高中数学必修四教师用书
-
高中数学必修四教师用
第一章
三角函数
任意角和弧度制
1
．
1.1
任
意
角
[
新知初探
]
1
．任意角
(1)
角的概念：
< br>角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)
角的表示：如图，
OA
是角
α
的始边，
OB<
/p>
是角
α
的终边，
O
是角的
顶点．角
α
< br>可记为“角
α
”或“∠
α
”或简记为“
α
．
”
(3)
角的分类：
名称
正角
负角
零角
定义
按逆时针方向旋转形成的角
按顺时针方向旋转形成的角
一条射线没有作任何旋转形成的角
-
1 -
图示
[
点睛
]
对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：
①要明确旋转的
方向；
②要明确旋
转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的
位置．
2
．象限角
把角放在平面直角坐标系中，
使角的顶点与原点重合，
角的始边
与
x
轴的非负半轴重合，
那么，角的终
边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为
这个角不属
于任何一个象限．
[
点睛
]
象
限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与
x
轴的非
负半轴重合．
3
．终边相同的角
< br>所有与角
α
终边相同的角，连同角
α
在内，可构成一个集合
S
＝
{
β
|
β
＝
α
＋
k
·
360
°，
k
∈
Z}
，
即任一与角
α
终边相同的角，都可以表示成角
α
与整数个周角的和．
[
点睛
]
对终边相同的角的理解
(1)
终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
(2)
k
∈
Z
，即
k
为整数这一条件不可少；
(3)
终边相同的角的表示不唯一．
1
．终边落在直线上的角的集合的步骤
(1)
写出在
0
°～
360
°范围内相应的角；
<
/p>
(2)
由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
(3)
根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
2
．终边相同角常用的三个结论
(1)
终边相同的角之间相差
360
°的整数倍．
(2)
终边在同一直线上的角之间相差
180
°的整数倍．
(3)
终边在相互垂直的两直线上的角之间相
差
90
°的整数倍．
- 2 -
[
活学活用
]
分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
解：
(1)
在
0
°～
360
°范围内，终边在直线
y
＝
0
上的角有两个，即
0
°和
180
°，因此，所
有与
0
°角终边相同的角构成集合
S
1
＝
{
β
|
< br>β
＝
0
°＋
k
·
360
°，
< br>k
∈
Z}
，
而所有与
180
°角终边相同的
角
构成集合
S
2
＝
{
β
|
β
＝
180
°＋
k
·
360
°，
k
∈
Z}
，于是，终边在直线
y
＝
0
上的角的集合为
S
＝
S
1
∪<
/p>
S
2
＝
{
β
|
β
＝
k
·
180
°，
k
∈
Z}
．
(2)
由图形易知，
在
0
°～
360
°范围内，
终边在直线
y
＝－
x
上的角有两个，
即
1
35
°和
315
°，
< br>因此，
终边在直线
y
＝－
x
上的角的集合为
S
＝
{
β
|
β<
/p>
＝
135
°＋
k
·
360
°，
k
∈
Z}
∪
{
β
|
β
＝
315
°＋
k
·<
/p>
360
，
k
∈<
/p>
Z}
＝
{
β
|
β
＝
135
°＋
k
·
180<
/p>
°，
k
∈
Z}.
象限角的判断
[
典例
]
已
知角的顶点与坐标原点重合，始边落在
x
轴的非负半轴上，作出
下列各角，
并指出它们是第几象限角．
(1)
－
75
°；
< br>(2)855
°；
(3)
－
510
°
.
[
解
]
作出各角，其对应的终边如图所示：
(1)
由图①可知：－
75
°是第四象限角．
(2)
由图②可知：
855
°是第二象限角．
(3)
由图③可知：－
510
°是第三象限角．
象限角的判定方法
- 3 -
(1)
根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为
0
°～
360
°之间的角的终边与坐标<
/p>
系中过原点的射线可建立一一对应的关系．
(2)
将角转化到
0
°～
360
°范围内．在直角坐标平面内，在
0
°～
360
°范围内没有两个角终
边是相同的．
[
活学活用
]
若
α
是第四象限角，则
180
°－
α
一定在
(
)
A
．第一象限
C
．第三象限
B
．第二象限
D
．第四象限
解析：选
C
∵
α
与－
α
的终边关于
x
轴对称，且
α
是第四象限角
，∴－
α
是第一象限角．
而
180
°－
α
可看成－
α
按逆时针旋转
180
°得到，
∴
180
°－
α
是第三象限角<
/p>
.
角
，
n
α
(
n
∈
N
*
)
所在象限的确定
α
n
[
典例
]
已
知
α
是第二象限角，求角
所在的象限．
2
[
解
] <
/p>
法一：∵
α
是第二象限角，
∴
k
·
< br>360
°＋
90
°
<
α
<
k
< br>·
360
°＋
180
°
(
k
∈
Z)
．
∴
< br>·
360
°＋
45
°
<
<
·
< br>360
°＋
90
°
(
k
∈
Z)
．
2
2
2
当
k
为偶数时，令
k
＝
2
n
< br>(
n
∈
Z)
，得
α
k
α
k
n
·
3
60
°＋
45
°
<
<
n
·
3
60
°＋
90
°，
2
α
这表明
是第一象限角；
2
当
k
为奇数时，令
k
＝
2
n
＋
1(
n
∈
Z)
，得
α
n
·
360
°＋
225
°
<
<
n
·
360
°＋
270
°，
2
α
- 4 -
这表明
是第三象限角．
2
α
∴
为第一或第三象限角
．
2
法二：如图，先将各象限分成<
/p>
2
等份，再从
x
轴正向的上方起，
依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为
的终边所
2
α
α
在的区域，故
为第一或第三象限角．
2
[
一题多变
]
1
．
[
变设问
]
在本例条件下，求角
2
α
的终边的位置．
解：∵
α
是第二象限角，
∴
k
·
360
°＋
90
°
<
α
<
k
·
36
0
°＋
180
°
(
k
∈
Z)
．
∴
k
·<
/p>
720
°＋
180
°
<2
α
<
k
·
720
°＋
360
°
(
k
∈
Z)
．
∴角
2
α
的终边在第三或第四象限或在
y
轴的非正半轴上．
2
．
[
变条件
]
若角
α
变为第三象限角，则
角
是第几象限角？
2
解：如图所示，先将各象限分成
2
等份，再从
x
轴正半轴的上方
起，按逆时针方向，依次将各
区域标上一、二、三、四，则标有三的
α
α
区域即为角
的终边所在的区域，故角
为第二或第四象限角．
2
2
倍角、分角所在象限的判定思路
(1
)
已知角
α
终边所在的象限，
确定
n
α
终边所在的象
限，
可依据角
α
的范围求出
n
α
的范围，
再直接转化
为终边相同的角即可．注意不要漏掉
n
α
的终边在坐标轴上的情况．
(2)
已知角
α
终边所在的象限，
确定
终边所在的象限，
分类讨论法要对
k
的取值分以下几
α
α
α
n
- 5 -
种情况进行讨论：
k
被
n
整除；
k
被
n
除余
< br>1
；
k
被
n
除余
2
，…，
k
被
n
除余
n
－
1.
然后方可
< br>下结论．几何法依据数形结合思想，简单直观．
层级一
学业水平达标
1
．－
215
°是
(
)
A
．第一象限角
C
．第三象限角
B
．第二象限角
D
．第四象限角
解析：选
B
由于－
< br>215
°＝－
360
°＋
145
°，而
145
°是第二象限角，则－
215
°也是第二
象限角．
2
．下面各组角中，终边相同的是
(
)
A
．<
/p>
390
°，
690
°
C
．
480
°，－
420
< br>°
B
．－
330
°，
750
°
D
．
3 000
°，－
840
°
解析：选
B
∵－
330
°＝－
360
°＋
30
°，
750
°＝<
/p>
720
°＋
30
°，
∴－
330
°与
750
°终边相同．
3
．若
α
＝
k
·
180
°＋
45
°，
k
∈
Z
，则
α
所在的象限
是
(
)
A
．第一、三象限
C
．第二、四象限
B
．第一、二象限
D
．第三、四象限
解析：选
A
由题意知
α
＝
k
·
180
°＋
45
°，
k
∈
Z
，
< br>
当
k
＝
2
n
＋
1
，
n
∈
Z
，
α
＝
2
n
·
180
°＋
180
°＋
45
°<
/p>
＝
n
·
360
°＋
225
°
，在第三象限，
当
k
＝
2
n
，
n
∈
Z
，
α
＝
2
n
·
180
°＋
45
°
＝
n
·
360
°＋
45
°，在第一象限．
∴
α
是第一或第三象限的角．
- 6 -
4
．终边在第二象限的角的集合可以表示为
(
)
A
．<
/p>
{
α
|90
°<
/p>
<
α
<180
°
}
B
．
{<
/p>
α
|90
°＋
k
·
180
°
<
α
<180
°＋
k
·
180
°，
k
∈
Z}
C
．
{
α
|
－
270
°＋
k
·
180
°
<
α
<
－
180
°＋
k
·
180
°，
k
∈
Z}
< br>D
．
{
α
|
－
270
°＋
k
·
360
°
<
α
<
－
180
°＋
k
·
360
°，
k
∈
Z}
解析：选
D
终边在第二象
限的角的集合可表示为
{
α
|90
°＋
k
·
360<
/p>
°
<
α
<180
°＋
k
·
36
0
°，
k
∈
Z
}
，而选项
D
是从顺时针方向来看的，
故选项
D
正确．
5
．将－
885
°化为
α
＋
k
·
360
°
(0
°≤
α
＜
360
°，
k
∈
Z)
的形式是
(
)
A
．－
165
°＋
(
－
2)
×
36
0
°
C<
/p>
．
195
°＋
(
－
2)
×
36
0
°
B<
/p>
．
195
°＋
(
－
3)
×
36
0
°
D
．<
/p>
165
°＋
(
－
3)
×
360
°
解析：选
B
－
885
°＝
195
°＋
(
－
3)
×
360
°，
0
°≤
195
°
<360<
/p>
°，故选
B.
