【数学】数学 平行四边形的专项 培优练习题及详细答案
-
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1
．
操作与证明：如图
1
，把一个含
45°
角的直角三角板
ECF
和一个正方形
ABCD
摆放在一
起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点
C
重合，点
E
、
F
分别在正方形的边
CB
、
CD
上，
连接
AF<
/p>
．取
AF
中点
M
，
EF
的中点
N
，连接
MD
、
MN
．
（
1
）连接
AE
，求证：
△
AEF
是等腰三角形；
猜想与发现：
（
2
）在（
1
）的条件下，请判断<
/p>
MD
、
MN
的数
量关系和位置关系，得出结论．
结论
1
：
DM
、
M
N
的数量关系是
；
结论
2<
/p>
：
DM
、
MN<
/p>
的位置关系是
；
拓展与探究：
（
3
）如图
2
，将图
1
中的直角三角板
ECF
绕点
C
顺时针旋转
180°
，其他条件不变，则
（
2
）中
的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（
1
）证明参见解析；（
2
）相等，垂直；（
3
）成立，理由参见解析
.
【解析】
试题分析：（
1
）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出
CE=CF
，继而证明出
△
ABE
≌
△
ADF
，
得到
AE=AF
，从而证明出
△
AEF
是等腰三角形；（
2
< br>）
DM
、
MN
< br>的数量关
系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即
可得出结论
.
位置
关系是垂直，利用三
角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角
相等即可得出结论；
（
3
）成立，连接
AE
，交
MD
于点
G
，标记出各个角，首先证明出
MN
∥
AE
，
MN=
AE
，利用三角形全等证出
AE=AF
，而
DM=
AF
，从而得到
D
M
，
MN
数量相
等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关
系得到
∠
DMN=
∠
DGE=90°
．从而得到
DM
、
MN
的位置关系是垂直
.
试题解析：（
1
）<
/p>
∵
四边形
ABCD
是正方形，
∴
AB=AD=BC=CD
，
∠
B=
∠
ADF=90°
，
∵
△
CEF
是等腰直角三角形，
∠
C=90°
，
∴
CE=CF
，
∴
BC
﹣
CE=CD
﹣
CF
，即
BE=DF
，
∴
△
ABE
≌
△
A
DF
，
∴
AE=AF
< br>，
∴
△
AEF
< br>是等腰三角形；（
2
）
DM
、
MN
的数量关系是相等，
DM
、
MN
的位置关系是垂直
；
∵
在
Rt
△
ADF
中
DM
是斜边
AF
的中线，
∴
AF=2DM
，
∵
MN
是
△
AEF
的中位线
，
∴
AE=2MN
，
< br>∵
AE=AF
，
∴
DM=MN
；
∵
∠
DMF=
∠
DAF+
∠
ADM
，
AM=MD
< br>，
∵
∠
FMN=
∠
FAE
，
∠
DAF=
∠
BAE
，
∴
∠
ADM=
∠
DAF=
∠
BAE
，
∴
∠
DMN=
∠
FMN+
∠
DMF=
∠
DAF+
∠
BAE+
∠
FAE=
∠
BAD
=90°
，
∴
DM
⊥
MN
；（
3
）（
2
）中的
两个结论还成立，连
接
AE
，交
MD
于点
G
，
∵
点
M
为
AF
的
中点，点
N
为
EF
的中点，
∴
MN
∥
AE
，
MN=
AE
，由已知得，
AB=AD=BC=CD
，
∠
B=
∠
ADF
，
CE=CF
，又
∵
BC+CE=CD+CF
，即
BE=D
F
，
∴
△
AB
E
≌
△
ADF
，
∴
AE=AF
，在
< br>Rt
△
ADF
中，
∵
点
M
为
< br>AF
的
中点，
∴
DM=
AF
，
∴
DM=MN
，
∵
△
ABE
≌
△
ADF
，
∴
∠
1=
∠
2
，
∵
AB
∥
DF
，
∴
∠
1=
∠
3
，同
理可证：
∠
2=
∠
4
，
∴
∠
3=
∠
4
，
∵
DM=AM
，
∴
∠
MAD=
∠
5
，
∴
∠
DGE=
∠
5+
∠
4=
∠
MAD+<
/p>
∠
3=90°
，
∵
MN
∥
AE
，
∴
∠
DMN=
∠
DGE=90°
，
∴
DM
⊥
MN
．所
以（
2
）中的两个结论还成立
.
