平行四边形练习题及解析
-
平行四边形练习题及解析
一、选择题
1
．
已知点
A
（
4
，
0
），
B
（
0
，﹣
4
），
C
（
a<
/p>
，
2a
）及点
D
是一个平行四边形的四个顶点，
则线段
CD
的长的最小值为（
）
A
．
6
5
5
B
．
12
5
5
C
．
3
2
D
．
4
2
2
．
如图，正方形
ABCD
中，
AB=12
，点
E<
/p>
在边
CD
上，且
CD=3DE
，将△
ADE
沿
AE
对折至
△
AFE<
/p>
，延长
EF
交边
BC
于点
G
，连接
AG
、
CF
，下列结论：
①△
ABG
≌△
AFG
；
②BG=GC
；
③AG
∥
CF
< br>；
④S
△
FGC
=28.8
．
其中正确结论的个数是（
）
A
．
4
B
．
3
C
．
2
D
．
1
3
．
如图，在
▭<
/p>
ABCD
中，
AB
＝
4
，
BC
＝
6
，∠
ABC
＝
60°
，点
P
为
▭
ABCD
内一点，点
Q
在
BC
边
上，则
PA
+
PD
+
PQ
的最小值为
(
)
A
．<
/p>
3
7
19
B
．
6+2
3
C
．
5
3
D
．
10
<
/p>
4
．
如图，在矩形
ABCD
中，
BC
2
5,
AB
4,
O
为边
AB
的中点，
P
为矩形
ABCD
外
一动点，且
APC
90
，则线段
OP
的最大值为（
）
A
．
5
3
B
．
3
5
C
< br>．
4
5
2
D
．
2
3
1
5
．
如图，在
AB
CD
中，
AD=2AB
，
CE
AB
，垂足
E
在线段
AB
上，
F
、
G
分别是
AD
、
CE
的中点
，连接
FG
，
EF
、
CD
的延长线交于点
H
，则下列结论：
1
①
DCF
B
CD
；②
EF
CF
：③
S
2
BEC
2
S
CEF
；④
DFE
3
AEF
.
其中，正
确结论的个数是（
）
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
< br>个
D
．
4
个
6
．
如图，矩形
ABCD
中，
AD
5
，
AB
7
，点
E
为
DC
上一个动点，把
ADE
沿
AE<
/p>
折叠，点
D
的对应点为
< br>D
，若
D
落在
< br>
ABC
的平分线上时，
DE<
/p>
的长为
( )
A
．
5
或
2
3
B
．
5
5
或
2
3
C
．
5
3
或
2
5
D
．
3
或
2
<
/p>
5
7
．
如图，正
方形
ABCD
（四边相等、四内角相等）中，
< br>AD
＝
5
，点
< br>E
、
F
是正方形
ABCD
内
的两点，且
AE<
/p>
＝
FC
＝
4
，
BE
＝
DF
＝
3
，则
EF
的平方为（
）
A
．
2
B
．
12
5
C
．
3
D
．
4
8
．
如图，点
A<
/p>
,
B
,
E
在同一条直线上，正方形
ABCD
、正方形<
/p>
BEFC
的边长分别为
2
、
3,
H
为线段
DF
的中点，则
BH
的长为
（
）
A
．
C
．
21
2
B
．
D
．
26
2
3
3
2
29
2<
/p>
9
．
如图，在矩形
ABCD
中，
AB
＝
8
，
BC
＝
< br>4
．将矩形沿
AC
折叠，
CD
′与
AB
交于点
F
，则
AF
：
BF
的值为（
）
A
．
2
B
．
5
3
C
．
5
4
D
．
3
10
．
如图，一个四边形花坛
ABCD
，被两条线段
MN
,
EF
分成四个部分，分别种上红、黄、
紫、白四种花卉，种植面积依次是
S
1
、
S
2
、
S
3
、
S
4
，若
MN
∥
AB
∥
DC
，
EF
∥
DA
∥
CB
，则有
（
）
A
．
S
1
=
S
4
B
．
S
1
+
S
4
=
S
2
+
S
3
C
．
S
1
+
S
3
=
S
2
+
S
4
D
．
S
1
·
S
4
=
S
2
·
S
3
二、填空题
11
．
如图，∠
MAN=90°
，点<
/p>
C
在边
AM
上，
AC=4
，点
B
为边
AN
上一动点，连接
BC
，
△
A′BC
与
△
ABC
关于
BC
所在直线对称，点
D
，
E
分别为
AC
，
BC
的中点，连接
DE
并延
长交
A′B
所在直线于点
F
，连接
A′E
．当
△
A′EF
为直角三角形时，
AB
的长为
_____
．
12
．
如图，在矩形
ABCD
中，
< br>AB
4
，
AD
2
，
E
为边
CD
的中点，点
P
在线段
AB
上运动，
F
是
CP
的中点，
则
CEF
的周长的最小值是
____________
．
13
．
如图
，正方形
ABCD
的对角线相交于点
O
，对角线长为
1cm
，过点
O
任作一条直线分
别交
A
D
，
BC
于
E
，
F
，则阴影部分的面积是
_____
．
14
．
已知：点
B<
/p>
是线段
AC
上一点，分别以