6
．在下列说法中：
①时钟经过两个小时，时针转过的角是
60
°；
②钝角一定大于锐角；
< br>③射线
OA
绕端点
O
按逆时针旋转一周所成的角是
0
°；
④－
2
000
°是第二象限角．
其中错误说
法的序号为
______(
错误说法的序号都写上
)
．
解析：①时钟经过两
个小时，时针按顺时针方向旋转
60
°，因而转过的角为－
60
°，所以
①不正确．
< br>
②钝角
α
的取值范围为
90
°
<
α
<180
°，锐角
θ
的
取值范围为
0
°
<
θ
<90
°，因此钝角一定大于
锐
角，所以②正确．
③射线
OA
按逆时针旋转一周所成的角是
360
°，所以
③不正确．
④－
2 000
°＝－
6
×
360
°＋
160
°与
1
60
°终边相同，是第二象限角，所以④正确．
答案：①③
7
．
α
满足
180
°
<
α
<360
< br>°，
5
α
与
α
有相同的始边，且又有相同的终边，那么
α
＝
________.
- 7 -
解析：
5
α
＝
α
＋
k
·
360
°，
k
∈
Z
，∴
α
＝
k
·
90
°，
k
∈
Z.
又∵
180
°
<
α
<360
°，∴
α
＝
270
°
.
答案：
270
°
8
．
若角
α
＝
2 016
°，
则与角
α
具有相同终边的最小正角为
________
< br>，
最大负角为
________
．
解析：∵
2 016
°＝
5
×
360
°＋
216
°，∴与角
α
终边相同的角的集合为
{
α
|
α
＝
216
°＋
k
·
360
°，
k
∈
Z}
，∴最小正角是
216
°，最大负角是－
144
°
.
答案：
216
°
－
144
°
9
．在
0
°～
360
°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是
第几象限角：
(1)549
°；
(2)
－
60
°；
(3)
－
503
°
36
′
.
解：
(1)549
°＝
189
°＋
360
°，
而<
/p>
180
°
<189
°
<270
°，
因此，
549
°角为第三象限角，
且在
0
°～
360
°范围内，与
189
°角有相同的终边．
(2)
－
60
°＝
300
°－
360
°，而
270
°
<300
°
<360
°，因此，－
60
°角为第四象限角，且在
0
°～
360
°范围内，与
300
°角有相同的终边．
(3)
－
503
°
36
′＝
216
°
24
′－
2
×
360
°，而
180
°
<216
°
24
′
<270
°，因此，－
503
°
36
′角是第三
象限角，且在
0
°～
360
°范围内，与
< br>216
°
24
′角有相同的终边
．
10
．已知角的集合
M
＝
{
α
< br>|
α
＝
30
°＋
k
·
90
°，
k
∈
Z}
，回答下列问题：
(1)
集合<
/p>
M
中大于－
360
°且小于
360
°的角是哪几个？
(2)
写出集合
M
中的第二象限角
β
的一般表达式．
13
11
解：
(1)
令－
360
°
< br><30
°＋
k
·
90
°
<360
°，则－
<
k
<
，又∵
k
∈
Z
，∴
k
＝－
4
，－
3
，－
2
，－
3
3
1,0,1,2,3
，
∴集合
M
中大于－
360
°且小于
360
°的
角共有
8
个，
分别是－
330
°，
－
240
°，
－
150
°，
－
60
°，
30<
/p>
°，
120
°，
210
°，
300
°
< br>.
(2)
集合
M
中的第二象限角与
120
°角的终边相同，
∴
β
＝
120
°＋
k
·
360
°，
k
∈
Z.
层级二
应试能力达标
- 8 -
1
．给出下列四个结论：①－
15
°是第四象限角；②
185
°是第三象限角；③
475
°是第二象
限角；④－
350
°是第一象限角．其中正确的个数为
(
)
A
．
1
C
．
3
B
．
2
D
．
4
解析：选
D
①－
15
°是第四象限角；
②
180
°
<185
°
<270
°是第三象限角；
③
475
°＝
360<
/p>
°＋
115
°，而
90
°
<115
°
< br><180
°，所以
475
°是第
二象限角；
④－
350
°＝－
360
°＋
10
°是第一象限角，
所以四个结论都是正确的．
2
．若角
2
α
与
240
°角的终边相同，则
α
＝
(
)
A
．
120
°＋
k
·
360
°，
k
∈
Z
B
．
120
°＋
k
·
180
°，
k
∈
Z
C
．
240
°＋
k
·
360
°，
k
∈
Z
D
．
240
°＋
k
·
180<
/p>
°，
k
∈
Z
解析：选
B
角
2
α
与
240
°角的终边相同，则
2
α
＝
240
°＋
k
·
360
°，
k
∈
Z
，则
α
＝
120
°＋
k
·
180
°，
k
∈<
/p>
Z.
选
B.
3
．若
α
与
β<
/p>
终边相同，则
α
－
β
的终边落在
(
)
A
．
x<
/p>
轴的非负半轴上
B
．
x
轴的非正半轴上
C
．
y
轴的非负半轴上<
/p>
D
．
y
轴的非正半轴上
解析：选
A
∵
α
＝
β
＋
k
·
360
°，
k
∈
Z
，
<
/p>
∴
α
－
β
＝
k
·
360
°，
k
∈
Z
，
∴其终边在
x
轴的非负半轴上．
4
．设集合
M
＝
{
< br>α
|
α
＝
45
°＋
k
·
90
°，
k
∈
Z}
，
N
＝
{
α
|
α
＝<
/p>
90
°＋
k
·<
/p>
45
°，
k
∈<
/p>
Z}
，则集合
M
与
N
- 9 -
的关系是
(
)
A
．
M<
/p>
∩
N
＝∅
C
．
N
B
．
M
N
M
D
．
M
＝
< br>N
解析：选
C
对于集合
M
，
α
＝
45
°＋
k
·
90
°＝
45
°＋
2
k
·
45
°＝
(2
k
＋
1)
·
45
°，即
M
＝
{
α
|
α
＝
(2
k
＋
1)
·
45
°，
k
∈
Z}
；对于集合
N
，
α
＝
90
°＋
k
·
45
°＝
2
×
45
°＋
k
·
45
°＝
(
k
＋
2)
·
45
°，即
N
＝
{
α
|
α
＝
(
k
＋
2)
·
< br>45
°，
k
∈
< br>Z}
＝
{
α
|
α
＝
n
·
45
°，
n
∈
Z}
．∵
2
k
＋
1
表示所有的奇数，而
n
表示所有的整数，
∴
N
M
，故选
C.
5
．从
13
：
00
到
14
：
00
，时针转过的角为
________
，分针转过的角为
________
．
解析：经过一小时，时针顺时针旋转
30
°，分针顺时针旋转
360
°，结合负角的定义可知<
/p>
时针转过的角为－
30
°，分针转过的角
为－
360
°
.
答案：－
30
°
－
360
°
6
．已知角
2
α
的终边在
x
轴的上方，那么
α
是第
______
象
限角．
解析：由题意知
k
·
360
°
<2
α
<180
°＋
k
·
360
°
(
k
∈
Z)
，故
k
·
180
°
<
α
<90
°＋<
/p>
k
·
180
°<
/p>
(
k
∈
Z)
，按照
k
的奇偶性进行讨论．当
k
＝
2
n
(
n
∈
Z)
< br>时，
n
·
360
°
<
α
<90
°＋
n
·
360
°
(
n
∈
< br>Z)
，∴
α
在第一象限；当
k
＝
2
n
＋
1(
n
∈
Z)
时，
180
°＋
n
·
360
°
<
α
<270
°＋
n
·
360
°
(
n
∈
Z)<
/p>
，∴
α
在第三象限．故
< br>α
是第一或第三
象限角．
答案：一或三
7
．
试写出终边在直线
y
＝－
的元素
α
写出来．
解：终边在直线
y
< br>＝－
3
x
上的角的集合
3
x
上的角的集合<
/p>
S
，
并把
S
中适合不等式－
180
°≤
α
<180
°
S
＝
{
α
|
< br>α
＝
k
·
360
°＋
120
°，
k
∈
Z}
∪
{
α
|
α
＝
k
·
360
°＋
300
°，
k
∈
Z}
＝
{
< br>α
|
α
＝
k
·
180
°＋
120
°，
k
∈
< br>Z}
，
其中适合不等式－
180
°≤
α
<180
°的元素
α
为－
60
°，
120
°
.
8.