考点：
1.
正方形的性质；
2.
全等三角
形的判定与性质；
3.
三角形中位线定理；
4.
旋转的性
质．
2
．
如图<
/p>
①
，在等腰
Rt
ABC
中，
BAC
< br>
90
，点
E
< br>在
AC
上
(
且不与点
A
、
C
< br>重合
)
，
在
△
ABC
的外部作等腰
Rt
△
CED
，使
CED
90
，连
接
AD
，分别以
AB
< br>，
AD
为邻边
作平行四边形
ABFD
，连接
AF
．
1
请直接写出线段
AF
，
AE
的数量关系；
2
①
将
CED
绕点
C
逆时针旋转
，当点
E
在线段
BC
< br>上时，如图
②
，连接
AE
，请判断
线段
AF
，
AE
的数量关系，并证明你的结论；
②
若
AB
<
/p>
2
5
，
CE
2
，在图
②
的基础上将
CED
绕点
C
继续逆时针旋转一周的过
程中，当平行四边形
ABFD
为菱形时，直接写出线段
AE
的长度．
【答案】（
1
）证明见解析；（
2
）
①
AF
【解析】
2AE
②
4
2
或
2
2
.
【分析】
1
如图
①
中，结论：
AF
2AE
，只要证明
AEF
是等腰直角三角形即
可；
2
①
如图
②
中，
结论：
AF
2AE
< br>，连接
EF
，
DF
交
BC
于
K
，先证明
EKF
≌
EDA
再证明
AEF
是等腰直角三角形即可；
②
分两种情形
a
、如图
③
中，当
AD
AC
时，四边形
ABFD
是菱形
.b
、如图
④
中当
AD
AC
时，四边形
ABFD
是菱形
.
分别求解即可
.<
/p>
【详解】
1
如图
①<
/p>
中，结论：
AF
2AE
．
理由：
四边形
ABFD
是平行四边形
，
AB
DF
，
AB
AC
，
<
/p>
AC
DF<
/p>
，
DE
EC
，
AE
EF
，
DEC
AEF
90
，
AEF
是等腰直角三角形，
< br>AF
2AE
．
故答案为
AF
2AE
．
2AE
．
2
①
如图<
/p>
②
中，结论：
AF
理由：连接
EF
，
DF
交
BC
于
K
．
四边形
ABFD
是平行四边形，
AB/
/DF
，
D
KE
ABC
45
，
EKF
180
DKE
135
，
EK
< br>
ED
，
ADE
180
EDC
180
45
135
，
EKF
ADE
，
DKC
C
，
DK
DC
，
< br>DF
AB
< br>AC
，
KF
AD
，
在
EKF
和
EDA
中，
< br>EK
ED
< br>
EKF
< br>
ADE
，
< br>
KF
AD
< br>
EKF
≌
< br>EDA
，
< br>EF
EA
，
< br>
KEF
< br>AED
，
< br>
FEA
< br>BED
90
，
AEF
是等腰直角三角形
，
AF
2AE
．
②
如图
③
中，当
AD
AC
时，四边形
ABFD
是菱形，设
AE
交<
/p>
CD
于
H
，易知
EH
DH
CH
2
，<
/p>
AH
(2
5)
2
(
2)<
/p>
2
3
2
，
AE
AH
EH
4
2
，
如图
④
中当
AD
AC
时，四边形
ABF
D
是菱形，易知
AE
AH
EH
3
2
2
2
2
，
综上所述，满足条件的
AE
的长为
4
2
或
2
2
．
【点睛】
本题考查四边形综合题、全
等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行
四边形的性质、勾股定理等
知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找
全等的条件是解题的难点，
属于中考常考题型．
3
．
如图，在
△
ABC
中，
∠
ACB=90°
，
∠
CAB=30°
，以线段
AB
为边向外作等边
△
ABD
，点
E
是线段
AB
的中点，连接
CE
并延
长交线段
AD
于点
F
< br>．
（
1
）求证：四边形
BCFD
为平行四
边形；（
2
）若
AB=6
，求平行四边形
ADBC
的面积．
< br>
【答案】（
1
）见解析；（<
/p>
2
）
S
平行四边
形
ADBC
=
【解析】
【分析】
27
3
．
<
/p>
2
1
1
AB
，
BE=
AB
，得
到
∠
BCE=
∠
EBC=60°
.
