基本不等式练习题及答案
-
双基自测
1
1
．
(
人教
A
版教材习题改编
)
函数
y
＝
x
＋
x<
/p>
(
x
＞
0)
的值域为
(
)
．
A
．
(
－∞，－
2]
∪
[2
，＋∞
)
C
．
[2
，＋∞
)
B
．
(0
，＋∞
)
D
．
(2
，＋∞
)
a
＋
b
1
2
．下列不等式：①
a
2
＋
1
＞
2
a
；②
≤
2
；③
x
2
＋
2
≥
1
，其
中正确的个数是
x
＋
1
ab
(
)
．
A
．
0
B
．
1
C
．
2
D
．
3
3<
/p>
．若
a
＞
0
，
b
＞
0
，且
a
＋
2
b
－
2
＝
0
，则
ab
的最大值为
(
)
．
1
A.
2
B
．
1
C
．
2
D
．
4 <
/p>
4
．
(2011·
重庆
)
若函数
f
(
x
)
＝
x
＋
1
(
x<
/p>
＞
2)
在
x
＝
a
处取最小值，则
a
＝
(
)
．
x
－
2
A
．
1
＋
2
B
．
1
＋
3
C
．
3
D
．
4
t<
/p>
2
－
4
t
＋
1
5
．已知
t
＞
0
，则函数
y
＝
的最小值为
_
_______
．
t
考向一
利用基本不等式求最值
1
1
【例
1
】
►
(1)
已知
x
＞
0
，
y
＞
0
，且
2
< br>x
＋
y
＝
1
，则
x
＋
y
的最小值为
________
；
(2)
当
x
＞
0
时，则
f
(
x
)
＝
2
x
的最大值为
___
_____
．
x
＋
1
2
【训练
1
】
(1)
已知
x
＞
1
，则
f
(
x
)
＝
x
＋
1<
/p>
的最小值为
________
．
x
－
1
2
(2)
已知
0
＜
x
＜
5
，则
y
＝
2
< br>x
－
5
x
2
的最大值为
________
．<
/p>
(3)
若
x<
/p>
，
y
∈
(0
，＋∞
)
且
2
x
＋
8
y
－
xy
＝
0
，则
x
＋
y
的最小值为
________
．
考向二
利用基本不等式证明不等式
bc
ca
ab
【例
2<
/p>
】
►
已知
a
＞
0
，
b
＞
0
，
c
＞
0
，求证：
a
＋
b
＋
c
≥
a
＋
b
＋
c
.
．
【训练
2
】
已知
a
＞
0<
/p>
，
b
＞
0
，
c
＞
0
，且
a
＋
b
＋
c
＝
1.
1
1
1
求证：
a
＋
b
＋
< br>c
≥
9.
考向三
利用基本不等式解决恒成立问题
x<
/p>
【例
3
】
►
(2010·
山东
)
若对任意
x
＞
0
，
2
≤
a
恒成立，则
a
的取值范围是
x
＋
3
x
＋
1
________
．
【训练
3
】
(2011·
宿州模拟
)
已知
x
＞
0
，
y
＞
0
，
xy
＝
x
＋
2
y
，若
xy
≥
m
－
2
恒成立，
则实数
m
的最大值是
________
．
考向三
利用基本不等式解实际问题
【例
3
】
►
某单位建造
一间地面面积为
12 m
2
的背面靠墙
的矩形小房，
由于地理位
置的限制，房子侧面的长度
x
不得超过
5
m
．房屋正面的造价为
400
元
/m
2
，房
屋侧面的造价为<
/p>
150
元
/m
2
，屋顶和地面的造价费用合计为
5
8
00
元，如果墙高
为
3 m
，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？
【训练
3
】
(2011·
广东六校第二次联考
)<
/p>
东海水晶制品厂去年的年产量为
10
万件
，
每件水晶产品的销售价格为
100
元
，
固定成本为
80
元．
从今年起，
工厂投入
100
万
元科技成本．
并计划以后每年比上一年多投入
100
万元科技成本．
预计产量每
年递增
1
万件，
每件水晶产品的固定成本
g
(
n
)
与科技成本的投入次数
n
的关系是
g<
/p>
(
n
)
＝
80
.
若水晶产品的销售价格不变，第
n
次投入后的年利润为
f
(
n
)
万元．
n
＋
1
(1)
求出
f
(
n
)
的表达式；
< br>(2)
求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？
1
【试一试】
(2010·
四川
)
设
a
＞
b
＞
0
，则
a
2
＋
ab
＋
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
双基自测
D
．
(2
，＋∞
)
答案
C
2
．
解析
<
/p>
①②不正确，
③正确，
x
2
＋
1
1
2
＝
(
x
＋
1)
＋
－
1
≥
2
－
1
＝
1.
答案
B
x
2
＋<
/p>
1
x
2
＋
1
1
的最小值是
(<
/p>
)
．
a
a
－
b
1
3
．
解析
∵
a
＞
0
，
b
＞
0
，
a
＋
2
b
＝
2<
/p>
，∴
a
＋
2
b
＝
2
≥
2
2
ab
，即
ab
≤
2
.
答案
A