AB
，
BC
为边在
AC
的同侧作等边
△
A
BD
和等
边
BCE
，点
M
，
N
分别是
AD
，
CE
< br>的中点，连接
MN
．若
AC=6
，设
BC=2
，则线段
MN
的
长是
________
__
．
1
5
．
如图，在平行四边形
ABCD
中，
AD=2AB
．
F
是
AD
的中点，作
CE
⊥
AB,
垂足
E
在线段
AB
上，连接
EF
、
CF
，
则下列结论：
(1)
∠
DCF+
(3)
S
BEC
=2
1
∠
D
＝
90
°
；
(2)<
/p>
∠
AEF+
∠
E
CF
＝
90°
；
2
S
CEF
；
(4)
若∠
B=80
，则∠
AEF=50°
．其中一定成立的是
______ (
把所有正确结
论的字号都填
在横线上
)
．
16
．
如图
，有一张矩形纸条
ABCD
，
AB
＝
10cm
，
BC
＝
3cm
，点
M
，
N
分别在边
AB
，
CD
上，
CN
＝
1cm
．现将四边形
BCNM
沿
MN
折叠
，使点
B
，
C
分别落在点
B
，
C
上．在点
M
< br>从
点
A
运动到点
B
的过程中，若边
MB
与边
CD
交于点
E
，则点
E
相应运动的路径长为
_____cm
．
17
．
在平面直角坐标系
xOy
中，点
A
、
B
分别在
x
轴、
y
轴的正半轴上运动，点
M
< br>为线段
AB
的中点．点
D
、
E
分别在
x
轴、
y
轴的负半轴上运动，且
DE
＝
AB
＝
10
．以
DE
为边在第
三象限内作正方形
DGFE
，则线段
MG
长度的最大值为
_____
．
18
< br>．
如图，矩形
ABCD
的面积为
36
，
BE
平
分
ABD
，交
AD
于
E
，沿
BE
将
ABE
折
叠，点
A
的对应点刚好落在矩形
两条对角线的交点
F
处．则
ABE
的面积为
________
．
19
．
已知：一组邻边分别为
6
c
m
和
10
cm
的平行四边形
ABCD
，
DAB
和
ABC
的平分
线分别交
CD
所在直线于点
E
，
F
< br>，则线段
EF
的长为
_____
___
cm
．
20
．
如图，长方形
ABCD
中
AB
＝
2
，
BC
＝
4
，正方形
AEFG
的边长为
1
．正方形
AEFG
绕点
A
旋转的过程中，线段
CF
的长的最小值为
_____
．
三、解答题
21
．
如图
1
，
AC
是平行四边形
ABCD
的对角线，
E
、
H<
/p>
分别为边
BA
和边
BC
延长线上
的点，连接
EH
交
AD
、
CD
于点
F
、
G
，且
EH
/
/
AC
.
（
1
）求证：
AEF
CGH
（
2
）若
ACD
是等腰直角三角形，
ACD
90
，
F
是
AD
的中点，
AD
8
，求
BE
的
长：
（
3
）在（
2
）的条件下，连接
BD
，如图
< br>2
，求证：
AC
2
BD
2
2(
AB
2
BC
2
)
22
．
已知
，在△
ABC
中，∠
BAC
=
90
°，∠
ABC
=
45
°，
D
为直线
BC
上一动点（不与点
B
，
C
重合），以
AD
为边作正方形
ADEF
，连接
CF
．
（
1
）如图
1
，当点
D
在
线段
BC
上时，
BC
< br>与
CF
的位置关系是
，
B
C
、
CF
、
C
D
三条线
段之间的数量关系为
；
（
2
）如图
2
，当点
D
在线段
BC
的延长线上时，其他条件不变，请猜想
BC
与
CF
的位置关
系
BC
，
CD
，
CF
三条线段之间的数量关系并证明；
（
3
）如图
3
，当点
D
在线段
BC
的反向延长线上时，点
A
，
F
分别在直线
BC
的两侧
，其他
条件不变．若正方形
ADEF
的
对角线
AE
，
DF
相交于点
O
，
OC
=
为
．（直接写出答案）
23
．
（
1
）如图①，在正方形
ABCD
中，
AEF
的顶点
E
，
F
分别在
BC
，
CD
边上，高
AG
与
正方形的边长相等，求
< br>EAF
的度数；
（
2
）如图②，在
Rt<
/p>
ABD
中，
BAD
90
,
AD
AB
，点
M
，
N
是
BD
边上的任意两
13
，
DB
=
5
< br>，则△
ABC
的面积
2
点，且
MAN
45
，将
ABM
绕点
A
逆时
针旋转
90
度至
ADH
位置，连接
NH
，试判
断
MN
，
ND
，
DH
之间的数量关系，并说明理由；
（
3
）在图①中
，连接
BD
分别交
AE
，
AF
于点
M
，
N
，若正方形
ABCD
的边长为
12
，
G
F=6
，
BM=
3
< br>2
，求
EG
，
< br>MN
的长．
24
．
如图，点
A
、
F
、
C
、
D
在同一直线上，点
B
和点
E
分别在直线
AD
的两侧，且
AB
=
DE
，
∠
A
< br>=∠
D
，
AF
< br>=
DC
．
（
1