如图，分别写出适合下列条件的
角的集合：
- 10 -
(1)
终
边落在射线
OB
上；
(2)
终边落在直线
OA
上；
(3)
终边落在阴影区域内
(
含边界
)
．
解：
(1)
终边落在
射线
OB
上的角的集合为
S
1
＝
{
α
|
α
＝
60
< br>°＋
k
·
360
°，
k
∈
Z}
．
(2)
终边落在直线
OA
上的角的集合为
S
2
＝
{
α
|
α
＝
30
°＋
k
·
18
0
°，
k
∈
Z
}
．
(3)
终边落在阴影区域内
(
含边界
)
的角的集合为
S
3
＝
{
α
|30
°＋
k
·
18
0
°≤
α
≤
6
0
°＋
k
·
1
80
°，
k
∈
Z}
．
1
．
1.2
弧
度
制
预习课
本
P6
～
9
，
思考并完成以下问题
(1)1
弧度的角是如何定义的？
(2)
如何求角
α
的弧度数？
(3)
如何进行弧度与角度的换算？
(4)
以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？
[
新知初探
]
1
．角的单位制
- 11 -
(1)
角度制：
规定周角的
为
1
度的角，用度作为
单位来度量角的单位制叫做角度制．
360
< br>(2)
弧度制：
把长度等于半
径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度的角．以弧度作为单位来度量
角的单位
制，叫做弧度制，它的单位符号是
rad
，读作弧度，通常略去不写．
(3)
角的弧度数的求法：
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是
0
.
如果半径为
r
的圆的圆心角
α
所对弧的长为
l
，那
么角
α
的弧度数的绝对值
|
α
|
＝
.
1
l
r
[
< br>点睛
]
用弧度为单位表示角的大小时，
“弧度”两个字可以省略不写，
如
2 rad
的单位“
rad
”
可省
略不写，只写
2.
2
．角度与弧度的换算
角度化弧度
360
< br>°＝
2
π
_rad
180
°＝π
_rad
1
°＝
rad
≈
0.017 45
rad
180
π
π
弧度化角度
2
π
rad
＝
360
°
π
rad
＝
180
°
180
°
≈
57.30
°
1 rad
＝
π
1
80
°＝度数
弧度数×
π
< br>
度数×
＝弧度数
180
3
．弧度制下的弧长与扇形面积公式
公式
弧长公式
度量制
角度制
扇形面积公式
l
＝
n
π
r
180
S
＝
n
π
r
2
36
0
- 12 -
l
＝
α
·
r
弧度制
(0<
α
<2
π
)
1
1
S
＝
lr
＝
α
r
2
2
2
(0<
α
<2
π
)
[
点睛
]
由
扇形的弧长及面积公式可知：对于
α
，
r
，
l
，
S<
/p>
“知二求二”
，
它实质上是方程思
想的运用．
[
小试身手
]
1
．判断下列命题是否正确．
(
正确的打“√”
，
错误的打“×”
)
(1)1
弧度＝
1<
/p>
°
.(
)
(2)
每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．
(
)
(3)
用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．
(
)
答案：
(1)
×
(2)
√
(3)
×
π
2
．若
α
＝<
/p>
k
π＋
，
k
∈
Z
，则
α
所在的象限是
(
)
3
A
．第
一、二象限
C
．第一、三象限
答案：
C
2
π
3
．半径为
1
，圆心角为
的扇形的面积是
(
)
3
4<
/p>
π
2
π
π
A
．
B
．π
C
．
D
．
3
3
3
答案：
D <
/p>
2
π
4
．
(1)
＝
________
< br>；
(2)
－
210
°＝
________.
3
7
π
答案：
(1)120
°
(2)
－
6
B
．第二、三象限
D
．第一、四象限
- 13 -
角度与弧度的换算
[
典例
]
把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
2
π
(1)72
°；
(2)
－
300
°；
(3)2
；
(4)
－<
/p>
.
9
2
π
[
解
]
(1)7
2
°＝
72
×
＝
.
180
5
5
π
(2)
－
300
°＝－
300
×
＝－
.
180
3
π
π
180
360
°＝
°
.
(3)2
＝
2
×
π
π
2
π
180
2
π
°＝－
40
°
< br>.
(4)
－
＝－
×
9
π
< br>9
角度与弧度互化技巧
π
在进行角度与弧度的换算时，
抓住关系式π
rad
＝
180
°是
关键，
由它可以得到：
度数×
180<
/p>
180
＝弧度数，弧度数×
＝度数．
π
[
活学活用
]
将下列角度与弧度进行互化：
511
7
π
(1)
π
；
(2)
－
；
(3)10
°；
(4)
－
855
°
.
6
12
511
511
解：<
/p>
(1)
π＝
×
1
80
°＝
15
330
°
.
6
6
7
π
7
(
2)
－
＝－
×
180
°＝－
105
°
.
12
12
- 14 -
< br>(3)10
°＝
10
×
＝
.
180
18
19
π
(4)
－<
/p>
855
°＝－
855
×
＝－
.
180
4
用弧度制表示角的集合
[
典例
]
已知角
α
＝
2
005
°
.
(1)
< br>将
α
改写成
β
< br>＋
2
k
π
(
k
∈
Z,0
≤
β
＜
2
π
)
的形式，并指出
α
< br>是第几象限的角；
(2)
在<
/p>
[
－
5
π，
0)
内找出与
α
终
边相同的角．
401
π
[
解
]
(1)2
005
°＝
2
005
×
rad
＝
rad
180
36
< br>π
π
π
π
41
π
41
π
3
π
rad
，又π
<
＝
5
×
2
π＋
<
，
<
/p>
36
36
2
<
/p>
41
π
∴角<
/p>
α
与
终边相同，是第三象限的角．
36
41
π
(2)
与
α
终边相同
的角为
2
k
π＋
(
k
∈
Z)
，
36
41
π
由－
5
π≤
2
k
π＋
＜
0
，
k
∈
Z
知
k
＝－
1
，－
2
，－
3. <
/p>
36
31
π
10
3
π
175
π
∴在
[
－
5
π
，
0)
内与
α
终边相同的角是－
，－
，－
.
36
36
36
用弧度制表示终边相同的角
2
k
π＋
α
(
k
∈
Z)
时，其中
2
k
π是π的偶数倍，而不是整数倍，
还要注
意角度制与弧度制不能混用．
[
活学活用
]
1
．将－
1 125
< br>°表示成
2
k
π＋
α
，
0
≤
< br>α
<2
π，
k
< br>∈
Z
的形式为
________
．
解析：因为－
1 125
°＝－
4
×
360
°＋
315
°，
7<
/p>
π
315
°＝
3
15
×
＝
，
180
4
-
15 -
π
7
π
所以－
1
125
°＝－
8
π＋
< br>.
4
7
π
答案：－
8
π＋
4
2
．用弧度表示终边落在阴影部分内
(
不包括边界
)
的角的集合．
π
解：如
图，
330
°角的终边与－
30
°角的终边相同，将－
30
°化为弧度，即－
，
6
5
π
而
75
°＝
75
×
＝
，
180
12
π
π
5
π
∴终边落在阴影部分内
(
不包括边界
)
的角的集合为
θ
2
k
π－
<
θ
<2
k
π＋
，
k
∈
Z
.
6
12
题点一：利用公式求弧长和面积
1
．已知扇形的半径为
10 cm
，圆心角为
60
°，求扇形的弧长和面积．
π
π
10<
/p>
π
解：已知扇形的圆心角
α
＝
60
°＝
，半径
r
＝
10 cm
，则弧
长
l
＝
α
·<
/p>
r
＝
×
10
＝
(cm)
，
3<
/p>
3
3
1
1
10
π
50
π
于是面积
S
＝
lr<
/p>
＝
×
×
10
＝
(cm
2
)
．
2
2
3
3
题点二：利用公式求半径和弧度数
2
．扇形
OAB
的面积是
4
cm
2
，它的周长是
8
cm
，求扇形的半径和圆心角．
解：
设扇形圆心角的弧度数为
θ
(0<
θ<
/p>
<2
π
)
，弧长
为
l
cm
，半径为
r
cm
，
扇形的弧长公式及面积公式
- 16 -
l
＋
2
r
＝
8
，
①
依题意有
1<
/p>
l
·
r
＝
4
，
②
2
由①②，得
r
＝
2
，∴<
/p>
l
＝
8
－
2
r
＝
4
，
θ
＝
＝
2.
l
r
故所求扇形的半径
为
2
、圆心角为
2 rad.
题点三：利用公式求扇形面积的最值
3
．已知扇形的周长是
30
cm
，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积
最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为
α
(0<
α
<
2
π
)
，半径为
r
，面积为
S
，弧长为
l
，则
l
＋
2
r
＝
30
< br>，故
l
＝
30
< br>－
2
r
，
15
225
15
1
1
15
2
2
<
r
<1
5
，所以，当
r
＝
从而
S
＝
lr
＝
(30
－
2
r
)
r
＝－
r
＋
1
5
r
＝－
r
－
＋
2
π＋
1
2
2
4
2
225
cm
时，
α
＝
2
，扇形面积最大，最大面积为
cm
2
.
