三年级枚举法
-
枚举法（一）
课前预习
胖子的枚举法
几个人又坐回到自己的
座位上，都是唉声叹气，我让他人省点力气，其实这样盲目的试验，反而会导
致思维的中
断。接着事情又回到我睡觉前，我们又开始毫无意义的讨论起来。
讨论中总是有人睡过去，
但是好在一个人睡觉，
其他几个人都能继续思考。
就这样，
我们东一个想法，
西一个想法，提出来，然后否决掉
，一开始说法还很多，后来几个人话就越来越少，时间不知不觉就过去
了六七个小时，我
们的肚子又开始叫起来。
最后胖子点起一只烟，想了想，对我们说：
“
不行，咱们这么零散的想办法是很浪费时间的，我们把
所有的可能性全部都写出来，然后
归纳成几条，之后直接把这条验证，不就行了。
”
我点点头，其实说到最后很多的问
题我们都在重复的讨论，几个人都进入到一种混乱状态了
胖子在金器铺满的地面上整理出一块石头面，然后写下来几个
数字：
1
、
2
、
3
、
4
，然
后说：
“
我们想
想我们现在有几种假设
，你们都回忆一下，不要具体的，要大概的方向就行了。
”
潘子就道：
“
最有可能就是有机关。
”
胖子在
1
那个地方写了机关。然后顺子就说道：
“
你的想法，可能有东西在影响我们的感觉，比如说
心理暗示或者催眠，让我们自己不知
不觉的走回来。
”
胖子对他道：
“
不用说这么详细。
”
按着在
2
的后面写了错觉，然后看向我。
我道：
“
要
说理论上，也有可能是空间折叠。
”
“
你这个不可能，太玄乎了。
”
潘子道。
胖子道：
“
不管，有万分之一地可能性，我们就承认，我们只是列一个备忘录而已。
”
说着也写了上去，
在
3
后面
写了空间折叠。然后自己说：
“
也可能是有鬼。
”
说着写了个
4
，有鬼。
“
你这样写出来有什么意义？
”
潘子不理解的问。
胖子道
：
“
你们念的书多，不懂，我读书少，凡事都必须用笔写下来，
但是这样有个好处，比如说有
几件事情，你可以一起做，你事先一理就能知道，可以节省
不少时间。咱们不是只有两天了吗？还是得省
点，对了，还有
5
吗？谁还有
5
？
”
我
看了看这四点，这确实己经是包括量子力学到玄学到心理学到工程学四大学科都齐了，第五点一时
半会儿还真想不出来。我们刚才的讨论，其实也只是讨论一和二，三和四简直就是不可能的嘛。
节选自：云顶天宫（下）
第三十二章
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10
知识框架
在数学问题中，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方
式解答，让人感到无从下手。对此，我们可以先初步估计其数目的大小。若数目不是太大，就按照一定
的
顺序，
一一列举问题的可能情况；
若
数目过大，
并且问题繁杂，
我们就抓住对象的特征，
选择恰当的标准，
把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举
或计数，最终达到解决目的。这就是枚举法，也
叫做列举法或穷举法。
< br>
重难点
（
1
）
做到不重补漏，把复杂的问题简单化。
（
2
）
按照一定的规律，特点去枚举。
（
3
）
从思想上认识到枚举的重要性。
例题精讲
模块一、分类枚举
——
数出来的种类
【例
1
】
用
1
至
8
这八个自然数中的四个组成四位数，从个位到千位的数字依次增大，且任意两个数字
的差都不是
1
，这样的四位数共有
个。
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
☆
☆
【题型】填空
【解析】
1357
，
1358
，
1368
，
14
68
，
2468
共
5
个
【答案】
5
个
【
巩
固
】
三
张数字卡片
0
，
2
，
4
可以组成
______
< br>个能被
4
整除的不同整数。
