b
n
（
mod
m
）
，
（其中
n
为自然数）
。
性质
7<
/p>
：若
ac
≡
bc
（
mod m
）
，
（
c
，
m
）
=1
，那么
a
≡
b
（
mo
d m
）
，
（记号（
< br>c
，
m
）表示
< br>c
与
m
的最大公约数）
。
注意同余式性质
7
的条件（
c
，
m
）＝
1
，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。
例如
6
≡
10
（
mod 4
）
，
而
3
5
（
mo
d 4
）
，因为（
2
< br>，
4
）
≠
1
。
请你自己举些例子验证上面的性质。
&
同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。
例
1
判定
2
88
和
214
对于模
< br>37
是否同余，
74
与
20
呢
解：∵
288-214=74=37
×
2
。
∴
288
≡
214
（
m
od37
）
。
∵
74-
20=54
，而
37
54
，
< br>∴
74
20
（
< br>mod37
）
。
例
2
求乘积
418
×
814
×
1616
除以
13
所得的余数。<
/p>
分析
若先求
乘积，再求余数，计算量太大
.
利用同余的性质可以使
“
大数化小
”
，减少计
算量。
解：∵
418
≡
2
（
mod13
）
，
814
≡
8
（
mod13
）
，
1616
≡
4
（
mod13
）
，
<
∴
根据同余的性质
5
可得：
< br>
418
< br>×
814
×
1616
≡
2
×
8
×
4
≡
64
< br>≡
12
（
mod13
）
。
答：乘积
418
×
814
×
1616
除以
13
余数是
12
。
例
3
求
143
89
除以
7
的余数。
分析
同余的性质能使“大数化小”<
/p>
，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小
.
这
道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找
有什么规律。
< br>解法
1
：
∵
143
≡
3
（
mod7
）
∴
143
8
9
≡
3
89
（
mod 7
）
∵
89<
/p>
＝
64+16+8+1
而
3
2
≡
2
（
mod 7
）
，
3
4
≡
4
（
mod7
）
，
.
3
8
≡
16
≡
2
（
mod 7
）
，
3
16<
/p>
≡
4
（
mod
7
）
，
3
32
≡<
/p>
16
≡
2
（
mod 7
）
，
3
64<
/p>
≡
4
（
mod
7
）
。
∵
3
89<
/p>
≡
3
64
·
3
16
·
3
8
·
3
≡
4
×
4
×
2
×
3
≡
5
（
mod
7
）
，
∴
143
8
9
≡
5
（
mo
d 7
）
。
答：
143
89
除以
7
的余数是
< br>5
。
解法
2
：证
得
143
89
≡
3
89
（
mod
7
）后，
3
6
≡
3
2
×
3
4
≡
2
×
4
≡
1
（
mod
7
）
，
∴
3
84<
/p>
≡（
3
6
）
14
≡
1
（
mod 7
）
。
；
∴
3
89
≡
3
84
·
3
4
·
3
≡
1
×
4
×
< br>3
≡
5
（
mod 7
）
。
∴
143
89
≡
5
（<
/p>
mod 7
）
。
例
4
四盏灯如图所示组成舞台彩灯，
且每
30
秒钟灯的颜色改变一次，
第一次上下两灯互换颜
色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下
两灯互换颜色，
…
，这样一直进行下去
.
请问开
灯
1
小时四盏灯的颜色如何排列
分析
与解答经观察试验我们可以发现
，每经过
4
次互换，四盏灯的颜色排列重复一次，而
1
小时
=60
分钟
=120
×
30
秒，
所以这道题实质是求
120
除以
4
的余数，因为
120
≡
0
（
mod 4
）
，
所以开灯
1
小时四盏灯的颜
色排列刚好同一开始一样。
十位，…上的数码，再设
M=a0
＋
a1
＋
…
＋
an
，求证：
N
≡
M
（
mod
9
）
。
分析
首先把整数
N
改写成关于
10
的幂的形式，然
后利用
10
≡
1
（
mod
9
）
。
又∵
1<
/p>
≡
1
（
mod
9
）
，
￥
10
≡
1<
/p>
（
mod
9
）
，
10
2
≡<
/p>
1
（
mod
9
）
，
…
10
n
≡<
/p>
1
（
mod
9
）
，
上面这些同余式两边分别同乘以
a<
/p>
0
、
a
1
、
a
2
、…、
a
n
，再相加得：
a
0
＋
a
1
×
10+a
2
×
10
2
+
…
+a
n
×
10
n
≡
a
0
＋
a
< br>1
＋
a
2
＋…＋
a
n
（
mod 9
）
，
即
N
≡
M
（
mod 9
）
.
这道例题证明了十进制数的一个特有的性质：
任何一个整数模
< br>9
同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被
9
除的余数，只要先计
算这个整数各数位上数字之和，再求这个
和被
9
除的余数即可。
例如，求
1827496
被
< br>9
除的余数，只要先求（
1+8
＋
2
＋
7
＋<
/p>
4
＋
9
＋
6
）
，再求和被
9<
/p>
除的余
数。
再观察一下上面求和式
.
我们可以发现，和不一定要求出
.