4
弧度制下涉及扇形问题的攻略
1
1
(1)
明确弧
度制下扇形的面积公式是
S
＝
lr
＝
|
α
|
r
2
(
其中
l
是扇形的弧长，
r
是扇
形的半径，
2
2
α
是扇形的圆心角
)
．
(2)
涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目
已知哪些量求哪
些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程
(
组
)
求解．
[
提醒
]
运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是
α
为弧度．
- 17 -
层级一
学业水平达标
1
．把
50
°化为弧度为
(
)
5
π<
/p>
B
．
18
9
000
D
．
π
π
A
．
50
18
C
．
5
π
5
π
解析：选
B
50
°＝
50
×
＝
.
180
18
2
．扇形的周长是
16
，圆心角是
2
弧度，则扇形的面积是
(
)
A
．
16
π
C
．
16
B
．
32<
/p>
π
D
．
32
解析：选
C
弧长
l
＝
2
r,
4
r
＝
16
，
r
＝
4
，得
l
＝
8
，
1
即
S
＝
lr
＝
16.
2
5
π
3
．角
α
的终边落在区间
－
3<
/p>
π，－
内，则角
α
所在的象限是
(
)
2
<
/p>
A
．第一象限
C
．第三象限
B
．第二象限
D
．第四象限
5
π
解析：
选
C
－
3
π的终边在
x
轴的非正半轴上，
－
的终边
在
y
轴的非正半轴上，
故角
2
α
为第三象限角．
<
/p>
4
．时钟的分针在
1
点到
3
点
20
分这段时间里转过的弧度为
(
)
14
A
．
π
3
14
B
．－
π
3
- 18
-
C
．
π
18<
/p>
7
D
．－
π
18
7
7
解析：选
B
显然分针在
1
点到
3
点
20
分这段时间里，顺时针转过了
周，转过的弧度
3
7
14
为－
×
2
π＝－
π
.
3
3
5
．下列表示中不正确的是
(
)
A
．终边在
x
轴上的角的集合是
{
α
|
α
＝
k
π，
k
∈
Z}
π
B
< br>．终边在
y
轴上的角的集合是
αα
＝
＋
k<
/p>
π，
k
∈
Z
2
π
C
．终边在坐标轴上的角的集合是
αα
＝
k
·
< br>，
k
∈
Z
2
π
D
．终边在直线
y
＝
x
上的角的集合是
αα
＝
＋
2
k
< br>π，
k
∈
Z
4
π
解析
：选
D
终边在直线
y
＝
x
上的角的集合应是
αα
＝
＋
k
π，
k
∈
Z
.
4
11
π
6
．－
135
°化为弧度为
_
_______
，
化为角度为
____
____
．
3
π
3
解析：－
135
°＝－
135
×
＝－
π，
180
4
11
11
π＝
×
180
°＝
660
°
.
3
3
3
答案：－
π
660
°
4
7
．扇形的半径是
6
< br>，圆心角是
60
°，则该扇形的面积为
< br>________
．
π
1
1
π
2
解析：
60
°＝
，扇形的
面积公式为
S
扇形
＝
< br>α
r
＝
×
×
(
3
2
2
3
答案：π
- 19 -
6)
2
＝π
.
k
π
π
8
．设集合
M
＝
αα
＝
－
，
k
∈
Z
，
N
＝
{
< br>α
|
－π
<
α
<
π
}
，则
M
∩
N
＝
________.
2
3
4
8
解析：由－π
<
－
<
π，得－
<
k
<
.
2
3
3
3
∵
k
∈
Z
，∴
k
＝－
1,0,1,2
，
k
π
π
5
π
π
2
∴
M
∩
N
< br>＝
－
π，－
< br>，
，
π
.
3
6
3
6
5<
/p>
π
π
2
答案：
－
π，－<
/p>
，
，
π
3
6
3
6
9
．一个扇形的面积为
1
，周长为
4
，求圆心角的弧度数．
解：设扇
形的半径为
R
，弧长为
l
，则
2
R
＋
l
＝
4.
1
1
根据扇形面积公式
S
＝
lR
，得
1
＝
l
·
R
.
2
2
2
R
＋
l
＝
4
，
联立
< br>
1
l
·
R
＝
1
，
2
解得<
/p>
R
＝
1
，
l
＝
2
，
∴
α
＝
＝
＝
2.
R
1
10
．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几
象限角．
(1)
－
1 725
< br>°；
(2)
－
60
°＋
360
°·
k
(
k
∈
Z)
．
5
π
5
π
解：
(1)
－
1 725
°＝
75
°－
5
×
360<
/p>
°＝－
5
×
2<
/p>
π＋
＝－
10
π
＋
，是第一象限角．
12
12
π
(2)
－
60
°＋
360
°·<
/p>
k
＝－
×
60<
/p>
＋
2
π·
k
＝－
＋
2
k
π
(
k
∈
Z)
，是第四象限角．
180
3
π
l
2
层级二
应试能力达标
1
．下列转化结果错误的是
(
)
-
20 -
π
A
．
60
°化成弧度是
3
10
B
．－
π化成度是－
600
°
3
7
C
．－
150
°化成弧度是－
π
6
π
D
．
化成度是
15
°
12
π
< br>10
10
解析：
选
C
对于
A,60
°＝
60
×
＝
；
对于
B
，
－
π＝－
×
180
°＝－
600
°；
对于
C
，
180
3
3
3
5
π
1
－
150
°＝－
150
×
＝－
π；对于
D
，
＝
×
< br>180
°＝
15
°
.
故
C
错误．
180
6
12
12
π
π
π
π
2
< br>．集合
α
k
< br>π＋
≤
α
≤
k
π＋
，
k
∈
Z
中角的终边所在的范围
(
阴影部分
)
是
(
)
4
2
π
π
解析：选
C
当
k
＝
2
m
，
m
∈
Z
时，
2
m
π＋
≤
α
≤
< br>2
m
π＋
，
m
∈
Z
；当
k
＝
2
m
＋
1
，
m
∈
Z
4
2
5
π
3
π
时，
2
m
π＋
≤
α
≤
2
m
< br>π＋
，
m
∈
Z
，所以选
C.
4
2
π
π
3
< br>．若角
α
与角
x
＋
有相同的终边，角
β
与角<
/p>
x
－
有相同的终边，那么
α
与
β
间的关系为
4
4
(
)
A
．
α<
/p>
＋
β
＝
0
C
．
α
＋
β
＝
2
k
π
(
k
∈
Z)
B
．
α
－
β
< br>＝
0
π
D
．
α
－
β
＝
2
k
π＋
(
k
∈
Z)
2
π
π
π
解析：
选
D
∵
α
＝
x
＋
＋
2
k
1
π
(
k
1
∈
Z)
，
β
＝
x
－
＋
2
k
2
π
(
k
2
∈
Z)
，∴
α
－
β
＝
＋<
/p>
2(
k
1
－
k
2
)
·π
4
4
2
- 21 -
< br>(
k
1
∈
Z
，
k
2
∈
Z)
．
∵<
/p>
k
1
∈
Z
，
k
2
∈
Z
，∴
k
1
－
k
2
∈
< br>Z.
π
∴
α
< br>－
β
＝
＋
2
k
π
(
k
∈
Z)
．
<
/p>
2
4
．
圆弧长度
等于其所在圆内接正三角形的边长，
则该圆弧所对圆心角的弧度数为
(
)
π
A
．
3
C
．
3
2
π
B
．
3
D
．
2
解析：选
C
如图，设圆的半径为
R
，则圆的内接正三角形的边长为
3
R
3
R
，所以圆弧长
度为
8
3
R
的
圆心角的弧度数
α
＝
R
＝
3.
5
．若角
α
的终边与
π角的终边相同，则在
[0,2
π
]
上，终边与
角的终边相同的角是
5
4
< br>____________
．
8
π
α
2
π<
/p>
k
π
α
2
π
9
π
7
π
解析：
由题意，
得
α
＝
＋
2
k
π，
∴
＝
＋
(
k
∈
Z)
．
令
k
< br>＝
0,1,2,3
，
得
＝
，
，
，
5
4
5
2
< br>4
5
10
5
19
π
.
10
< br>2
π
9
π
7
π
19
π
答案：
，
，
，
5
10
5
10
π
6
．已知一扇形的圆心角为
rad
，半径为
R
，则
该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为
3
________
．
解析：设扇形内切圆的半径为
r
，
π
∵扇形的圆心角为
，半径为
R
，
3
1
π
π
2
∴
S
扇形
＝
×
R
＝
R
2
.
2
3
6
α
- 22 -
∵扇形内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，
∴
R
＝
r
＋
2
r
＝
3
r
，∴
r
＝
.
3
∵
S<
/p>
内切圆
＝π
r
2
＝
π
9
R
R
2
，
π
π
2
∴
S
内切圆
∶
S
扇形
＝
R
∶
R
2
＝
2
∶
3.
9
6
答案：
2
∶
3
< br>7
．已知
α
＝
< br>1 690
°，
(1)
把
α
写成
2
k
π＋
β
(
k
∈
Z
，
β
∈
[0,2
π
))
的形式；
(2)
求
θ
，使
θ
与
α
终边相同，且
θ
∈
(
－
4
π，
4
π
)
．
25
解：
(1)1 690
°＝
4
×
360
°＋
250
°＝
4
×
2
π＋
π
.
18
25
(2)
∵
θ
与
α
终边相同，∴
θ
＝
2
k
π＋
π
(
k
∈
Z)
．<
/p>
18
25
又<
/p>
θ
∈
(
－
4
π，
4
π
)
，∴－
4
π
<2
k
π＋
π
<4
π
.
