最大公因数与最小公倍数应用题——五年级上册
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最大公因数与最小公倍数应用题——五年级上册
几个数
公有的因数
< br>叫做这几个数的
公因数
，其中最大的一个叫做这几个数的
最大公因数
。几
个数
< br>公有的倍数
叫做这几个数的
公倍数
，其中最小的一个叫做这几个数的
最小公倍数
。
最大公因数和最小公倍数的性质
（
1
）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一
定是互质数。
（
2
< br>）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，
（
3
）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两
个数的乘积。
例：
有一个长方体的木
头，长
3.25
米，宽
1.75
米，厚
0.75
米。如果把这块木头截成许多
相
等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个数各是多少？
解：
根据题意，
小
立方体一条棱长应是长方体长、
宽、
厚各数的最大公约数。
即：
（
325
、<
/p>
175
、
75
）
=25
（厘米）
因为
325÷25=13；
175÷25=7
；
75÷25=3
所以
13×7×3=273（个）或（
325
×
175
×
75
）÷（
25
×
25
×
25
）
=273
例：
有一个两位数，除
50
余
2
，除
63
余
3
，除
73
余
1
。求这个两位数是多少？
< br>解：这个两位数除
50
余
2
，则用他除
48
（
52
－
2
）恰好整除。也就是说，这个
两位数是
48
的
约数。同理，这个两位
数也是
60
、
72
的约数。所以，这个两位数只可能是
48
、
60
、
72
的公约
数
1
、
2
、
3
、
4
、
6
、
12
，而满足条件的只有公约数
12
，即（
48
、
60
、
72
）
=12
。
练
习
1.
新年联欢会上，
张老师把
42
个打气球和
30
个
小气球平均分给几个小组，
正好分完。
最多可
< br>以分给几个小组？每个小组分的大、小气球各多少个？
2.
雨辰小学五年二班有
54
人，
五年三班有
63
人，
两班决定分小组去博物馆参观，
两班每组人
数相等并且没有剩
余每小组最多有多少人？每个班可以分多少个小组？
3.
同学们买了
24
朵百合花的
18
朵玫瑰花送个老师，
两种花混在一起扎成一束，<
/p>
想要扎成每束
百合花、玫瑰花朵数相同，最多扎几束？每束几朵百
合花，几朵玫瑰花？
4.
明明有一张
长
84
厘米，
宽
60
厘米的长方形纸板，
剪成边长相等的小正方形，
边长最长是多
少？可以剪几块？
解答公约数或公倍数问题的关键是：
从约数和倍数的意义入手来分析，
把原题归结为求几个数
的公约数或公倍数问题。
例：
有三根铁丝，一根长
18
米，一根长
24
米，一根长
30
米。现在要把它们截成同样长的小
段。每段最长可
以有几米？一共可以截成多少段？
分析：
截成的小段一定是
18
、
24
、
30
的最大公因数。先求这三个数的最大
公因数，再求一共
可以截成多少段。（
18
、
24
、
30
）＝
6
（
18+24+30
）÷6＝
12
段
例：
一张长方形纸，长
60
厘米，宽
36
厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面
积尽可能大，截完后又正好没有
剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？
分
析：
要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正
好没有剩余，这样正方形边长一定是
60
和
36
的最大公因数。
（
36
、
60
）＝
12
（60÷
12）×（36÷12）＝
15
个
<
/p>
例：
用
96
朵红
玫瑰花和
72
朵白玫瑰花做花束。若每个花束里的红玫瑰花的朵
数相同，白玫
瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？
）
分析：
要把
96
朵红玫瑰花和
72
朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么
做成花束的个数一定是
96
和
72
的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是
96
和
72
的最大公因数。
（
1
）最多可以做多少
个花束？
（
96
、
72
）＝
24 <
/p>
（
2
）每个花束里有几朵红玫瑰花？
96÷24＝
4
朵
（
3
）每个花束里有几朵白玫瑰花？
72÷
24＝
3
朵
（
4
）每个花束里最少有几朵花？
4+3
＝
7
朵
练
习
1
、有一堆西瓜与一堆木瓜
,
分别为
24
个与
36
个
,
将其各分成若干小堆
,
各小堆的个数要相等
,
则每小堆
最多几个？这时候西瓜分成多少小堆？木瓜分成多少小堆
？
2
、
甲、
乙两队学生
,
甲队有
121
人
,
乙队有
143
人
,
各分成若干组
,
各组人数要相等
,
则每组最多
有几人
？这时候甲队可分成多少组？
乙队可分成多少组？
3
、今有梨
320
个
,
糖果
240
个
,<
/p>
饼干
200
个
,
将这些东西分成相同的礼品包送给儿童
,
但包数要
最多
,
则每包有多少个梨？
有多少个糖果？
有多少个饼干？
4
< br>、
有一张长
6
公分
,
宽
4
公分的长方形色纸<
/p>
,
将它剪成最大的正方形而不浪费纸
,<
/p>
此正方形边长
为几公分
？
例：
公
共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔
5
分钟发车
一次，第二路车每隔
10
分钟发车一次，第三路车每隔
6
分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多
少分钟再同时发车？
分析：
这个时间一定是
5
的倍数、
10
的倍数、
6
的倍数，也就是说是
5
、
10
和
6
的公倍数，
“最少多少时间”，那么，一定是
5
、
10
、
6
的最小公倍数。［
5
、
10
、
6
］＝
30
练
习
1
、
利用每一小块长
6
公分
,
宽
4
公分的长方形彩色瓷砖在墙
壁上贴成正方形的图案
.
