【教师版】小学奥数7-1-1 加法原理之分类枚举(一).专项练习及答案解析
-
7-1-1.
加法
原理之分类枚举
（一）
1.
使学生掌握加法原理的基本内容；
2.
掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；
3.
培养学生分类讨论
问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．
加法原
理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨
论问题的
习惯，锻炼思维的周全细致．
教学目标
知识要点
一、加法原理概念引入
生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又
有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．
例如
:
王老师从北京到天津
，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火
车从北京到天津，
有
4
趟长途汽车从北京到天津．
< br>那么他在一天中去天津能有多少种不同的
走法？
分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如
果乘火车，有
5
种走法，如果乘长途汽车，有<
/p>
4
种走法．上面的每一种走法都可以从北京到
天津，故共有
5+4=9
种不同的走法．
< br>
在上面的问题中，
完成一件事有两大类不同的方法．<
/p>
在具体做的时候，
只要采用一类中
的一种
方法就可以完成．
并且两大类方法是互无影响的，
那么完成这件
事的全部做法数就是
用第一类的方法数加上第二类的方法数．
二、加法原理的定义
一般地，如果完
成一件事有
k
类方法，第一类方法中有
m
1
种不同做法，第二类方法中
有
m
2
种不同做法，…，第
< br>k
类方法中有
m
k
种不同做法，则完成这件事共有
N
m
1
m
2
……
m
k
种不同方法，
这就是加法原理．
加法原理运用的范围：
完成一件事的方法分成几类，
每一类中的任何一种方法都能完成
任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．
分类时，
首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类
标准，
然后在这个标准下进行
分类；其次，分类时要注意满足两
条基本原则：
①
完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；
②
分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．
只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．
运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，<
/p>
就是“整体等于局部之和”
．
三、加法原理解题三部曲
1
、完成一件事分
N
类；
2
、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）
；
3
、类类相加
7
-
1
-1.
加法原理之分类枚举（一）
.
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枚举法：
枚举法又叫穷举法，
就是把所有符合条
件的对象一一列举出来进行计数．
分类讨论
的时候经常会需要把
每一类的情况全部列举出来，
这时的方法就是枚举法．
枚举的时
候要注
意顺序，这样才能做到不重不漏．
例题精讲
模块一、分类枚举——数出来的种类
【例
1
】
小
宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具
8
种，不同的课外
书
20
本，
不同的纪念品
10
种，
那么，
小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
2
星
【题型】解答
【关键词】分类讨论思想
【解析】
小
宝买一种礼物有三类方法：第一类，买玩具，有
8
种方法；第二
类，买课外书，
有
20
种方法；第三种
，买纪念品，有
10
种方法．根据加法原理，小宝买一种礼物<
/p>
有
8+20+10=38
种方法．
【答案】
38
【巩固】
有不同的语文书
6
本，数学书
4
本，英语书
3
本，科学书
2
本，从中任取一本，
共有多少种取法？
< br>
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
2
星
【题型】解答
【关键词】分类讨论思想
【解析】
根
据加法原理，共有
6+4+3+2=15
种取法．
【答案】
15
【巩固】
阳光小学四年级有
3
个班，各班分别有男生
18
人、
20
人、
16
人．从中任意选一
人当升旗手，有多少种选法？<
/p>
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
2
星
【题型】解答
【关键词】分类讨论思想
【解析】
解
决这个问题有
3
类办法：从一班、二班、三班男生中任选
1
人，从一班
18
名
男
生中任选
1
人有
18
种选法：同理，从二班
20
名
男生中任选
1
人有
20
种选法；从
三班
16
名男生中
任意选
1
人有
16
种选法；
根据加法原理，
从四年级
3
个班中任选
一名男生当升旗手的方法有：
18
20
16
54
种．
< br>
【答案】
54
【例
2
】
和
为
15
的两个非零自然数共有
对。
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
1
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，五
年级，一试，第
11
题
【解析】
，
举例为：
1
与
14
，
2
与
13
，
3
与
12
，
4
与
11
，
5
与
10
，<
/p>
6
与
9
，
7
与
8
，共计
7
对。
【答案】
7
对
【例
3
】
用
1
至
8
这八个自然
数中的四个组成四位数，从个位到千位的数字依次增大，且
任意两个数字的差都不是
1
，这样的四位数共有
人。
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，五
年级，一试，第
10
题
【解析】
1
357
，
1358
，
< br>1368
，
1468
，
2468
共
5
个
【答案】
5
个
【例
4
】
三
张数字卡片
0
，
2
，
4
可以组成
______
个能被
4
整除的不同整数
。
7
-
1<
/p>
-1.
加法原理之分类枚举（一）
.