18
97
47
解得－
<<
/p>
k
<
(
k
∈
Z)
，∴
k
＝－
2
，－
1,0,
1.
36
36
47
< br>11
25
61
∴
θ
的值是－
π，－
π，
π，
π
.
18
18
18
18
<
/p>
8
．已知扇形
AOB
的圆心角为
120
°，半径长为
6
，求：
(1)
弧
AB
的长；
(2)
扇形所含弓形的面积．
120
2
解：
(1)
因为
120
°＝
π＝
π，
180
< br>3
2
所以
l
＝
α
·
r
＝
π×
6
＝
4
π，
3
- 23 -
< br>所以弧
AB
的长为
4
π
.
1
(2)
因为
S
扇形
AOB
＝
lr
＝
×
4
π×
6
＝
12
π，
2
2
如图所示，过点
O
作
OD
⊥
AB
，
交
AB
于
D
点
，
1
1
于是
有
S
△
OAB
＝
AB
·
OD
＝
×
2
×
6c
os 30
°×
3
＝
< br>9
2
2
所以弓形的面积为
S
扇形
AOB
－
S
△
OAB
＝
12
π－
9
3.
3.
1
任意角的三角函数
1
．
2.1
任意角的三角函数
第一课时
三角函数的定义与公式一
预习课本
P11
～
15
，思考并完成以下问题
(1)
任意角的三角函数的定义是什么？
(2)
三角函数值的大小与其终边上
的点
P
的位置是否有关？
(3)
如何求三角函数的定义域？
(4)
如何判断三角函数值在各象限内的符号？
-
24 -
(5)
诱导公式一是什么？
[
新知初探
]
1
．任意角的三角函数的定义
如图，设
α
是一个任意角，
< br>前提
它的终边与单位圆交于点
P
(
x
，
y<
/p>
)
正弦
余弦
正切
定义
三角
y
叫做
α<
/p>
的正弦，记作
sin
α
，即
sin
α
＝
y
x
叫做
α
的余弦，
记作
cos
α
，即
cos
α
＝
x
y
x
叫做
α
的正切，记作
tan
α
，即
tan
α
＝
(
x
≠
0)
y
x
正
弦、
余弦、
正切都是以角为自变量，
以
单位圆
上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，
将
函数
它们统称为三角函数
[
点睛
]
三
角函数也是函数，
都是以角为自变量，
以单位圆上点的坐标
(
坐标的比值
)
为
函
数值的函数；三角函数值只与角
α
的
大小有关，即由角
α
的终边位置决定．
2
．三角函数值的符号
如图所示：
正弦：一二象限正，三四象限负；
余弦：一四象限正，二三象限负；
正切：一三象限正，二四象限负．
- 25 -
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
3
．诱导公式一
即终边相同的角的同一三角函数值相等．
[
点睛
]
诱
导公式一的实质是：终边相同的角，其同名三角函数的值相等．因为这些角
的终边都是同
一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等．
[
小试身手
]
1
．判断下列命题是否正确．
(
正确的打“√”
，
错误的打“×”
)
(1)
若
α
＝
β
＋
720
°，则
cos
α
＝
cos
β
.(
)
(2)
若
sin
α
＝
sin
β
，则
α
＝
β
.(
)
(3)
已知
α
是三角形的内角，则必有
sin
α
>0.(
)
答案：
(1)
√
(2)
×
(3)
√
2
．若
sin
α
<0
，
tan
< br>α
>0
，则
α
< br>在
(
)
A
．第一象限
C
．第三象限
答案：
C
B
．第二象限
D
．第四象限
5
2
5
，则
si
n
α
＋
cos
α
＝
(
)
3
．已知角
α
的终边与单位圆的交点
P
，－
5
5
A
．
5
5
< br>B
．－
5
5
2
C
．
5
5
2<
/p>
D
．－
5
5
答案：
B
- 26 -
< br>π
3
π
4
．
sin
＝
________
，
cos
＝
____
____.
3
4
3
< br>2
2
2
答案：
< br>
－
三角函数的定义及应用
[
典例
]
设
a
<0
，角
α
的终边与单位圆的交点为
P
(
－
3
a,
4
a
)
，那么
sin
α
＋
2cos
α
的值等
于
(
)
2
A
．
5
1
C
．
5
2
B
．－
5
1
D
．－
5
[
解析
]
∵点
P
在单位圆上，则
|
OP
|
＝
< br>1.
即
－
3
< br>a
2
＋
4
a
2
＝
1
，
解得
1
a
＝±
.
5
1
∵
a
<0
，∴
a
＝
－
.
5
3
4
∴
P
点的坐标为
，－
.
5
5
4
3
∴
sin
α
＝－
，
cos
α
＝
.
5<
/p>
5
4
3
2
∴
sin
α
＋
2cos
α
＝－
＋
2
×
＝
.
5
5
5
[
答案
]
A
利用三角函数的定义求值的策略
(1
)
已知角
α
的终边在直线上求
α
的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求
出
- 27 -
相应三角函数值．
法二：在
α
的终边上任选一点
P
(
x
，
y<
/p>
)
，
P
到原点的
距离为
r
(
r
>0)
．则
sin
α
＝
，
cos
α
y
r
＝
.
已知
α
的终边求
α
的三角函数值时，用这几个公式更方便．
x
r
(2)
当角
α
的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的
实际情况对参数进行分类
讨论．
[
活学活用
]
1
．如果
α
的终边过点
P
(2sin
30
°，－
2cos 30
°
)
，那么
sin
α
的值等于
(
)
1
A
．
2
3
2
1
B
．－
2
3
3
C
．－
D
．－
3)
，
解析：选
C
由题意知
P
(1
，－
所以
r
＝
< br>1
2
＋
－
3
2
3
2
＝
2
，
所以
sin
α
＝－
.
5
2
．已知角
α
的终边过点
P
(12
，
a
)
，且
tan
α
＝
，求
sin
α
＋
cos
α
的值．
12
解：根据三角函数的定义，
tan
α
＝
＝
，
12
12
∴
a
＝
5
，∴
P
(12,5)
．这时
r
＝
13
，
12
17
∴
s
in
α
＝
，
cos
α
＝
，从而
s
in
α
＋
cos
α
＝
.
13
13
13
三角函数值符号的运用
[
典例
]
(1)
若角
θ
同时满
足
sin
θ
<0
且
tan
θ
<0
，则角
θ
的终边一定位于
(
)
A
．第一象限
C
．第三象限
a
5
5
B
．第二象限
D
．第四象限
- 28 -
< br>
α
α
α
cos
(2)
设
α
是第三象限角，且
＝－
cos
，则
所在
象限是
(
)
2
2
2
A
．第一象限
C
．第三象限
B
．第二象限
D
．第四象限
[
解析
]
(1)
由
sin
θ
<0
，可知
θ
< br>的终边可能位于第三或第四象限，也可能与
y
轴的负半轴
重合．由
tan
θ
< br><0
，可知
θ
的终边可能位于第
二象限或第四象限，故
θ
的终边只能位于第四象
限．
(2)
∵
α
是第三象限角，
3
π
∴
2
k
π＋π
<
α
<2
k
π＋
，
k
∈
Z.
2
π
α
3
π
∴
k
π＋
<
<
k
π＋
.
2
2
4
∴
在第二、四象限．
2
α
α
α
α
cos
又∵
＝－
cos
，∴
cos
<0.
2
2
2
∴
在第二象限．
2
[
答案
]
(1)D
(2)B
对于已知角
α
，判断
α
的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口
诀
“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．
[
活学活用
]
1
．设△
ABC
的三个内角为
A
，
B
，
C
，则下列各组数中有意义且均为正值的是
(
)
A
．
tan
A
与
cos
B
B
．
cos
B
与
sin
C
α
- 29 -
C
．
sin
C
与
tan
A
D
．
tan
与
sin
C
2
A
解析：选
D
∵
0
＜
A
＜π，∴
0
＜
＜
，∴
t
an
＞
0
；
2
2
2
又∵<
/p>
0
＜
C
＜π，∴
sin
C
＞
0.
2
．若角
α
是第二象限角，则点
P
(sin
α
，
cos
α
)
在第
________
象限．
解析：∵
α
为第二象限角，
∴
sin
α
＞
0
，
cos
α
＜
0.
∴
P
(sin
α
，
cos
α
)
位于第四象限．
答案：四
诱导公式一的应用
[
典例
]
计算下列各式的值：
(1)sin(
－
1
395
°
)cos 1 110
°＋<
/p>
cos(
－
1
020
°
)sin
750
°；
A
π
A
11
π
12
π
＋
cos
(2)sin
－
·
tan
4
π
.
6
5
[
解
]
(1)
原式＝
sin(
－
4
×
360
°＋
45
°
< br>)cos(3
×
360
°＋
30
°
)
＋
cos(
－
3
×
360
°＋
60
°
)sin(2
×
360
°＋
30
°
)
＝
sin
45
°
cos
30
°＋
cos
60
°
sin
30
°
1
1
＝
×
＋
×
2
2
2
2
6
1
＝
＋
4
4
< br>1
＋
4
6
.
2
3
＝
π
2<
/p>
π
π
2
π
1
－
2
π＋
2
π＋
(2)
原式＝
sin
＋
cos<
/p>
·
tan(4
π＋
0)
＝
sin
＋
cos
×
0
＝
.
