抛物线中一个特征梯形的若干性质及应用(中学数学月刊05-8)
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抛物线中一个特征梯形的若干性质及应用
浙江省绍兴县柯桥中学
（
312030
）
徐学军
抛物线是圆锥曲线的重要组成部分
.
其中的许多问题都与一个特征梯形有
关，因此对这个梯形作系统的研究，得到的一些结论
对解题将带来极大的好处
.
如图，
设抛物线
y
2
=2
px
(
p
＞
0)
，
过其焦点
F
作抛物线的弦
AB
，
M
为
AB
中点，
AD
、
BC
、
MN
分别垂直准线于点
D
、
C
、
N
.
设
A
（
x
1
，
y
1
）
，
B
（
x
2
，
y
< br>2
）
，∠
AFx
=
α
，
K
为准线与
x
轴的交点，
O
为坐标原点
.
则在特征梯形
< br>ABCD
中有下列性质：
p<
/p>
p
性质
1
AF
=
AD
=
x
1
＋
，
BF
=
BC
=
x
2
＋
，
AB
=
（
x
1
＋
x
2
）＋
p
.
2
2
O
y
性质
2
<
/p>
∠
DFC
=
∠<
/p>
ANB
=90
.
A
证明
∵
AF
=
AD
，
∴∠
ADF
=
∠
AFD
.
D
又∵∠
A
DF
=
∠
DFK
，
∴∠
AFD
=
∠
DFK
.
同理∠
BFC
=
∠
CFK
，
∴∠<
/p>
DFC
=90
O
.
G
AD
BC
AB
N
M
另外，由于
< br>MN
=
=
=
MA
=
MB
，
2
2
O
K
F
x
∴
N
在以
AB
为直径的圆上
.
∴
ANB
< br>=90
O
.
性质
3
FN
⊥
AB
.
C
B
证明
当
x
1
=
x
2
时，显然成
立；
当
x
1
≠
x
2
时，<
/p>
K
AB
=
y
2
y
1
y
2
y
1
2
p
p
< br>=
=
=
.
1
y
2
y
1
y
0
x
2
x
1
2
(
< br>y
2
y
1
2
)
2
p
又∵
K
FN
=
－
y
0
（
y
0
为点
M
的纵坐标）
.
p
∴
K
AB
·<
/p>
K
FN
=
－
1.
综上可
知
FN
⊥
AB
.
性质
4
以
AB
为直
径的圆与
CD
相切；以
CD
为直径的圆与
AB
相切
.
性质
5
M
N
是
A
F
与<
/p>
BF
的等差中项；
FN
< br>是
AF
与
BF
< br>的等比中项，也是
MN
与
FK<
/p>
的等比中项
.
证明
由性质
2
的证明易得
MN
是
< br>AF
与
BF
的等差中项
.
又在
Rt
△
ABN
中，
FN
⊥
AB
，
∴
FN<
/p>
2
=
AF
·
BF
∴
FN
是<
/p>
AF
与
BF
的等
比中项
.
又∵∠
< br>NMF=
∠
FNK=
α
.
FN
FK
∴
sin
α
=
=
.
MN
FN
2
∴
FN
=
MN
·
FK.
∴
FN
也是
MN
与
FK
的
等比中项
.
性质
6
<
/p>
AN
为线段
DF
的中垂线，
BN
为线段
CF
的中垂线，且垂足均在
y
轴上
.
证明
设
AN
与
DF
交于点
G
，
1
∵∠
D
AG
=
∠
ANM
=
∠
NAM
.
且
AF
=
AD
，
∴△
AGD
< br>≌△
AGF
.
∴
AN
为线段
DF
的中垂线
.
又∵在
△
DKF
中，
O
为
KF
的中点，
Q
P
∴
DF
的中点
G<
/p>
应在
y
轴上
.
y
同理可
得，
BN
为线段
CF
< br>的中垂线，
A
D
且垂足在
y
轴上
.
性质
7
<
/p>
直线
AN
和
BN
是抛物线的切线
.
G
证明
<
/p>
假设直线
AN
不是抛物线的切线，
N
M
则
AN<
/p>
必与抛物线有另一个交点
P
.
过
P
作
O
K
F
准线的垂线
PQ
，垂足为
Q
.
则
PQ
=
PF
.
x
< br>又由性质
6
可知，
PN
为
DF
的垂直平分线，
所以
PF
=
P
D
，
C
<
/p>
∴
PQ
=
PD<
/p>
，与
PD
＞
PQ
矛盾！
B
∴直线
AN
是抛物线的切线
.
同理
BN
也是抛物线的切线
.
利用性质
7
可方便地证明抛物线的光学性质：从焦点发出的光
，经过抛物线
上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴
.
将线段
DA
延长至点
R
，
AS
为法线
.
y
则由性质
7
∠
NAS
=90
O
< br>，
A
D
又∵∠
D
AN
=
∠
NAF
.
R
∴∠
F
AS
=
∠
SAR
.
S
所以
AR
是入射光线
F
A
的反射光线，
即反射光线平行与抛物线的轴
.
N
M
p
2
性质
8
y
1
y
2
=
－
p
，
x
1
x
2
=
.
4
2
K
O
F
x
证明
<
/p>
∵△
DFC
为直角三角形，
∴
y
1
y
2
=|
DK
|
·
（－
|
KC
|
）
=
－
|
KF
|
2
=
－
p
2
，
2
y
1
2
y
2
p
2
从而
x
1
x
2
=
=
.
2
4
4
p
C
B
性质
9
直线
AC
和
BD
均
经过原点
O
.
P
证明
设<
/p>
C
（－
，
y
2
）则由性质
8
，
y
1
y
2
=
－
p
2
，
2
y
2
y
< br>1
2
y
2
p
2
px
1
1<
/p>
=
K
OA
.
∴
K
OC<
/p>
=
p
y
1
x
1
y
1
x
1
y
1
x
1
2
∴直线
AC
经过原点
O
.
同理直线
BD
经过原点
O
.
2
p
性质
10
AB
=
.
sin
2
证明
∵
AF
=
p
＋
AF<
/p>
·
cos
α
，<
/p>
BF
=
p
－
BF
·
cos
α<
/p>
，
2