）求证：四边形
BCEF
是平行四边形；
（
2
）若∠
DEF
=
< br>90
°，
DE
=
8
，
EF
=
< br>6
，当
AF
为
< br>
时，四边形
BCEF
是菱形．
25
．
如图，在矩形
< br>ABCD
中，∠
BAD
的平分线交
BC
于点
E
，
AE
=
A
D
，作
DF
⊥
AE
于点
F
．
（
1
）求证：
AB
＝
AF
；
（
2
）连
BF
并延长交
DE
于
G
．
①
E
G
＝
DG
；
②若
EG
＝
1
，求矩形
ABCD
的面积．
26
．
如图
1
，在矩形纸片
ABC
D
中，
AB
＝
3cm
，
AD
＝
5cm
，折叠纸片使
B
点落在边
AD
上的
E
处，折
痕为
PQ
，过点
E
作
EF
∥
AB
交
PQ
于
F
，连接
BF
．
（
1
）求证
：四边形
BFEP
为菱形；
（
2
）当
E
在
AD
边上移动时，折痕的端点
< br>P
、
Q
也随着移动．
①当点
Q
与点
C
重合时，
（如图<
/p>
2
），求菱形
BFEP
< br>的边长；
②如果限定
P
、
Q
分别在线段
BA
、
BC
上移动，直接写出菱形
BFEP
面积的变化范围．
< br>27
．
感知：如图①，在正方形
ABCD
中，
E
是
AB
一点，
F
是
< br>AD
延长线上一点，且
DF
＝<
/p>
BE
，求证：
CE
＝
CF
；
拓展：在图①中，若
G
在
AD
，且
GCE
＝
45
，则
GE
＝
BE
GD
成立吗？为什么？
运用：如图②在四边形
ABCD
中，
AD
/
/
BC
(
BC
＞
AD
)
，
A
＝
B
＝
90
<
/p>
，
AB
＝
BC<
/p>
＝
16
，
E
是
AB
上一点，且
DCE
＝
45
，
BE
＝
4
，求
DE
的长．
28
．
如图
1
，点
E
为正方形
ABCD
的边
AB
上一点，
EF
EC<
/p>
，且
EF
EC
，连接
AF
，过点
F
作
FN
垂直于
< br>BA
的延长线于点
N
．
（
1
）求
EAF
的度数；
（
2
）如图
2
，连接
FC
交
BD
于
M
，交
AD
于
P
，试证明：
BD
BG
DG
AF
2
DM
．
29
．
如图，在平行四边形
ABCD
中，
BAD<
/p>
的平分线交
BC
于点
E
，交
DC
的延长线于
F
，以
EC
、
CF
为邻边作平行四边形
ECFG
。
（
1
）证明平行四边形
ECFG
是菱形；
（
2
）若
ABC
120
，连结
BG
、
< br>CG
、
DG
，①求证：
DGC
≌
BGE
；②求
BDG
的度数；
（
3
）若
ABC
90
，
AB
8
，
AD
14
，
M
是
E
F
的中点，求
DM
的长。
30
．
在边长为
5
的正方形
ABCD
中，点
E
在
边
CD
所在直线上，连接
BE
，以
BE
为边，在
BE
的下方作正方形
BEFG
，并连接
AG
．
（
1
）如图
1
，当点<
/p>
E
与点
D
重合时
，
AG
＝
；
（
2
）如图
2
，当点
E
在线段
CD
上时，
DE
＝
2
，求
AG
的长；
（
3
）若
AG
＝
5
17
2<
/p>
，请直接写出此时
DE
的长．
【参考答案】
***
试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1
．
B
解析：
B
【解析】
【分析】
根据题意可判定此题需分两
种情况讨论，如果
AB
、
CD
为对角线，
AB
与
CD
交于点
F
，当
FC
⊥
直线
y
＝
2x
时，
CD
最小，根据垂直及
F
点坐标可先求的直线
FC
的函数解析式，进而
通过求得点
C
坐标来求
CD
；如果
CD
是平行四边形的边，则
CD
＝
AB
＝
4
2
，对比两种情
况即可求得
CD
最小值
.
【详解】
解：如图，由题意点
C
在直线
y
＝
2x
上，
如果
AB
、
CD
为对角线，
AB
与
CD
交于点
F
，当
FC
⊥直线
y
＝
< br>2x
时，
CD
最小，
易知直线
AB
为
y
＝
x
﹣
4
，
∵
AF
＝
FB
，
∴点
F
坐标为（
2
，﹣
2
），
∵
CF
⊥直线
y
＝
2x
，
设直线
CF
为
y
＝﹣
∴直线
CF
为
y
＝﹣
1
x
+
b
′
F
（
2
，﹣
2
）代入得
b
′＝﹣
1
2
1
x
﹣
1
，
2
2
x
y
2
x
<
/p>
5
由
解得
，
<
/p>
1
4
y
x
1
y
2
5
∴点
C
坐标（
2
4
，
）．
5
5
2
2
12
5
2
4
∴
CD
＝
2CF
＝
2
×
2
2
＝
．
5
5
5
<
/p>
如果
CD
是平
行四边形的边，则
CD
＝
AB
＝
4
2
＞
∴
CD
的最小值为
故选：<
/p>
B
．
【点睛】
本题考查了一次函数与平行
四边形的综合题，解本题的关键是找到何时
CD
最短
.