6
5
6
5
2
-
30 -
利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤
[
活学活用
]
求下列各式的值：
15
π
25
π
；
(1)sin
＋
tan
－
4
3
(2)sin
810
°＋
cos
360
°－
tan 1
125
°
.
15
π
25
π
解：
(1)sin
＋
tan
－
4
3
π
π
＝
sin
8
π＋
＋
t
an
－
4
π
＋
3
<
/p>
4
π
π
＝
sin
＋
tan
3
4
3
2
＝
＋
1.
(2)sin
810
°＋
cos
360
°－
tan 1
125
°
＝
sin(2
×
360
°＋
90
°
)
＋
cos(360
°＋
0
°
)
－
tan(3
×
360
°＋
45
°
)
＝
sin
90
°＋
cos
0
°－
tan
45
°
＝
1
＋
1
－
1
＝
1.
层级一
学业水平达标
2
π
1
．若
α
＝
，则
α
的终边与单位圆的交点
P
的坐标是
(
)
3
-
31 -
1
3
A
．
，
2
2
3
1
< br>
C
．
－
，
2
2
1
3
B
．
< br>
－
，
2
2
1
3
D
．
，－
2
2
2
π
解析：选
B
设
P
(
x
，
y
)
，∵角
α
＝
在第二象限，
3
1
∴
x
＝－
，
y
＝
2
1
3
2
－
1
－
＝
，<
/p>
2
2
1
3
.
∴
P
－<
/p>
，
2
2
2
．若角
α
的终边上一点的坐标为
(1
，－
1)
，则
cos
α
为
(
)
A
．
1
2
2
B
．－
1
2
2
C
．
D
．－
解析：
选
C
∵角
α
的终边上一点的坐标为
(1
，
－
1)
，
它与原点的距离
r
＝
1
2
＋
－
1<
/p>
2
＝
2
，∴
cos
α
＝
＝<
/p>
x
r
1
2
＝
2
2
.
3
．若三角形的两内角
α
，
β
满足
sin
α
cos
β
<0
，则此三角形必为
(
)
A
．锐角三角形
B
．钝角三角形
C
．直角三角形
D
．以上三种情况都可能
解析：选
B
∵
sin
α
cos
β
<0
，
α
，
β
∈
(0
，π
)
，
∴
sin
α
>0
，
co
s
β
<0
，∴
β
为钝角．
4
．代数式
sin
120
°
cos
210
°的值为
(
)
- 32 -
3
A
．－
4
3
C
．－
2
B
．
3
4
1
D
．
4
3
2
解析：选<
/p>
A
利用三角函数定义易得
sin
120
°＝
，
3
3
3
cos
210
°＝－
，∴
sin
120
°
cos 210
°＝
×
－
＝－
，故选
A.
2
2
4
2
3
5
．若角
α
的终边在直线
y
＝－<
/p>
2
x
上，则
si
n
α
等于
(
)
1
A
．±
5
2
C
．±
5
5
5
B
．±
5
1
D
．±
2
解析：
选
C
在
α
的终边上任取一点
(
－
1,2)
，
则
r
＝
1
< br>＋
4
＝
5
，
所以
sin
α
< br>＝
＝
y
r
2
5
＝
2
5
5.
或者取
P
(1
，－
2)
，则
r
＝
1
＋
4
＝
5
，所以
sin
α
＝
＝－
y
r
2
2
＝－
5
5
5.
17
π
＝
________.
6
．
tan
－
3
17
π
π
π
－
－
6
π＋
解析：
tan
＝
tan
＝
< br>tan
＝
3.
3
3
3
答案：
3
12
7
．已知角
α
的终边过点
P
(5
，<
/p>
a
)
，且
tan
α
＝－
，则
s
in
α
＋
cos
α
＝
________.
5
12
解析：∵
tan
α
＝
＝－
，∴
a
＝－
12.
5
5
∴
r
＝
25
＋
a<
/p>
2
＝
13.
a
- 33 -
12
5<
/p>
∴
sin
α
＝
－
，
cos
α
＝
.
13
13
7
∴
si
n
α
＋
cos
α
＝－
.
1
3
7
答案：－
13
|sin
α
|
8
．若角
α
的终边落在直线
x
＋
y
＝
0
上，则
＋
＝
________.
|cos
α
|
cos
α
|sin
α
|
sin
α
sin
α
解析：当
α
在第二象限时，
＋
＝－
＋
＝
0
；当
α
在第四象限时，
|
cos
α
|
cos
α
cos
α
cos
α
|sin
α
|
sin
α
sin
α
＋
＝
－
＝
0.
|cos
α
|
cos
α
cos
α
cos
α
|sin
α
|
综上，
＋
＝
0.
|cos
α
|
cos
α
答案：
0
9
．求下列三角函数值：
sin
α
sin
α
sin
α
sin
α
31
π
1
9
π
.
(1)cos(
－
1 050
°
)
；
(2)tan<
/p>
；
(3)sin
－
4
3
解：
(1)
∵－
1 050
°＝－
3
×
360
°＋
30
°，
3
2
∴
cos(
－
1 050
°
)
＝
cos(
－
3
×
360
°＋
30
°
)
＝
cos 30
°＝
19
π
π
(2)
∵
＝
3
×
2
< br>π＋
，
3
3
.
<
/p>
π
19
π
π
∴
tan
＝
tan
3
×
2
π＋
＝
tan
＝
3
3
3
31
π
π
(3)
∵－
＝－
4
×
2
π＋
，
4
4
3.
31
π
<
/p>
π
π
2
－
－
4
×
2
π＋
∴
sin
＝
sin
＝
sin
＝
.
4
4
4
2
- 34 -
10
．已
知点
M
是圆
cos
α
和
tan
α
的值．
x
2
＋
y
2
＝
1
上的点，以射线
OM
为终边的角
α
的正弦值为－
2
2
，求
解：设点
M
的坐标为
(
x
1
，
y
1<
/p>
)
．
2
2
2
2
由题意，可知
sin
α
＝－
，即
y
1
＝－
.
∵点
M
在圆
x
2
＋
y
2
＝
1
上，
∴
x
2
1
＋
y
2
1
＝
1
，
2
< br>
2
＝
1
，
2
＋
－
即
x
1
2
解得
x
1
＝
2
2
或
x
2
＝－
2
2
< br>.
∴
cos
α
＝
2
2
或
< br>cos
α
＝－
2
2
，
∴
tan
α
＝－
1
或
tan
α
＝
1.
层级二
应试能力达标
1
．已知角
α
的终边经过点
(3
a
－
9
，
a
＋
2)
，且
cos
α
≤
0
，
sin
α
>0<
/p>
，则实数
a
的取值范围
< br>是
(
)
< br>A
．
(
－
2,3]
C
．
[
－
2,3)
解析：
选
A
由
cos
α
≤
0
，
sin
α
>0
可知，
角
α
的终边落在第二象限内或
y
轴的
正半轴上，
B
．
(
－
2,3)
D
．
[
－
2,3]
3
a
－
9
≤
0
，
所以有
a
＋
2>0
，
即－
2<
a
≤
3.
- 35 -
π
2
．
给出下列函数值：
①
sin(
< br>－
1 000
°
)
；
②
cos
－
；
③
< br>tan 2
，
其中符号为负的个数为
(
)
4
<
/p>
A
．
0
C
．
2
B
．
1
D
．
3
解析：选
B
∵－
1 000
°＝－
3
×
360
°＋
80
°，
∴－
1 000
°是第一象限角，则<
/p>
sin(
－
1 000
< br>°
)>0
；
< br>
π
π
∵－
是第四象限角，∴
cos
－
>0
；
4
4
∵
2 rad
＝
2
×
57
°
18
′＝
114
°
36
′是第二象限角，∴
tan
2<0.
故选
B.
3
．若
tan
x
<0
，且
sin
x
－
cos
x
<0
，则角
x
的终边在
(
)
A
．第一象限
C
．第三象限
B
．第二象限
D
．第四象限
解析：选
D
∵
tan
x
<0
，∴角
x
的终边在第二、四象限，
又
sin
x
－
cos
x
<0
，∴角
x
的终
边在第四象限．
4
4
．已知角
α
的终边经过
点
P
(
m
，－
6)
，且
cos
α
＝－
，则
m
＝
(
)
5
A
．
8
C
．
4
解析：
选
B
由题意
r
＝
|
OP
|
＝
B<
/p>
．－
8
D
．－
4
m
2
＋
－
6
2
＝
m
2
＋
36
，
故
cos
α
＝
m
m
2
＋
36
＝－
4
5
，解得
m
＝－
8.
5
．已知角
θ
的顶点为坐标原点，始边为
x
轴的正半轴，若
P
(4
，
y
)
是
角
θ
终边上一点，且
2
sin
θ
＝－
5
5
，则
y
＝
________.
解析：
|
OP
|
＝
4
2
＋
y
2
.
根据任意角三角函数的定义得，
y
4<
/p>
2
＋
y
2
＝－
2
5
5
，解得
y
＝±
- 36 -
2
8.
又∵
s
in
θ
＝－
答案：－
8
5
5
＜
< br>0
及
P
(4
，
y
)
是角
θ
终边上一点，可知
θ
为第四象限角
，∴
y
＝－
8.