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
☆
☆
【题型】填空
【解析】
240
、
204
、
420
共
3
个
【答案】
3
个
【例
2
】
从
1<
/p>
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
这些数中，任取两个数，使其和不能被
3
整除，则有
_______
种取法。
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
☆
☆
☆
【题型】填空
【解析】共有选
1
和
3
、
1
和
4
、
1
和
6
、
2
和
3
、
2
和
5
、
2<
/p>
和
6
、
3
和
4
、
3
和
5
、
4
和
6
以及
5
< br>和
6
共
10
种选法。
【答案】
10
种
【
巩
固
】
< br>从
l
～
9
这
9
个数码中取出
3
个，使它们的和是
3
的倍数，则不同取法有
_______
种。
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
☆
☆
☆
题型】填空
【解析】
（
1
）
3
个数都是
3
的倍数，有
1
种情况（
2
）
3
个数除以
3
都余<
/p>
1
，有
1
种情况
（
3
）
3
个数
除以
3
都余
2
，有
1
种情况
（
4
）
一个除以
3
余
1
，一个除以
3
余
2
，
一个是
3
的倍数，有：
3×
3×
3=27
种情况所以，
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10
一共有
1+1+1+27=30
种不同取法。
【答案】
30
种
【例
3
】
小明的两个口袋中各有
6
张卡片，每张卡片上分别写着
1
，
2
，
3
< br>，
……
，
6
。从这两个口袋中各
拿出一张卡片来计算上面所写两数的乘积，那么，其中能被
6
整除的不同乘积有
_____
个。
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
☆
☆
☆
【题型】填空
【解析】乘积中最小<
/p>
1
，最大为
36
，能被
6
整除的有
6
< br>、
12
、
18
< br>、
24
、
30
< br>、
36
共
6
个。卡片上的
6
还可以
当
9
用，所以能被
6
整除
的还有
54.
【答案】
7
个
【
巩
固
】
老
师带着佳佳
、
芳芳和明明做计算练习
.
老师先分别
给他们一个数，
然后让他们每人取
3
张
写有数
的卡片
.
佳佳取的是
3
、
6
、
7
，芳芳取的是
4
、
5
、
6
，明明取的是<
/p>
4
、
5
、
8.
这时老师让他们分别取
自己卡片上的两个
数相乘，再加上开始老师给他们的数
.
如果老师开始时给他们的
数依次是
234
、
235
、
236
，而且他们计算都正确，那么可能算出
_________
个不同的数
.
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
☆
☆
☆
☆
【题型】填空
【解析】佳佳可以得到的乘积是
18
，
21
，
42
，芳芳可以得到的乘积
是
20
，
24
，
30
，明明可以得到的乘积
是
20
，
32
，
40
，那么佳佳可以得到的数是
252
，
255
，
276<
/p>
，芳芳可以得到的数是
255
，
259
，
265
，明明
可
以得到的数是
256
，
268
，
276
所以一共可
以得到
7
个不同的数。
【答案】
7
个
【例
4
】
如果三位数
m
同时满足如下条件：
⑴
m
的各位数字之和是
7
；
⑵
2
m
还是三位数，
且各位数字之
和为
5
．那么这
样的三位数
m
共有
个．（简单分类枚举
A
B
）分类标准的选取
.