因为和式中
1
＋
8
，
2+7
，
9
被
9
除都余
0
，求余数时
可不予考虑
.
这样只需求
4
＋
6
被
9
除的余数
.
因此，
18274
96
被
9
除余数是
1
。
有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对，这种检<
/p>
查方法叫：弃九法。
弃九法最经常地是用于乘法
.
我们来看一个例子。
用弃九
法检验乘式
5483
×
9117
≡是否正确
因为
5483
≡
5
＋
4
＋
8
＋
3
≡
11
≡
2
（
mod 9
）
，
9117
≡
9
＋
1
＋<
/p>
1
＋
7
≡
0
（
mod
9
）
，
所以
54
83
×
9117
≡
2
×
0
≡
0
（
mod
9
）
。
但是
≡<
/p>
4+9
＋
8+8+8
＋
5+1+1
￥
≡
8
（
mod9<
/p>
）
，
所以
54
83
×
9117
≠，即乘积不正确。<
/p>
要注意的
是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如，
9
875
≡
9
＋
8+7+5
≡
2
（
mod 9
）
，
4873
≡
4
＋
8
＋<
/p>
7
＋
3
≡
4
（
mod
9
）
，
≡
3+2+4+7
< br>＋
5+6+8+9
≡
8
（
mod
9
）
，
这时，
9875
×
4873
≡
2
< br>×
4
≡（
mod
9
）
。
但观察个位数字立刻可以判定
987
5
×
4873
≠
.
因为末位数字
5
和
3
相乘不可能等于
9
。
弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。
<
例
6
用弃九法检验下面的计算是否正确：
÷
7312
＝
3544
。
解：把除式转化为：
3544
×
7312
＝。
∵
354
4
≡
3
＋
5<
/p>
＋
4
＋
4
≡
7
（
mod
9
）
，
7312
≡
7
＋
3
＋
1<
/p>
＋
2
≡
4
（
mod
9
）
，
∴
354
4
×
7312
≡
7
×
4
≡
1
（
mod
9
）
，
但
≡
2
＋
3
＋
3
＋
8
≡
7
（
mod
9
）
。
而
1
7
（
mod
9
）
∴
3544
×
7312
≠，
^
即
÷
731
2
≠
3544
。
例
7
求自然数
< br>2100
＋
3101
＋
4102
的个位数字。
分析
求自然数的个位数字即是求这个
自然数除以
10
的余数问题。
解：∵
2
100
≡
2
4
×
25
≡
6<
/p>
25
≡
6
（
mod 10
）
，
3
101
≡
3
4
×
25
·
3
1
≡
1
25
·
3
1
≡
3
（
mod
10
）
，
4
102
≡
（
2
2
）
10
0
·
4
2
≡<
/p>
6
·
6
≡
6
（
mod
10
）
，
∴
2
100
＋
3
101
＋
4
102
≡
6
＋
3
＋
6
≡
5
（
mod 10
）
，
即自然数
2
100
＋
3
101
＋
4
102
的个位数字是
5.
习题五
1.
验证对于任意整数
a
、
b
，式子
a
≡
b
（
mod1
）成立，并说出它的含义。
(
2.
已知自然数
a
、
b
、
c
，其
中
c
≥
3
，<
/p>
a
除以
c
余
1
，
b
除以
c
余
2
，则
ab
除以
c
余多少
年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几
4.
求＋
被
7
除的余数。
5.
所有
自然数如下图排列
.
问
300
位于哪个字母下面
6.
数，被
13
除余多少（提示：先试除，可知
13|111111
，而
1993
≡
1<
/p>
（
mod
6
）
）
。
7.
用弃九法检验下面运算是否正确：
①
845
×
372
=315340
；
②
12345
×
67891=5
；
③
13<
/p>
÷
28997
＝
39459
。
8.
求<
/p>
1993
100
的个位数字
.
习题五解答
1.
例：
∵
1|a-b
，
2
≡
3
（
m
od 1
）
，
7
≡
15
（
mod 1
）
，式子
a
≡
b
（
mod 1
）的含义是：
任意整
数
a
、
b
对模
1
同余
.
整数是模
1
的同余类。
2.
解：
∵
a
≡
< br>1
（
mod c
）
，
b
≡
2
< br>（
mod
c
）
，
∴
ab
＝<
/p>
2
（
mod
c
）
<
/p>
即
ab
除以
c<
/p>
余
2
。
年的十月一日是星期五。
4.
解：
∵
3333
≡
1
（
mod 7
）
，
∴
≡
1
（
mod
7
）
。
又∵
55
55
≡
4
（
m
od 7
）
，
:
∴
＝
4
3333
（
mod
7
）
。
而
4
3
≡
1
（
mod 7
）
，
∵
4
3333
≡（
4
3
)
1111
≡
1
（
mod
7
）
，
∴
+
≡
1+1
≡
2
（
mod
7
）
，
即
＋被<
/p>
7
除余
2
。
5.
解：
∵
300
≡
6
（
mod 7
）
。
∴
300
与
6
在同一
列，在
D
下面。
6.
答：
余
1
。
7.
①不正确；