由
2
2
△
AEF
≌
△
BEC
，得
∠
AFE=
∠
BCE=60°
.
又
∠
D=60°
< br>，得
∠
AFE
（
1
）在
Rt
△
ABC
中，
E
为
AB
的中点，则
CE=<
/p>
=
∠
D=60
度
.
所以
FC
∥
BD
，又因为
∠
BAD=
∠
ABC=60°
，所以<
/p>
AD
∥
BC
，即
FD//BC
，则四边形
BCFD
是平行四边形
.
（
2
）在
Rt
△
ABC
中，求出
BC
，
AC
即可解决问题；
【详解】
解：（
1
）证明：在
△
ABC
中，
∠
ACB=90°
，
∠
CAB=30°
，
< br>∴
∠
ABC=60°
，在等边<
/p>
△
ABD
中，
∠
BAD=60°
，
∴
< br>∠
BAD=
∠
ABC=60°<
/p>
，
∵
E
为
AB
的中点，
∴
AE
=BE
，又
∵
∠
AEF=
∠
BEC
，
∴
△
AEF
≌
△
BEC
，在
△
ABC
中，
∠
ACB=90
°
，
E
为
AB
的中点，
∴
CE=
1
1
AB
，
BE=
AB
，
2
2
∴
CE=AE
，
∴
∠
EAC=
∠
ECA=30°
，
∴
∠
BCE=
∠
EBC=60°
，又
∵
△
AEF
≌
△
BEC
，
∴
∠
AFE=
∠
BCE=60°
，又
∵
∠
D=60°
，
∴
∠
AFE=
∠
D=60°
，
∴
FC
∥
BD
，又
∵
∠
BAD=
∠
ABC=60°
，
∴
AD
∥
B
C
，即
FD
∥
BC
，
∴
四边形
BCFD
是平行四边形；
（
2
）解：在
Rt
△<
/p>
ABC
中，
∵
∠
BAC=30°
，
AB=6
，
∴
BC=AF=3
，<
/p>
AC=
3
BCFD
=3×
3
，
∴
S
平行四边形
1
9
< br>3
27
3
，
S
平行四边形
ADBC
=
．
3
3
=
9
3
，
< br>S
△
ACF
=
< br>×3×
3
3
=
< br>2
2
2
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的
性质、解直
角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属
于中考常考
题型
.
4
．
（
1
）如图
1
，将矩
形
ABCD
折叠，使
BC
落在对角线
BD
上，折痕为
BE
，点
C
落在
点
C
处，若
∠
ADB
42
，则
DBE
的度数为
______
.
（
2
）小明手中有一张矩形纸片
ABCD
，
AB
4
，
AD
9
.
（画一画）如图
2
，点
E
在这
张矩形纸片的边
AD
上，将纸片折叠，使
AB
落在
CE
所在
< br>直线上，折痕设为
MN
（点
M<
/p>
，
N
分别在边
A
D
，
BC
上），利用直尺和圆规画出折
痕
MN
（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚
）；
（算一算）如图
3
，点
F
在这张矩形纸片的
边
BC
上，将纸片折叠，使
FB
落在射线
FD
上，折痕为
GF
，点
A
,
B
分别落在点
A
，
B
处，若
AG
7
，求
B
D
的长
< br>.
