小学数学高频考点讲义46专题四十六最大公因数和最小公倍数(一)
-
专题四十六
最大公因数和最小公倍数（一）
<
/p>
【例
1
】
用一个
数去除
30
、
60
、
75
，都能整除，这个数最大是多少？
< br>
【分析与解】
又
要
求的数去除
30
、
60
、
75
都能整除，
要求符合条件的最大的数，
要求的数是
30
、
60
、
75
的公因数。
就是求
30
、
60
、
75
的最大公因数。
5
30 60 75
3
6 12 15
2 4 5
（
30
，
60
，
75
）＝
5
×
3
＝
15
这个数最大是
< br>15
。
【例
< br>2
】
两个数的最大公因数是
4<
/p>
，最小公倍数是
252
，其中一个数是<
/p>
28
，另一
个数是多少？
【分析与解】设要求的数为
x
，则有：
4
x
28
y
7
x
<
/p>
4
y
28
＝
4
×
7
28
x
4
y
4
7
又
4
是
x
和
28
的最大公因数，
(
y
,
7)
1
，
4
<
/p>
y
7
是
x
和
28
的最小公倍
数。
x
28
4
252
x
<
/p>
4
252
<
/p>
28
36
要求的数是
36
。
通过例
< br>9
的解答过程，不难发现：如果用
a
和
b
表示两个自然数，那么这两
个
自然数的最大公因数与最小公倍数关系是：
(
a
,
b
)
a
,
b
a
<
/p>
b
这样，求两个数的最小公倍数的问题
，即可转化成先求两个数的最大公因
数，再用最大公因数除两个数的积，其结果就是这两
个数的最小公倍数。
【例
3
】
一次会餐供有三种饮料，餐后统计，三种饮料共用了
< br>65
瓶；平均每
2
个人饮用一瓶
A
饮料，
每
3
人饮用一瓶
B
饮料，
< br>每
4
人饮用一瓶
C
饮料。
问参加
会餐的人数是多少人？
【分析与解】由题意可知，参加会餐人数应是
2
、
3
、
4
的公倍数。
［<
/p>
2
，
3
，
4
］＝
12
参加会餐人数应是
12
的倍数。
又
12
÷
2
＋
12
÷
3
＋
12
÷
4
＝
< br>6
＋
4
＋
3
＝
13
（瓶）
可见
12
个人要用
6
瓶
A
饮料，
4
瓶
B
饮料，
3
瓶
C
饮料，共用
13
瓶饮料。<
/p>
又
6
5
÷
13
＝
5
12
×
5
＝<
/p>
60
（人）
答
：参加会餐的总人数是
60
人。
【例
4
】
一张长方
形纸，长
2703
厘米，宽
1113<
/p>
厘米。要把它截成若干个同样大
小的正方形，
纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大。
问：
这样的正
方形的
边长是多少厘米？
【分析与解
】由题意可知，正方形的边长即是
2703
和
< br>1113
的最大公因数。在
学校，我们已经学过用短除法
求两个数的最大公因数，但有时会遇到类似此题
情况，两个数除了
1
以外的公因数一下不好找到。但又不能轻易断定它们是互
质
数。怎么办？在此，我们以例
6
为例介绍另一种求最大公因数的
方法。对于
例
6
，可做如下图解：
从图中可知：在长
2703
厘
米，宽
1113
厘米的长
方形纸的
一端，依次裁去以宽（
1113
厘
米）
为边长的正方形
2
个，
在裁
后剩下的长
11
13
厘米，宽
477
厘米的长方形中，
再裁去以宽
（
477
厘米）为边长的正
方形
2
个，然后又在裁剩下的长方形
（
长
477
厘米，宽
159
厘米）中，以
159
厘米为边长裁正方形，恰好裁成
3
个，
且无剩余。因此可知，
159
厘米是
477
厘
米、
1113
厘米和
2703
厘米的因数。所
以裁成同样大的，且边长尽可能长的正方形的边长应是<
/p>
159
厘米。所以，
159
厘
米是
2703
和
1113
的最大公因数。
让我们把图解过程转化为计算过程，即：
2703
÷
1113
，商
2
余
477
；
1113
÷
477<
/p>
，商
2
余
159
；
477
÷
159
，商
3
余
0
。
或者写为
2703
< br>＝
2
×
1113
＋
477
，
1113
＝
2
×
477
＋
159
，
参加会餐的总
人数应是
12
的
5
倍，
477
＝
< br>3
×
159
。
< br>
当余数为
0
时，最后一个算式
中的除数
159
就是原来两个数
270
3
和
1113
的最大公因数。
可见，
477
＝
159
×
3
，
1113
＝
159
×
3
×
2
＋
159
＝
159
×
7
，
2703
＝
1
59
×
7
×
2
＋
477
＝
159
×
7
×
2
＋
159
×
3
＝
159
×
17
。
又
7
和
17
是互质数，
159
是
2703
和
1113
的最大公因数。
我们把这种求最大公因数的方法叫做辗转相除法。辗转相除法
的优点在于
它能在较短的时间内求出任意两个数的最大公因数。
【例
5
】
求<
/p>
2231
和
3887
的最大公因数。
【分析与解】
可
以这样想：
这两个数都是四位数，如用短
除法一下子找不出质因
数，
计算过程很复杂，
介绍一种
“辗<
/p>
转相除法”
。
所以，
2231
与
3887
的最大公因数是
23
。
（
1
）用较大数除以较小数，商写在除
法竖式的右边。
（
2
）把减得的差去除另一个数，商写在竖式的左边。
（
3
）把减得的差继续去除较大数。
<
/p>
（
4
）直到除尽，最后除的那个除数，就
是这两个数的最大公因数。
练习：
1
、
一个数用
3
、
4
、
5
除都能整除，这个数最小是多少？
解：
由题意可知，要求的数是
3<
/p>
、
4
、
5
的公倍数，且是最小的公倍数。
解：
2
、<
/p>
从运动场的一端到另一端全长
96
米，<
/p>
每隔
4
米插一面红旗，
< br>现在要改成每隔
6
米插一面红旗，有多少面红旗不必拔出
来？
解：
可以这样想：
不必拔出来的红旗所在的米数一定是
4
和
6
的公倍数。由于
4
和<
/p>
6
的最小公倍数是
12
< br>，所以从第一面红旗开始，每隔
12
米的那一面红旗不必
拔
出来，第一面红旗也不必拔出来。
解：
[4
，
6]=12
；
96
÷
12+1=9
答：共有
9
面红旗不必拔出来。
［
3
，<
/p>
4
，
5
］＝
3
×
4
×
5
＝
60
，
<
/p>
用
3
、
4
、
5
除都能整除的最小的数是
60
。
1
< br>1
2
7
2231
1
1656
575
506
3
69
69
388
7
2231
1656
1150
506
483
23