12
5
，
<
/p>
5
12
5
．
5
2
．
B
解析：
B
【分析】
由正方形的性质和折叠的性
质得出
AB
=
AF
，
∠
AFG
=90°
，
由
HL
证明
Rt
△
ABG
≌
Rt
△
AFG
，
得
出①正确
；
设
BG
=
FG
=
x
，
则
CG
=12
﹣
x
．由勾股定理得出方程
，
解方程求出
BG
，
得出
GC
，
即可得出②
正确
；<
/p>
由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出∠
AGB
=
∠
GCF
，
得出
AG
∥
CF
，
即可得出③正
确<
/p>
；
通过计算三角形的面积得出④错误<
/p>
；
即可得出结果
．
【详解】
①正确．理由如下
：
∵四边形
ABCD
是正方形
，
∴
AB
=
BC
=
CD
=
AD
=12
，
∠
B
=
∠
GCE
=
∠
D
=90°
，
由折叠的性质
得
：
< br>AF
=
AD
，
< br>∠
AFE
=
∠
< br>D
=90°
，
∴∠
AFG
=90°
，
AB
=
AF
．在
Rt<
/p>
△
ABG
和
Rt
△
AFG
A
G
AG
，
∴
Rt
△
ABG
≌
Rt
△
AFG
（
HL
）；
中
，
AB
AF
②正确．理由如下
：
1
由题意得
：
EF
=
DE
=
CD
=4
，
设
BG
=
FG
=
x
，
则
CG
=12
﹣
x
．
3
在直角△
ECG
中
，
根据勾股定
理
，
得（
12
﹣
x
）
2
+<
/p>
8
2
=
（
x
+
4
）
2
，
解
得
：
x
=6
，
< br>∴
BG
=6
，
< br>∴
GC
=12
﹣
6=6
，
∴
BG
=
GC
；
③正确．理由如下
：
∵
CG
=
BG
，
BG
=
GF
，
∴
CG
=
< br>GF
，
∴△
FGC
是等腰三角形
，
∠
GFC<
/p>
=
∠
GCF
．<
/p>
又
∵
Rt
△
ABG
≌
Rt<
/p>
△
AFG
，
∴∠
AGB
=
∠
A
GF
，
∠
AGB
+∠
AGF
=2
∠
< br>AGB
=180°
﹣
∠
FGC
=
∠
GFC
+∠
GC
F
=2<
/p>
∠
GFC
=2
∠
GCF
，
∴∠
AGB
=
∠
GCF
，
∴
AG
∥
CF
；
④错误．理由如下
：
∵
S
△
GCE
=
1
1
GC
< br>•
CE
=
×
6
×
8=24
．
< br>
2
2
3
72
×
24=
≠
28.8
．
5
< br>5
∵
GF
=6
< br>，
EF
=4
，
< br>△
GFC
和△
FCE
等高
，
∴
S
△
GFC
：
S
△
FCE
=3
：
2
，
∴
S
△
GFC
=
故④不正确
，
∴正确的有①②③
．
故选
B
．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质
和正方形的性质
，
全等三角形的判定与性质
，
勾股定理
，
平行
线的判定
，
三角形的面积计算等知识
< br>；
本题综合性强
，
有一定的难度
．
3
．
C
解析：
C
【分析】
如下图，将△
APD
绕点
A
逆时针旋转<
/p>
60°
至△
AFE
处，通过边长转换，可将
PA
+
PD
+
PQ
转化
为
PF+EF+PQ
的形式，再利根据两点之间线段最短，得出最
小值．
【详解】
< br>如下图，将△
APD
绕点
A
逆时针旋转
60°
至△
AFE
处，连接
FP
，过点
E
作
BC
的垂线，交
BC
于点
G
，
AD
于点
H
，
过点
A
作
BC
的垂线，交
BC
于点
K
∵△
AFE
是△
APD
绕点
A
逆时针旋转
60°
得到
∴∠
FAP=60°
，∠
EAD=60°
，
AF=AP
，
EF=PD
∴△
APF
是等边三角形，∴
AP=PF
< br>
∴
PA
+
PD
+
PQ
=PF+FE+PQ<
/p>
≥
EG
∵四边
形
ABCD
是平行四边形，
BC=6<
/p>
∴
AE=AD=BC=6
，
AD
∥
BC
∴在
Rt
△
AHE
中，
AH=3
，
EH=3
3
∵<
/p>
HG
⊥
BC
，<
/p>
AK
⊥
BC
，<
/p>
AD
∥
BC
<
/p>
∴
AK
⊥
AD<
/p>
，
GH
⊥
AD<
/p>
，∴
AK=HG
∵∠
ABC=60°
，
AB=4
∴在
Rt
△
ABK
中，
BK=2
，
AK=2
3
∴
HG=2
3
∴
EG=3
3
2
3
5<
/p>
3
故选：
C
【点睛】
本题考查最值问题，解题关
键是旋转△
APD
，将
PA
+
PD
+
PQ
转化为