6
．
tan
405
°－
sin
450
°＋
cos
750
°＝
________.
解析
：原式＝
tan(360
°＋
45
°
)
－
sin(3
60
°＋
90
°
)
＋
cos(2
< br>×
360
°＋
30
°
)
＝
tan
45
°－
sin
90
°＋
cos
30
°
3
2
3
2
＝
1
－
1
＋
3
2
＝
.
答案：
7
．判断下列各式的符号：
23
π
.
(1)sin
340
°
cos
265
°；
(2)sin 4tan
－
4
解：
(1)
∵
34
0
°是第四象限角，
265
°是第三象
限角，
∴
sin 340
°
<0
，
cos 265
°
<0
，
∴
sin
340
°
cos
265
°
>0.
3
< br>π
(2)
∵π
<4<
，∴
4
是第三象限角，
2
23
π
π<
/p>
∵－
＝－
6
π＋
，
4
4
23
π
∴－
是第一
象限角．
4
23
π
>0
，
∴
sin 4<0
，
< br>tan
－
4
< br>
23
π
<0.
∴
sin 4tan
－
4
8
．已知
＝－
< br>，且
lg(cos
α
)
有意义．
|sin
α
|
sin
α
- 37 -
1
1
(1)
试判断角
α
所在的象限．
3
< br>
(2)
若角
α
的终边上一点是
M
，
m
，
且
|
OM
|
＝
1(
O
为坐标原点
)
，
求
m
的值及
sin
α
的值．
5
解：<
/p>
(1)
由
＝－
，
所以
sin
α
<0
，
|sin
α
|
sin
α
由
lg(cos
< br>α
)
有意义，可知
cos
α
>0
，
<
/p>
所以
α
是第四象限角．
< br>
1
1
3
(2)
因为
|
OM
|
＝
1
，所以
2
＋
m
2
＝
1
，
5
4
得
m
＝±
.
5
又
α
为第四象限角，故
m
<0
，
4
从而
m
＝－
，
5
4
－
5
y
m
4
sin
α
＝
＝
＝
＝－
.
r
|
OM
|
1
5
第二课时
三角函数线
预习课本
P15
～
17
，思考并完成以下问题
(1)
有向线段是如何定义的？
(2)
三角函数线是如何定义的？
[
新知初探
]
- 38 -
1
．有向线段
带有方向的线段叫做有向线段．
2
．三角函数线
图示
正弦线
余弦线
α
的
终边与单位圆交于
P
，过
P
作
PM
垂直于
x
轴，有向线段
MP
即为正弦线
< br>
有向线段
OM
即为余弦线
过
A
(1,0)
作
x
轴的垂线，交
α
的终边或其终边的反向延长线于
T
，有向线段
AT
正切线
即为正切线
[
点睛
]
三
角函数线都是有向线段．因此在用字母表示这些线段时，也要注意它们的方
向，分清起点
和终点，书写顺序也不能颠倒．
[
小试身手
]
1
．判断下列命题是否正确．
(
正确的打“√”
，
错误的打“×”
)
(1)
三角函数线的长度等于三角函数值．<
/p>
(
)
(2
)
三角函数线的方向表示三角函数值的正负．
(
)
(3)
对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．
(
)
答案：
(1)
×
(2)
√
(3)
×
2
．已知角
α
的正弦线的长度为单位长度，那么角
α
的终边
< br>(
)
A
< br>．在
x
轴上
C
．在直线
y
＝
x
上
B
．在
y<
/p>
轴上
D
．在直
线
y
＝－
x
上
- 39 -
答案：
B
3
．角
α
(0
<
α
<2
π
)
的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么
α
的值为
(
)
π
A
．
4
7
π
C
．
4
答案：
D
4
．
sin 1.5________
sin 1.2.(
填“
>
”或“
<
”
)
答案：
>
3
π
B
．
4<
/p>
3
π
7
π
D
．
或
4
4
三角函数线的作法
3
π
[
典例
< br>]
作出
的正弦线、余弦线和正切线．
<
/p>
4
3
π
[
解
]
角
的终边
(
如图
)
与单位圆
的交点为
P
.
作
PM
垂直于
x
轴，
< br>4
3
π
垂足为
< br>M
，
过
A
(1,0)
作单位圆的切线
AT
，<
/p>
与
的终边的反向延长线交
4
3
π
于点
T
，则
的正弦线为
MP
，余弦线
为
OM
，正切线为
AT
.
4
三角函数线的画法
(1)
作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作
x
轴的垂
线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．
(2)
作正切线时，应从
A
(1,0)
点引
x
< br>轴的垂线，交
α
的终边
(
α
为第一或第四象限角
)
或
α
终
边的反向延长线
(
α
为第二或第三象限角
)
于点
T
，即可得到正切线
AT
.
- 40 -
[
活学活用
]
9
π
作出－
的正弦线、余弦线和正切
线．
4
解：如图所示，
9
π
－
的正弦线为
MP
，余弦线为
OM
，正切线为
AT
.
4
题点一：利用三角函数线比较大小
1
．利用三角函数线比较下列各组数的大小：
< br>2
π
4
π
2
π
4
π
①
sin
与
sin
；②
tan
与
tan
.
3
5
3
5
2
π
解：
如图所示，
角
的终边与单位圆的交点为
P
，<
/p>
其反向延长线与
3
2
π
单位圆的过点
A
的切线的交点为
T
，
作
PM<
/p>
⊥
x
轴，
垂足为
M
，
sin
＝
3
2
π
MP
，
tan
＝
AT
；
<
/p>
3
4
π
的终边与
单位圆的交点为
P
′，其反向延长线与单位圆的过点
A
的切线的交点为
T
′，
5
4
π
4
π
作
P
′
M
′⊥
x
轴，垂足为<
/p>
M
′，则
sin
＝
M
′
P
′
，
tan
＝
AT
′，
5
5
由图可见，
MP
>
M
′
P
′
>0
，
A
T
<
AT
′
<
0
，
2
π<
/p>
4
π
2
π
4
π
所以①
sin
>sin
，②
tan
5 ，
.
3
3
5
三角函数线的应用
- 41 -
题点二：利用三角函数线解不等式
2
．在单位圆中画出适合下列条件的角
α
的终边的范围，并由此写出角
α
的集
合：
1
(1)sin
α
≥
；
(2)cos
α
≤－
.
2
2
3
2
3
解：
(1)
作直线
y
＝
交单位圆于
A
B
两点，连接
OA
，
OB
，则
OA
与
OB
围成的区域
(
图①阴影部分
)
即为角
α
的终边的范围，故满足条件的角
α
的集合为
π
2
π
2
k
π＋
≤
α
≤
2
k
π＋<
/p>
，
k
∈
Z
.
α
3
3
< br>1
(2)
作直线
x
＝－
交单位圆于
C
，
D
两点，连接
OC
，
OD
，则
OC
与
OD
围成的区域
(
< br>图
2
②
中
阴
影
部
分
)
即
为
角
α
终
边
的
范
围
，
故
满
足
条
件
的
< br>角
α
的
集
合
为
2
π
4
π
2
k
π＋
≤
α
≤
2
k
π＋
，
k
∈
Z
.
α
3
3
题点三：利用三角函数线求函数的定义域
2
的定义域．
3
．求函数
f
(
x
< br>)
＝
1
－
2cos
x
＋
ln
sin
x
－
2
< br>解：由题意，得自变量
x
应满足不等式组
- 42 -
sin
x
－
1
－
2cos
x
≥
0
，
2
2
>0
，
即
2
sin
x
>
2
.
1
cos
x
≤
，
2
则不等式组的解的集合如图
(
阴影部分
)
所示，
π
3
π
即定义域为
x
2
k
π＋
≤
x
<2
k
π＋
，
k
∈
Z
.
3
4
<
/p>
1
．利用三
角函数线比较大小的两个关注点
(1)
三角函数线是一个角的三角函数值的体现，
从三角函数线的方向可以看出三角函数值<
/p>
的正负，其长度是三角函数值的绝对值．
(2)
比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．
2
．利用三角函数线解三角不等式的方法
(1)
正弦、余弦型不等式的解法．
对于
sin
x
≥
b
，
cos
x
≥
a
(sin
x
≤
b
，
cos
x
≤
a
< br>)
，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线
y
＝
b
或
x
＝
a
与单位圆相交，
连接原点
与交点即得角的终边所在的位置，
此时再根据方向即可确
定相应
的范围．
(2)
正切型不等式的解法．
对于
tan
x
≥
c
，取点
(1
，
c
)
连接该点和原点并反向延长
，即得角的终边所在的位置，结合
图象可确定相应的范围．
3
．利用三角函数线求函数的定义域
解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角
α<
/p>
的三角函数线，然后运用
- 43 -
运动的观点，找出符合条件的角的
范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题
几何化，体现了数形结合的思想
．
层级一
学业水平达标
π
6
π
1
．角
和角
有相同的
(
)
5
5
A<
/p>
．正弦线
C
．正切线
B
．余弦线
D
．不能确定
π
6
π
解析：选
C
在同一坐标系内作出角
和角
的
三角函数线可知，正弦线及余弦线都相
5
5
反，而正切线相等．
2
．已知角
α
的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角
α
的终边在
(
)
A
．直线
y
＝
x
上
<
/p>
B
．直线
y
＝－
x
上
C
．直线
y
＝
x
上或直线
y
＝－
x
上
D
．
x
轴上或
y
轴上<
/p>
解析：选
C
由角
α
的正切线是长度为单位长度的有向线段，得
tan
α
＝±
1
，故角
α
的终
边在直线
y
＝
x
上或直
线
y
＝－
x
上
．
7
π
3<
/p>
．如果
MP
和
O
M
分别是角
α
＝
的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是
(
)
8
A
．<
/p>
MP
<
OM
<0
C
．
OM<
/p>
<
MP
<0
7
π
解析：选
D
∵
是第二象限角，
8
7
π
7
< br>π
∴
sin
>0
，
cos
<0
，
8<
/p>
8
∴
MP
>0<
/p>
，
OM
<0
，<
/p>
B
．
OM
>0>
MP
D<
/p>
．
MP
>0>
O
M
- 44 -
∴
MP<
/p>
>0>
OM
.