题库
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【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，四
年级，二试，第
6
题
【解析】
2
40
、
204
、
420
共
3
个
【答案】
3
个
【巩固】
节目期间，小明将
6
个彩灯排成一列，其中有
< br>2
个红灯，
4
个绿灯，如果两个
红
灯不相邻，则不同的排法有
_________
种（其中“红绿红绿绿绿”与“绿绿绿红绿
红”类型算作一种）
。
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，六
年级，二试，第
5
题
【解析】
红
灯看作“
1
”
，绿灯看作“
0
”则有：
000101
、
001001
、
001010
、
010001
、
0
10010
、
100001
这六种
【答案】
6
【例
5
】
从
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
这些数中，任取两个
数，使其和不能被
3
整除，则有
___
____
种取法。
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】走美杯，四
年级，初赛，第
10
题
【解析】
共
有选
1
和
3
、
1
和
4
、
1
和
6
、
2
和
3
、
2
和
5
、
< br>2
和
6
、
3
和
4
、
3
和
5
、
4
和
6
以及
5
和
6
共
10
种选法。
【答案】
1
0
种
【巩固】
从
l
～
9
这
9<
/p>
个数码中取出
3
个，使它们的和是
3
的倍数，则不同取法有
_______
种。
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，五
年级，一试，第
13
题
【解析】
（
1
）
3
个数都是
3
的倍数，
有
1
种情况
（
2
）
3
个数除以
3
都余
1
，有
1
种情况
（
3
）
3
< br>个数除以
3
都余
2
，有
1
种情况（
4
）一个除以
3
余
1
，一个除以
3
余
2
，一个是
3
的倍数，有：
3
×
3
×
< br>3=27
种情况所以，一共有
1+1+1+27=30<
/p>
种不同取法。
【答案】
30
种
【例
6
】
小
明的两个口袋中各有
6
张卡片，每张卡片上
分别写着
1
，
2
，
3
，……，
6
。从这
两个口袋中各拿出一张卡片来计算上面所写两数的乘积，那么，其中能被
6
整除
的不同乘积有
_____
个。
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，五
年级，一试，第
22
题
【解析】
乘
积中最小
1
，最大为
36
，能被
6
整除的有
6
、
12
、
18
、
24
、
30
、
36
共
6
个
【答案】
6
个
【例
7
】
老
师带着佳佳、芳芳和明明做计算练习
.
老师
先分别给他们一个数，然后让他们每
人取
3
张写有数的卡片
.
佳佳取的是
3<
/p>
、
6
、
7
，
芳芳取的是
4
、<
/p>
5
、
6
，
明明取的是
4
、
5<
/p>
、
8.
这时老师让他们分别取自己卡片上
的两个数相乘，再加上开始老师给他们的
数
.
< br>如果老师开始时给他们的数依次是
234
、
235
、
236
，而且他们
计算都正确，那
么可能算出
_________
个不同的数
.
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
4
星
【题型】填空
【关键词】迎春杯，中
年级，复试，
7
题
< br>【
解
析
】
佳
佳可以得到的乘积是
18
，
21
，
42
，芳芳可以得到的乘积是
20
，
24
，
30
，明明可
以得到的乘积是
20
，
32
，
40
，那么佳佳可以得到的数
是
252
，
255
，
276
，芳芳可以
得到的数是<
/p>
255
，
259
，
265
，明明可以得到的数是
256
，
268
，
2
76
所以一共可以得
到
7
个不同的数。
【答案】
7
个
7
-
1
-1.
加法原理之分类枚举（一）
.
题库
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page 3 of 9
【例
8
】
如
果三位数
m
同时满足如下条件：⑴
m
的各位数字之和是
7
；⑵
2
m
还是三位数，
且各位数字之和为
5
．那么这样的三位数
m
共有
个．
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
4
星
【题型】填空
【关键词】迎春杯，高
年级，复赛，
2
题
【解析】
三
位数
2
m
可以是
500
，
410
，
< br>320
，
230
，
140
，
302
，
212
，
122
，
104
；得到
m
可以
是
250
，
205
，
160
，
115
，
70
< br>，
157
，
106
，
61
，
52
，两位数的均舍去，所以符合条
件的共有
6
个．
【答案】
6
个
【例
9
】
把
数
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
< br>分为三组（不考虑组内数的顺序也不考虑组间的顺序）
，
每组两个数，每组的数之和互不相等且都不等于
6
，共有
____________________
种分法．
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
4
星
【题型】填空
【关键词】学而思杯，
4
年级，第
7
题
【解析】
枚
举法：
1,2
,
3,4
,
5,6
;
1,2
,
3,5
,
4,6
，
1,3
,
2,5
,
4,6
;
1,3
,
2,6
,
4,5
1,4
,
2,5
,
3,6
；
1,6
,
2,3
,
4,5
共有
6
种。
【答案】
6
种
【例
10
】
自然
数
12
，
456
，
1256
这些数有一个共同的特点，相邻两个数字，左边的
数
字小于右边的数字．我们取名为“上升数”
．用
3
，
6
，
< br>7
，
9
这四个数，可以组成
个“上升数”
．
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
4
星
【题型】填空
【关键词】学而思杯，
1
年级，第
6
题
【解析】
这
样的“上升数“是
36
，
37
，
39
，
67
，
69
，
79
，
367
，
369
，
379
，
679
，
3679
一共
有
11
个．
< br>
【答案】
11
个
【巩固】
自然数
21
，
654
，
7521
这些数有一个共同的特点，相邻
两个数字，左边的数字大
于右边的数字．我们取名为“下降数”
．用
4
，
6
，
7
，
9
这四个
数，可以组成
个“下降数”
．
【考点】加法原理之分类枚举
【难度】
4
星
【题型】填空
【关键词】学而思杯，
2
年级，第
5
题
【解析】
这
样的“下降数“是
9764
，
976
，
974
，
964
，
764
，
97
，
96
，
94
，
76
，
74
，
64
，一
共有
11
个．
< br>
<
考点
>
数学方法之枚举
【答案】
11
个
【例
11
】
将左
下图中
20
张扑克牌分成
10
对，每对红心和黑桃各一张。问：你能分出
几对这样的牌，两张牌上的数
的乘积除以
10
的余数是
1
?(
将
A
看成
1
)
【考点】加乘原理之综合运用
【难度】
1
星
【题型】填空
7
-
1
-1.
加法原理之分类枚举（
一）
.
题库
教师版
page 4 of 9