PF+EF+PQ
的形式．
4
．
B
解析：
B
【分析】
连接
AC
，取
AC
的中点
E
，根据矩形的性质求出
AC
，
OE
，再根据直角三角形斜边上的中线
1
AC
，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边可得
O
、
2
E
、
P
三点共线时
OP<
/p>
最大．
【详解】
解：如图，连接
AC
，取
AC
的中点
E
，
等于斜边的
一半可得
PE
∵矩形
ABCD
中，
BC
2
5,
AB
4
，
O
为
AB
的中点，
AC
AB
2
BC
2
6,
OE
∵
AP
⊥
CP
，
1
BC
5
，
< br>
2
PE
1
1
AC
6
3
，
2
2
由三角形的三边关系得，
O
、
E
、
P
三点共线时
OP
最大，
此时
OP
最大
3
5
．
故选：
B
．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、三
角形的三边关系、勾股定理、中位线定理．能正确构造辅助
线，并根据三角形三边关系确
定
OP
最大值是解题关键．
5
．
C
解析：
C
【分析】
由点
F
是
AD
的中点，结合
ABCD
的性质，得
FD=CD
，即可判断①；先证
HEC
∆
AE
F
≅∆
DHF
，再证
< br>∆
ECH
是直角三角形，即可判断②；由
EF=HF
，得
S
2
S
CEF
，
由
CE
AB
，
CE
⊥
CD
，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠
AEF=x
，则∠
H=x
，
根据直角三角
形的性质，得∠
FCH=
∠
H=x
，由
FD=CD
，∠
DFC=
∠
FCH=x
，由
FG
∥
CD
∥
AB
，得∠
AEF=
∠
EFG=x
，由
EF=CF
，∠
EFG=
∠
CFG=
x
，进而得到
DFE
3
AEF
，即可判断④．
【详解】
∵点
F
是
AD
的中点，
∴
2FD=AD
，
∵在
ABCD
中，
AD=2AB
，
∴
FD=AB=CD
，
∴∠
DFC=
∠
DCF
，
∵
AD
∥
BC
，
∴∠
DFC=
∠
BCF
，
1
∴∠
DCF=
∠<
/p>
BCF
，即：
DCF
BCD
，
2
∴①正确；
∵
AB
∥
CD
，
∴∠
A=
∠
FDH
，∠
AEF=
∠
H
，
< br>又∵
AF=DF
，
∴
∆
AEF
≅∆
DHF
（
AAS
），<
/p>
∴
EF=HF
，
∵
CE
AB
，
∴<
/p>
CE
⊥
CD
，即
：
∆
ECH
是直角三角形，
∴
EF
CF
=
∴②正确；
∵
EF=HF
，
<
/p>
∴
S
HEC
1<
/p>
EH
，
2
2
S
CEF
∵
CE
AB
，
CE
⊥
CD
，垂足
E
在线段
AB
上，
∴
BE
CH
,
∴
S
∴
S
BEC
BEC
S
HCE
,
，
2
S
CEF
∴③错误；
设∠
AEF=x
，则∠
H=x
，
∵在
Rt
∆
ECH
中，
CF=FH=EF
，
∴∠
FCH=
∠
H=x
，
∵
FD=CD
，
∴∠
DFC=<
/p>
∠
FCH=x
，
∵点
F
，
G<
/p>
分别是
EH
，
E
C
的中点，
∴
FG
∥
CD
∥
AB
，
∴∠
AEF=
∠
EFG=x
，
∵
EF=CF
，
∴∠
EFG=
∠<
/p>
CFG=x
，
∴∠
DFE=
∠
DFC+
∠
EFG+
∠
CFG=3x
，
∴
DFE
3
AEF
．
∴④正确．
故选
C
．
【点睛】
本题主要考查平行四边形和
直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半，是解题的
关键．
6
．
B
解析：
B
【分析】
连接
BD′
，过
D′
作
< br>MN
⊥
AB
，交
AB
于点
M
，
CD
于点
N
，作
D′P
⊥
BC
交
BC
于点
P
，先
利用勾股定理求出
MD′
，再分两种情况利用勾
股定理求出
DE
．
【详解】
如图
,
连接
BD
′,
过
D
′
作
MN
⊥
AB
,
交
AB
于点
M
,
CD
于点
N
,
作
D
′
P<
/p>
⊥
BC
交
BC<
/p>
于点
P
∵点
D
的对应点
D
′
落在∠
ABC
的角平分线上，
∴
MD
′=
PD
′
，
设
MD
′=
x
,
则
PD
′=
BM
=
x
，
∴
AM
=
AB
−
BM
=7−
x
，
又折叠图形可得
AD
=
AD<
/p>
′=5
，
∴<
/p>
x
2
+(7−
x
)
2
=25
，
解得
x
=3
或
4
，
即
MD
′=3
或
4.