4
．已知角
α
的正弦线和余弦线的方向
相反、长度相等，则
α
的终边在
(
)
A
．第一象限的角平分线上
B
．第四象限的角平分线上
C
．第二、第四象限的角平分线上
D
．第一、第三象限的角平分线上
解析：选
C
作图
(
图略
)
可知角
< br>α
的终边在直线
y
＝－
x
上，∴
α
的终边在第
二、第四象限
的角平分线上，故选
C.
5
．若
α
是第一象限角，则
sin
α
＋
cos
α
的值与
1
的
大小关系是
(
)
A
．
sin
α
＋
cos
α
>1
C
．
sin
α
＋
cos
α
<1
B
．
sin
α
＋
cos
α
＝
1
D
．不能确定
解析：选
A
作出
α
的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知
sin
α
＋
cos
α
>1.
6
．若角
α
的余弦线长度为
0
，则它的正弦线的长度为
______
．
解析：若角
α
的余弦
线长度为
0
，则
α
的终边落在
y
轴上，所以它的正弦线的长度为
1.
答案：
1
7
．用三角函数线比较
sin
1
与
cos 1
的大小，结果是
_________________________
．
解析：如图，
sin 1
＝
MP
，
cos
1
＝
OM
.
显然
MP
>
O
M
，即
sin 1>cos 1.
答案：
sin 1>cos 1
<
/p>
3
π
3
π
8
．若
θ
∈
，
，则
sin
θ
的取值范围
是
________
．
4
2
< br>3
π
2
解析：由图可知
sin
＝
，
4
2
-
45 -
3
π
2
sin
＝－
< br>1
，
>sin
θ
>
－
1
，
< br>
2
2
2
.
即
sin
θ
∈
－
1
，<
/p>
2
2
答案：
－
1
，
2
9
．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
5
π
2
π
(1)
；
(2)
－
.
6
3
5
π
π
5
π
解：
(1)
因为
∈
，π
，
所以作出
角的终边如图
(
1)
所示，
交单位
6
< br>
2
6
5
π
圆于点
P
，
作
PM
⊥
x
轴于点
M
，
则有向线段
MP
＝
sin
，
有向线段
OM
6
5
π
＝
cos
，设过
A
(1,0)
垂直于
x
轴的直线交
OP
的反向延长线于
T
，则
6
5
π
5
π
有向线段
AT
＝
t
an
.
综上所述，图
(1)
中的有向线段
MP
，
O
M
，
AT
分别为
角的正弦线、
6
6
余弦线、正切线．
π
2
π
2
π
(2)
因为－
∈
－π，－
，
所以
在第三象限内作出－
角的终边如
2
<
/p>
3
3
图
(2)
所示．
交单
位圆于点
P
′用类似
(1)
的方法作图，可得图
(2)
中的有向线段
M
′
2
π
P
′，
OM
′，
A
′
T
′分别为－
角的正弦线、余弦线、正切线．
3
10
．求下列函数的定义域．
2
(1)
y
＝
lg
－
sin
x
.
<
/p>
2
(2)
y<
/p>
＝
3tan
x
－
3.
- 46 -
< br>
2
2
解：
(1)
为使
y
＝
lg
－
sin
x
< br>>0
，所以
－
sin
x
有意义，则
2
2
x
<
2
2
，所以角
x
终边所在区域如图所示，
sin
5
π
π
所以
2
k
π
－
<
x
<2
k
π＋
，
k
∈<
/p>
Z.
4
4
所以
原函数的定义域是
5
π
π
< br>2
k
π－
<
x
<2
k
π＋
，
k
∈
Z
.
x
4
4
3
(2)
为使
y
＝
3tan
x
－
3<
/p>
有意义，
3
则
3tan
x
－
3
≥
0
，所以
tan
x
≥
，
所以角
x
终边所在区域如图所示，
π
π
所以
k
π＋
≤
x
<
k
π＋
，
k
∈
Z
，
6
2
所以原函数的定义域是
π
π
k
π－
≤
x
<
k
π＋
，
k
∈
< br>Z
.
x
6
2
层级二
应试能力达标
1
．下列三个命题：
π
5
π
π
4
π
①
与
的正弦线相等；②
与
的正切线相等；
6
6
3
3
π
5
π
③
与
的余弦线相等．
4
4
其中正确命题的个数为
(
)
A
．
1
B
．
2
- 47 -
C
．
3
D
．
0
π<
/p>
5
π
π
4
π
解析：选
B
和<
/p>
的正弦线关于
y
轴对称，大小相等，方向
相同；
和
两角的终边
6
6
3
3
π
5
π
在同一条直线上，因而所作正切线相等；
和
的余弦线方向不同．
4
4
2
2
．若<
/p>
α
是三角形的内角，且
sin
α
＋
cos
α
＝
，则这个三角形是
(
)
3
A<
/p>
．等边三角形
C
．锐角三角形
B
．直角三角形
D
．钝角三角形
π
解析：选
D
当
0<
α
≤
时，由单位圆中的三角函数线知，
sin
α
＋
cos
α
≥
1
，而
s
in
α
＋
2
2
cos
α
＝
，
3
∴
α
必为钝角．
π
π
3
．如果
<
α
<
，那么下列不等式成立的是
(
)
4
2
A<
/p>
．
cos
α
<
br>， <
br>
≤
π
π
<
br>(2)
π，
π＋ <
br>MP
α
α
C
．
sin
α
α
α
B
．
tan
α
α
α
D
．
cos
α
α
α
解析：选
A
如图所示，在单位圆中分
别作出
α
的正弦线
MP
、余弦线
OM
、正切线
AT<
/p>
，很容易地观察出
OM
<
MP
<
AT
，即
cos
α
α
α
.
4
．使
sin
x
≤
cos
x
成立的
x
的一个变化区间是
(
)
3
π
π
A
．
－
4
4
π
3
π
C
．
－
，
4
4
π
π
B
．
－
，
2
2
D
．
[0
，π
]
3
π
解析：选
A
如图，画出三角函数线
sin
x
＝
MP
，
cos
x
＝
OM
，由
于
sin
－
＝
4
<
/p>
- 48 -
3
π
cos
－
，
4
π
π
sin
＝
cos
，
4
4
为使
si
n
x
≤
cos
x
成立，
3
π
π
则由图可得－
x
≤
.
4
4
2
π
6
π
2
π
5
．
sin
，
cos
，
tan
从小到大的顺序是
________
．
5
5
5
解析：由图可知：
6
π
2
π
2
cos
<0
，
tan
>0
，
sin
>0.
5
5
5
∵
|
MP
|
<|
AT
|
，
2
π
2
π
∴
sin
.
5
5
6<
/p>
π
2
π
2
π
故
cos
.
5
5
5
6
π
2
π
2
答案：
cos
5
5
5
1
6
．
若
0<
α
<2
π，
且
sin
α
<
，
cos
α
>
.
利用三
角函数线，
得到
α
的取值范围是
________
．
2
2
解析：利用三角函数线得
α
的终边落在如图所示∠
AOB
区域内，
3
- 49 -
π
5
π
所以
α
的取值范围是
0
，
∪
，
2
π
.
3
3
π
5
π
答案：
0
，
∪
，
2<
/p>
π
3
3
7
．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角<
/p>
θ
的取值范围．
1
1
3
(1)sin
θ
<
－
；
－
≤
cos
θ
<
.
2<
/p>
2
2
解：
(1)
图①中阴影部分就是满足条件的角
θ
的
范围，
5
π
π
即<
/p>
θ
－
＋
2
k
π
<
θ
<
－
＋
2
k
k
∈
Z
.
6
6
(2)
图②中阴影部分就是满足条件
的角
θ
的范围，
2
π
π
π
2
π<
/p>
即
θ
2
k
π－
≤
θ
<2
k
π－
或
2
k
π＋
<
θ
≤
2
k
，
k
∈
Z
.
3
6
6
3
<
/p>
π
8
．若
0<
α
<
，证明：
sin
α
<
α
α
.
2
证明：如图所示，连接
AP
，设弧
AP
的长为
l
，
∵
S
△
OAP
<
S
扇形
OA
P
<
S
△
OA
T
，
1
1<
/p>
1
∴
|
OA
|
·
|
MP
|<
l
·
|
OA
|<
|
OA
|
·
|
AT
|
，
2
2
2
∴
|
|<
l
<|
AT
|
，
∴
sin
α
<
α
α
.
-
50 - -
-
-
-
-
-
-
-