问
:
拼成的
正方形的边长可能是多少？
2
、
王伯伯有三个小孩
,
老大
3
天回家一次
,
老二
4
天回家一次
,
老三
6
天回家一次
,
这次
10
月
1
日一起回家
,
则下
一次是几月几日一起回家？
3
、美美
客运有
A,B
两种车
,A
车每
45
分发车一次
,B<
/p>
车每
1
小时发车一次
,
两车同时由上午
6
点发车
,
下一次同时发车是什麼时候
？
例：
某厂
加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成
3
个；第二道工
序每个工人每小时可完成
12
个；第三道工序每个工人每小时可完成
5
个。要使流水
线能正常
生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？
<
/p>
分析：
安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同
样多的零件个数。这个零
件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。
至少安排的人数，
一定是每道工序
每人每小
时完成零件个数的最小公倍数。
（
1
）在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？
［
3
、
12<
/p>
、
5
］＝
60
（
2
）第一道工序应安排多少人？
60÷3＝
20
人
（
3
）第二道工序应安排多少人？
6
0÷12＝
5
人
（
4
）第三道工序应安排多少人？
60÷5＝
12
人
例：
有一批机器零件。每
12<
/p>
个放一盒，就多出
11
个；每
18
个放一盒，就少
1
个
；每
15
个
放一盒，就有
7
盒各多
2
个。这些零件总
数在
300
至
400
< br>之间。这批零件共有多少个？
分析：
< br>每
12
个放一盒，就多出
11<
/p>
个，就是说，这批零件的个数被
12
除少
1
个；每
18
个放
一盒，
就少
1
个，
就是说，
这批零件的个数被
1
8
除少
1
；
每
15
个放一盒，
就有
< br>7
盒各多
2
个，
多了
2×7＝
14
个，应是少
1
个。也就是说，这批零件的个数被
1
5
除也少
1
个。
如果这批零件的个数增加
1
，恰好
是
12
、
18
和
15
的公倍数。
）
①
刚好能
12
个、
1
8
个或
15
个放一盒的零件最少是多少
个？
［
12
< br>、
18
、
15
< br>］＝
180
②
在
300
至
400
之间的
180
的倍数是多少？
< br>
180×2＝
360
③
这批零件共有多少个？
360-1
＝
359
个
例：
有一批水果，总数在
1
000
个以内。如果每
24
个装一箱，
最后一箱差
2
个；如果每
28
个
装一箱，
最后一箱还差
2
个；
如果每
32
< br>个装一箱，
最后一箱只有
30
个
。
这批水果共有多少个？
分析
：根据题意可知，这批水果再增加
2
个后，每
24
个装一箱，每
28
个装一箱或每
32
个装
一箱都
能装整箱数，也就是说，只要把这批水果增加
2
个，就正好是<
/p>
24
、
28
和<
/p>
32
的公倍数。
我们可以先求出
24
、
28
和
32
的最小公倍数
672
，再根据“总数在
1000
以内”确定水果总数。
[24
，
28
，
32]=672
672
－
2=670
（个）
即：这批水果共有
670
个。
练
习
1
，一所学校的同学排队做操，排成
1
4
行、
16
行、
18
行都正好能成长方形，这所学校至少有
多少人？
2
，有一批乒乓球，总数在
< br>1000
个以内。
4
个装一袋、
5
个装一袋或
6
个、
7
个、
8
个装一袋最
后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个？
3
，食堂买回一些油，用甲种桶装最后一桶少
3
千克，用乙种桶装最后一桶只装了半桶油，用
丙种桶装最后
一桶少
7
千克。如果甲种桶每桶能装
8
千克，乙种桶每桶能装
10
千克，丙种
桶
每桶能装
12
千克，那么，食堂至少
买回多少千克油？
例题：
一盒围棋子，
4
颗
4<
/p>
颗数多
3
颗，
6
颗
6
颗数多
5
颗，
15
颗
1
5
颗数多
14
颗，这盒棋
子在
150
至
200
颗之间，问共有多少颗？
分析：
由已知条件可知：这盒棋子只要增加
1
颗，就正好
是
4
、
6
、<
/p>
15
的公倍数。换句话说，
这盒棋子比<
/p>
4
、
6
、
15
的最小公倍数少
1
。我们可以先求
4
、
6
、
15
的最小公倍数，然后再根据
< br>“这盒棋子在
150
至
200<
/p>
颗之间”这一条件找出这盒棋子数。
4
、
6
、
15
的最
小公倍数是
60
。
< br>60
×
3
－
1=179
颗，即这盒棋子共
179
颗。
练
习
1
，有一
批树苗，
9
棵一捆多
7
棵，
10
棵一捆多
8
棵，
12
棵一捆多
10
棵。这批树苗数在
150
至
200
之间，求共有多少棵树苗。
2
，五（
1
）班的五十多位
同学去大扫除，平均分成
4
组多
2
人，平均分成
5
组多
3
人。请你算
一算，五（
1
）班有多少位同学？
3
，有一批水果，每箱放
30
个则多
2
0
个，每箱放
35
个则少
10
个。这批水果至少有多少个？
例：
公路上一排电线杆，共
25
根。每相邻两根间的距离原来都是
45
米，现在要改成
60
米，
可以有几根不需要移动？
分析：