在
Rt
△
EN
D
′
中
,
设<
/p>
ED
′=
a
，<
/p>
①当
MD
′=
3
时
,
AM
=
7−3=4,
D
′
N
< br>=5−3=2
，
EN
=4−
a
，
∴
a
2
=2
2
+(4−
a
)
2
，
解得
a
=
5
5
,
即
DE
=
，
< br>
2
2
②当
MD
′=4
时
,
< br>AM
=7−4=3,
D
′
N
=5−4=1
，
E
N
=3−
a
，
∴
a
2
=1<
/p>
2
+(3−
a
)
2
，
解得<
/p>
a
=
故选
B.<
/p>
【点睛】
本题考查翻折变换（折叠问题）
,
矩
形的性质，角平分线的性质，勾股定理与折叠问题
.
解
决本题的关键是依据题意分别表示
Rt
△
AMD
′
和
Rt<
/p>
△
END
′
的三
边，利用勾股定理解直角三
角形
.
<
/p>
5
5
,
即
DE
=
.
3
3
7
．
A
解析：
A
【分析】
根据
AB=5
，
AE=4
，
BE=3
，可以确定△
ABE
为直角三角形，延长
BE
构建出直角三角形，
在利用勾股定理求出
EF
的平方即可
< br>.
【详解】
∵四边形
ABCD
是正方形
,
∴AB=BC=CD=AD=5，
如图，延长
BE
交
CF
于点
G
，
∵
AB=5
，
< br>AE=4
，
BE=3
，
∴
AE
2
+BE
2
=AB
2
，
∴△ABE
是直角三角形，
同理可得△DFC
是直角三角形，
∵AE=FC=4,BE=DF=3,AB=CD=5，
∴△ABE≌△CDF,
∴∠BAE=∠DCF,
∵∠ABC
=∠AEB=90
2
，
∴∠CBG=∠BAE，
同理可得，∠BCG=∠CDF=∠ABE，
△ABE≌△BCG，
∴CG=BE
=3，
BG=AE=4
，
∴EG=4
-3=1
，
G
F=4-3=1
，
∴EF
2
=EG
2
+GF
2
=1+1=2
故选择
:A
【点睛】
此题考查三角形的判定，勾
股定理的运用，根据已知条件构建直角三角形求值是解题的关
键
.
8
．
B
解析：
B
【分析】
连接
BD
、
BF
，由正方形的性质可得：
∠
CBD=
∠
FBG=45
°，∠
DBF=90
°，再应用勾股定理
求
BD
、
BF
和
DF
，最后应用“直角三角形斜边上中线等于
斜边一半”可求得
BH
．
【详解】
如图，连接
BD
、
BF
，
∵四边形
ABCD
和四边形
BEFG
都是正方形，
∴
AB=AD=2
，
BE=EF=3
，∠
A=
< br>∠
E=90
°，∠
ABD=
∠
CBD=
∠
EB
F=
∠
FBG=45
°，
∴∠
DBF=90
°，<
/p>
BD=2
2
，
B
F=3
2
，
∴在
Rt
△
BDF
中，
DF=
BD
2
BF
2
=
< br>∵
H
为线段
DF
的中点，
∴
BH=
2
2
3
2
< br>
2
2
26
，
1
26
DF=
.