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
☆
☆
☆
☆
【题型】填空
【解析】三位数
2
m
可以是
500<
/p>
，
410
，
32
0
，
230
，
140
，
302
，
212
，
122
，
104
；得到
m
可以是
250
，
205<
/p>
，
160
，
11
5
，
70
，
1
57
，
106
，
61
，
52
，两位数的均舍去，所以
符合条件的共有
6
个．
【答案】
6
个
【
巩
固
】
把
数
1
，
2
，
3
，
4
，
5
< br>，
6
分为三组（不考虑组内数的顺序也不考虑组间的顺序
）
，每组两个数，每
组的数之和互不相等且都不等于
6
，共有
__________________
__
种分法．（简单分类枚举
A
BC
）
分类标准？
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
☆
☆
☆
☆
【题型】填空
【解析】枚举法：
1,2
,
3,4
,
5,6
;
1,2
,
3,5
,
4,6
，
1,4
,
2,5
,
3,6
；
1,6
,
2,3
,
4,5
共有
6
种。
1,3
,
2,5
,
4,6
;
1,3
,
2,6
,
4,5
【答案】
6
种
模块二、分类枚举
——
分类
Page
3
of
10
【例
5
】
甲、乙、丙三个工厂共订
300
份报纸，每个工厂至少订了
99
份，至多
101
份，问：一共有多少
种不同的订法？
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
☆
☆
☆
【题型】解答
【解析】甲厂可以订
99
、
100
、
101
份报纸三种方法．
如果甲厂订
99
份，乙
厂有订
100
份和
101
份两种方法，丙厂随之而定．
如果甲厂订
100
份，乙厂有订
99
份、
100
份和
101
份三种方法，丙厂随之而定．
如果甲厂订
101
份，乙厂有订
99
份和
100
份两种方法，丙厂随之而定．
根据加法原理，一共有
2
3
2
7
种订报方法．
【答案】
7
【
巩
固
】
大
林和小林共有小人书不超过
9
本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
☆
☆
☆
【题型】解答
【解析】大林和小林共有
9
本的话，有
10
种可能；共有
8
本的话，有<
/p>
9
种可能，
……
，共有
0
本的话，
有
< br>1
种可能，所以根据加法原理，一共有
10+9+……+
3+2+1=55
种可能．
【答案】
55
【例
6
】
从
1<
/p>
～
10
中每次取两个不同的数相加，和大
于
10
的共有多少种取法？（简单分类枚举
A BC
）
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
☆
☆
☆
【题型】解答
【解析】根据第一个数的大小，将和大于
10
的取法分为<
/p>
9
类：
因此，根据加法原理，共有：
1+2+3+4+5+4+3+2+1
=25
种取法使和大于
10
．
【答案】
25
【
巩
固
】
从
1
～
8
中每次取两个不同的数相加，和大于
10
的共有多少种取法？
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
☆
☆
☆
【题型】解答
【解析】两个数和为
11
的一共有
3
种取法；
<
/p>
两个数和为
12
的一共有
2
种取法；
两个数
和为
13
的一共有
2
< br>种取法；
两个数和为
14
的一共有
1
种取法；
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10
两个数
和为
15
的一共有
1
< br>种取法；
一共有
3+2+2+1+1=9
种取法．
【答案】
9
【例
7
】
四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张
．问：
一共有多少种不同的方法？
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
☆
☆
☆
☆
【题型】解答
【解析】设四个学生分
别是
A
，
B
，
C
，
D
，他们
做的贺年片分别是
a
，
b
，
c
，
d
< br>．
先考虑
A
< br>拿
B
做的贺年片
b
的情况（如下表）
，一共有
3
种方法．
同样，
A
拿
C
或
D
做的贺年片也有
3
种方法．
一共有
3
＋
3
＋
3=9
（种）
不同的方法．
【答案】
9
【
巩
固
】
一
次，齐王与
大将田忌赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依
次为一
等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自
己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等．田
< br>忌有
________
种方法安排自己的马的出场顺序，
保证自己至少能赢两场比赛．
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
☆
☆
☆
☆
【题型】解答
【解析】第一场不管怎么样田忌都必输，田忌只可能在接下来的三场里赢得比赛，
若三场全胜，则只有一种出场方法；
若胜两场，则又分为三种情况：
二，
三两场胜，此时只能是田忌的一等马赢得齐王的二等马，田忌的二等马赢齐王的三等马，只有这一种
情况；
二，四两场胜，此时有三种情况；
三，四两场胜，此时有七种情况；
所
以一共有
1
1
3
7
12
种方法．
【答案】
12
【例
8
】
把一元钱换成角币，有多少种换
法？人民币角币的面值有五角、二角、一角三种．
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
☆
☆
☆
【题型】解答
【解析】把一元钱换成
角币，有三类分法：
①
第一类：有五角币
2
张，只有
1
种换法：
②
第二类：有五角币
1<
/p>
张，则此时二角币可以有
0
，
1
，
2
张，相应的，一角
币有
5
，
3
，
1
张，有
3
种
换法；
③
第三类：有五角币
0
张，则此时二角币可以有
0
< br>，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
张，相应的，一角币有
10
，
8
，
6
，
4
，
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