不需要移动的电线杆，一定既是
45
的倍数又是
60
的
倍数。要先求
45
和
60
的最小公
倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。
①
从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？
［
45
、
60
］＝
180
（米）
②
公路全长多少米？
45×（
25-1
）＝
1
080
（米）
③
可以有几根不需要移动？
1080÷180+1＝
7
（根）
< br>
例：
从学校到少年宫的这段公路上，一共有
37
根电线杆，原来每两根电线杆之间相距
50<
/p>
米，
现在要改成每两根之间相距
60
米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？
分析：
从学校到少年宫的这段路长
50
×（
37
－
1
）
=1800
米，从路的一端开始，是
50
和
60
的
公倍数处的那一根就不必移动。因为
50
和
60
的最小公倍数是
300
，所以，从第一根开始，每
隔
300
< br>米就有一根不必移动。
1800
÷
300=6
，就是
6
根不必移动。去
掉最后一根，中途共有
5
）
根不必移动。
练
习
1
，
插一排红旗共
26
面。
原来每两面之间的距离是
4<
/p>
米，
现在改为
5
米。
如果起点一面不移动，
还可以有几面不移动？
2
，
一行小树苗，
从第一棵到最后一棵的距离是
90
米。
原来每隔
2
米植一棵树，
由于小树长大
了，必须改为每隔
5
米植一棵。如果两端不算，中间有几棵不必移动？
3
，学校开运动会，在
400
米环形跑道边每隔<
/p>
16
米插一面彩旗，一共插了
25
面。后来增加了
一些彩旗，就把彩旗间隔缩短了，起点彩旗不动，重新
插完后发现一共有
5
面彩旗没动。问：
现在彩旗的间隔是多少米？
例：
甲、
乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲
3
天
去一次，乙
4
天去一次，丙
5
天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他
们
三人又在图书馆相会？
分析：
从第
一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是
3
、
4
、
5
的最
小公倍数。因为
3
、
< br>4
、
5
的最小公倍数是
60
，所以至少再过
60
天他们三人又在图书馆
相会。
练
习
<
/p>
1
、
1
路、
2
路和
5
路车都从
东站发车，
1
路车每隔
10
分钟发一辆，
2
路车每隔
15
分钟
发一辆，而
5
路车每隔
20
分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车
后，至少要过多少
分钟又这三种路线的车同时发车？
2
、甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一
圈用
120
秒，乙
跑一圈用
80
秒，丙跑一圈用
100
秒。问：再过多少时间三人第二次同时从起点出发？
3<
/p>
、五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷，二班的同学每
6
天去看一次，三班
的同学每两周去看一次。如果“六一”儿童节
三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，
再过多少天他们三个班的同学再次同一天去张爷
爷家？
例：
一块砖长
20
厘米，宽
12
厘米，厚
6
厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少
块？
分析
：把若干个长方
体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现在要
求长方体砖块最少，它
的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后，
再根据正方体与长方体
体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。
练
习
<
/p>
1
、用长
9
厘米
、宽
6
厘米、高
7
厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样
的长方体多少块？
2
、有
200
块长
6
厘米、宽
4
厘米、高
3
厘米的长方体木块，要把这些木
块堆成一个尽
可能大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？
3
、一个长方体长
2.7
米、宽
1.8
分米、高
1.5
分米，要把它切成大小相等的正方体小
块，不许有剩
余，这些小正方体的棱长最多是多少分米？
例：
甲每秒跑
3
米，乙每秒跑
4
米，丙每秒跑
2
米，三人沿
600
米的环形跑道从同一地
点同时同方向跑步
，经过多少时间三人又同时从出发点出发？
分析：
甲跑一圈需要
600÷3=200
秒，乙跑一圈
需要
600÷4=150
秒，丙跑一圈需要
600÷2=300
秒。要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是
200
、
150
和<
/p>
300
的最小公倍数。
200
、
150
和
300
的最小公倍数是
600
，所以，经过
600
秒后三人又同时
从出发点出发。
练
习
）