2
2
故选
B
．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形边的关系、勾股定理、直角三角形性质等，解
题关键添加辅助线构造直角三角形．
9
．
B
解析：
B
【分析】
由折叠的性质可得∠
DCA
＝∠
ACF
，
由平行线的性质可得∠
DCA
＝∠
CA
B
＝∠
ACF
，可得
< br>FA
＝
FC
，设
BF
＝
x
，在
Rt
△
BCF
中，根据
CF
2
＝
BC
2
+BF
2
，可得方
程（
8
﹣
x
）
2
＝
x
2
+4
2
，可求
BF
＝
3
，
AF<
/p>
＝
5
，即可求解．
【详解】
解：设
BF
＝
x
，
< br>
∵将矩形沿
AC
折叠，
∴∠
DCA
＝∠<
/p>
ACF
，
∵四
边形
ABCD
是矩形，
∴
CD
∥
AB
，
∴∠
DCA
＝∠
CAB
＝∠
ACF<
/p>
，
∴
FA
＝
FC
＝
8
﹣
x
，
在
Rt
△
BCF
中，∵
CF
2
＝
BC
2
+BF
2
，
∴（
8
﹣
x
）
2
＝
x
2
+4
2
，
∴
< br>x
＝
3
，
∴
BF
＝
3
，
∴
AF
＝
5
，
∴
AF
：
BF
的值为
故选：
B
．
【点睛】
本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题，属于中考常考题型．
5
，
3
10
．
D
解析：
D
【分析】
由于在四边形中，
MN
∥
AB
∥
DC
，
EF
∥
DA
∥
CB
，因此
MN
、
EF
把一个
平行四边形分割成四
个小平行四边形．可设
MN
到
DC
的距离为
h
1
，
MN
到
AB
的距离为
h
2
，根据
AB=CD
，
D
E=AF
，
EC=FB
及平行四边形的
面积公式即可得出答案．
【详解】
解：∵
MN
∥
AB
∥
DC
，
EF
∥
DA
∥
CB
，
∴四边形
ABCD
，四边形
ADEF
，四边
形
BCEF
，红、紫、黄、白四边形都为平行四边形，
∴
AB=CD
，
DE=AF
，
EC=BF
< br>．
设
MN
到
DC
的距离为
h
1
，
MN
到
< br>AB
的距离为
h
2
，
则
S
< br>1
=DE
•
h
< br>1
，
S
2
=AF
•
h
2
，
S
3
=EC
•
h
1
，
S
4
=FB
•
h
2
，
因为<
/p>
DE
，
h
1
，
FB
，
h
2
的关系不确定，所以
S
1
与
S
4
的关系无法确定，故
A
错误；
S
1
+S
4
=DE
•
h
1
+FB
•
h
2
=AF
•
h
1
+FB
•
h
2
，
S
2
+S
3
=AF
•
h
2
+EC
•
h
1
=AF
•
h
2
+FB
•
h
1
，故
B
错误；
S
1
+S
3
=CD
•
h
1
，
S
2
+S
4
=AB
•
h
2
，又
AB=CD
，而
h
1
不一定与<
/p>
h
2
相等，故
C
错误；
S
1
·
S
4
=DE
•
h1
•
FB
•
h
2
=AF
•
h
1
•
FB
•
h
2
，
S
2
·
S
3
=AF
•
h
2
•
EC
•
h
1
=AF
•
h
2
•
< br>FB
•
h
1
，所以
S
1
·
S
4
=S
2
·
S
3
，
故
D
正确；
故选：
D
．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定
与性质，注意掌握平行四边形的面积等于平行四边形的边长与
该边上的高的积．即
S=a
•
h
．其中<
/p>
a
可以是平行四边形的任何一边，
h
必须是
a
边与其对边
的距离，即对应的高．
二、填空题
11
．
4<
/p>
3
或
4
【解析】
分析：当
< br>△
A′EF
为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠
A'EF=90°
时，如图
1
，根据对称的性质和平行线可得：
A'C=A'E=4
，根据直角三角形斜
边中线的性质
得：
BC=2A'B=8
，最后利用勾股定理可得
AB
的长；
②当∠
A'FE=90°
时，如图
2
，证明
△
ABC
是等腰直角三
角形，可得
AB=AC=4
．
详解：当
△
A′EF
为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠
A'EF=90°
时，如图
1
，<
/p>
.
∵△
A′BC
与
△
AB
C
关于
BC
所在直线对称，
∴
A'C=AC=4
，
∠
ACB=
∠
A'CB
，
∵点
D
，
E
分别为
AC
，
BC
的中点，
∴
D
、
< br>E
是
△
ABC
< br>的中位线，
∴
DE
∥
AB
，
∴∠
CDE=
∠
MAN=9
0°
，
∴∠
CDE=
∠
A'EF
，
∴
AC
∥
< br>A'E
，
∴∠
ACB=
∠
A'EC
，
∴∠
A'CB=
∠
A'EC
，
∴
A'C=A'E=4
，
Rt
△
A'CB
中，∵<
/p>
E
是斜边
BC
的
中点，
∴
BC=2A'E=8
，
由勾股定理得：
AB
2
=BC
2
-AC
2
，
∴
AB=
8
2
4
2
=4
3
；
②当∠
A'FE=90°
时，如图
2
，
.
∵∠
ADF=
∠
A=
∠
DFB=90°
，
∴∠
ABF=90°
，
∵△
A′BC
与
△
ABC
关于
BC
所在
直线对称，
∴∠
ABC=
∠
CBA'=45°
，
∴△
ABC
是等腰直角三角形，
∴
AB=AC=4
；
.
综上所述，
AB
的长为
4
3
< br>或
4
；
故答案为
4
3
或
4.
点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、
轴对称的性质、等腰直角三角形的判
定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的
思想解决问题．
12
．
2
2
2
< br>
【分析】
由题意根据三角形
的中位线的性质得到
EF=
=
1
1
PD
，得到
C
△
CEF
=CE+CF+EF=CE+
（
CP+PD
）
2
2
1
1
（
CD+PC+PD
）
=
C
△
CDP
，当△
CDP
的周长最小时，△
CEF
的周长最小；即
PC+PD
的值
2<
/p>
2
最小时，△
CEF
的周长最小；并作
D
关于
AB
的对称点
D
′，连接
CD
′交
AB
于
P
，进而分
析即可得到结论．
【详解】
解：∵
E
为
CD
中点，
< br>F
为
CP
中点，
∴
EF=
1
PD
，
2
< br>1
1
1
（
CP+PD
）
=
（
< br>CD+PC+PD
）
=
C
△
CDP
2
2
2
∴
C
△
CEF
=CE+CF+EF=CE+
∴当△
CDP
的周长最小时，△
< br>CEF
的周长最小；
即
PC+PD
的值最小时，△
CEF
的周长最小；
如图，作
D
关于
AB
的对称点
< br>T
，连接
CT
，则
PD=PT
，
∵
AD=AT=BC=2
，
CD=4
，∠
CDT=90
°，<
/p>
∴
CT
CD
2
DT
2
4
2
4
2
4
2
，
< br>∵△
CDP
的周长
=CD+DP
+PC=CD+PT+PC
，
∵
PT+PC
≥
CT
，
∴
PT+PC
≥
4
2
，
∴
PT+PC
的最小值为
4
2
，
< br>∴△
PDC
的最小值为
4+
4
2
，
∴
C
△
CEF
=
1
C
△
CDP
=
2
2
2
．
< br>2
故答案为：
2
2
2
．
【点睛】
本题考查轴对称
-
最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识，解题的关键是学会利用轴
对称解决最值问题．
1
13
．
cm
2
8
【分析】
根据正方形的性质可以证明
△
AEO
≌
CFO
，就可以得出
S<
/p>
△
AEO
=S
△
CFO
，就可以求出
△
AOD
面积
等于正方形面积的
【详解】
解：如图：
1
，根据正方形的面积就可以求出结论．
4
∵正方形
ABCD
的对角线相交于点
O
，
∴△
AEO
与△<
/p>
CFO
关于
O
点
成中心对称，
∴△
AEO
≌
CFO
，
∴
S
△
AEO
＝
S
△
CFO
，
∴
S
△
AOD
＝
S
△
DEO
+S
△
CFO
，
∵对角线长为<
/p>
1cm
，
∴<
/p>
S
正方形
ABCD
＝
∴
S
△
A
OD
＝
1
1
1
1
＝
cm
2
，
2
2
1
2
cm
，
8
∴阴影部分的面积为
故答案为：
【点睛】
1
2
cm
．
8
1
< br>2
cm
．
8
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及
三角形
的面积公式的运用，在解答时证明△
AEO
≌
CFO
是关键．
14
．
21
【分析】
如图（见解析），先根据等
边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得
ME
//
AB
,
ME
AB
4
，再根据平
行线的性质可得
FEM
C
60
，然后利用直角
三角形的性质、勾股定理可得
EF
2,
MF<
/p>
2
3
，从而可
得
FN
3
，
最后在
Rt
FMN
中，利用勾股定理即
可得．
【详解】
< br>如图，连接
ME
，过点
M
作
MF
CE
，交
CE
延长线于点
F
，
△
AB
D
和
BCE
都是等边三角形，
BC
2
，
A
CBE
C
60
,
BE
CE
B
C
2,
AD
A
B
，
AD
//
BE
，
AC
6
，
AD
AB
6
<
/p>
2
4
，
点
M
，
N
分别是
AD
，
CE
的中点，
1
1
AD
2,
EN
CE
1
，
2
2
AM
BE
，
四边形
ABEM
是平行四边形，
ME
//
AB
,
ME
AB
4
，
AM
FEM
C
60
，
在
Rt
△
EFM
中，
EMF
90
60
30
，
1
EF
ME
2,
MF
ME
2
EF
2
2
3
，<
/p>
2
FN
EN
EF
1
2
3
，
则在
Rt
FMN
中，
MN
FN
2
MF
2
3
2
(2
3)
2
21
，
故答案为：
21
．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性
质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质
等知识点，通过作辅助线，
构造直角三角形和平行四边形是解题关键．
15
．
(1) (2)
(4)
【分析】
< br>由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出
(1)
正确
；
由
ASA
证明△
AEF
≌△
DMF
，得出
EF=MF
，∠
AE
F=
∠
M
，由直角三角形斜边上的中线
性质得
1
EM=EF
，由等腰三角形的
性质得出∠
FEC=
∠
ECF
，得出
(2)
正确；
2
证出
S
△<
/p>
EFC
=S
△
C
FM
，由
MC
＞
BE
，得出
S
△
BEC
＜
2S
△
< br>EFC
，得出
(3)
错误；
由平行线的性质和互余两角的关系得出
(
4)
正确；即可得出结论．
【详解】
出
CF=
(1)
∵
F
是
AD
的中点，
∴
AF=FD
，
∵在
▱
ABCD
中，
AD=2AB
，
∴
AF=FD=CD=AB
，
∴∠
DFC=
∠
DCF
，
∵
AD
∥
BC
，
∴∠
DFC=
∠
FCB
，∠
BCD+
< br>∠
D=180°
，
∴∠
DCF=
∠
BCF<
/p>
，
∴∠
DCF
=
∴∠
DCF+
1
∠
BCD
，
2
1
∠
D=90°
，故
(1)
正确；
2
(2)
延长
EF
，交
CD
延长线于
M
，如图所示：
< br>∵四边形
ABCD
是平行四边形，