3
【答案】（
1
）
21
；（
2
）画一画；见解析；算一算：
< br>B
D
3
【解析】
【分析】
（
1
）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；
（
2
）【画一画】，如图
2
中，延长
BA
交
CE
的延长线由
G
，作
∠
BGC
的角平分线交
AD
于
M
，交
BC
于
N
，直线
MN
即为所求；
【算一算】首先
求出
GD=9-
7
20
，由矩形的性质得出
AD
∥
BC
，
BC=AD=9
，由平行线的
3
3
性质得出<
/p>
∠
DGF=
∠
B
FG
，由翻折不变性可知，
∠
BFG=
∠
DFG
，证出
∠
DFG=
∠
DGF
，由等腰三
20
，再由勾股定理求出
< br>CF
，可得
BF
，再利用翻折不
变性，
3
可知
FB′=FB
，由此即可解决问题．
【详解】
角形的判定定理证出
DF=DG=
（
1
）
如图
1
所示：
∵
四边形
ABCD
是矩形，
∴
AD
∥
BC
，
∴
∠
ADB=
∠
DBC=42
°
，
由翻折的性质可知，
∠
DBE=
∠
EBC=<
/p>
故答案为
21
．
（
2
）【画一画】如图所示：
1
∠
DBC=21°
，
2
【算一算】
如
3
所示：
∵
AG=
7
，
AD=9
，
3
∴
GD=9-
7
20
，
3
3
∵
四边形
ABCD
是矩形，
< br>∴
AD
∥
BC
< br>，
BC=AD=9
，
∴
∠
DGF=
∠
BFG
，
由翻折不
变性可知，
∠
BFG=
∠
DFG
，
∴
∠
DFG=
∠
DGF
，
∴
DF=DG=
20
，
<
/p>
3
2
∵
CD=A
B=4
，
∠
C=90°
，
16
< br>20
2
∴
在
Rt
△
CDF
< br>中，由勾股定理得：
CF=
DF
2
CD
2
，
4
3
3
∴
BF=BC-CF=9
16
11
，
3
3
11
，
3
由翻折不变性可知，
FB=FB′=
∴
B′D=DF
-
FB′=
【点睛】
20
11
3
.
3
3
四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平
行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决
问题．
5
．
如图，在正方形
ABCD
中
，对角线
AC
与
BD
< br>交于点
O
，在
Rt
△
PFE
中，
∠
EPF=90°
，点
E
、
F
分别在边
AD
、
AB
上．
（
1
）如图
1
，若点
P
与点
O
重合：
①
求证：
AF=DE
；
②
若正方形的边长为
2
3
，当
∠
DOE=15°
时，求线段
EF
的长；
（
2
）如图
2
，若
Rt
△
PFE
的顶点
P
在线段
OB
上移动（不与点
O
、
B
重合），当
BD
=3BP
时，证明：
PE=2PF
．<
/p>
【答案】（
1
）
①
证明见解析，
< br>②
2
2
；（
2
）证明见解析
.
【解析】
【分析】
（
1
）
①
根据正方形的性质和旋转的性质
即可证得：
△
AOF
≌
△
DOE
根据全等三角形的性质
证明；
②
作
OG
⊥
AB
于
G
，根据余弦的概念求出
OF
的长，
根据勾股定理求值即可；
（
2
）首先过点
P
作
HP
⊥
BD
交
AB
于点
H
，根据相似三角形的判定和性质
求出
PE
与
PF
的
数量关系．
【详解】
（
1
）
①
证明：
∵
四边形
ABCD
是正方形，
∴
OA=OD
，
∠
OAF=
∠
OD
E=45°
，
∠
AOD=90°
，
∴
∠
AOE+
∠
DOE=90°
，
∵
∠
E
PF=90°
，
∴
< br>∠
AOF+
∠
AOE=90°<
/p>
，
∴
∠
DOE=
∠
AOF
，
在
△
AOF
和
△
DOE
中
，
OA
F
＝
ODE
，
OA
＝
OD
<
/p>
AOF
＝
DO
E
∴
△
AO
F
≌
△
DOE
，
∴
AF=DE
；
②
解：过点
< br>O
作
OG
⊥
AB
于
G
，
∵
正方形的边长为
2
3
，
< br>∴
OG=
1
BC=
3
，
2
< br>∵
∠
DOE=15°
，
△
AOF
≌
△
DOE
，
∴
∠
AOF=15°
，
∴
∠
FOG=45°
< br>-15°
=30°
，
∴
OF=
OG
=2
，
cos
DOG
∴
EF=
O
F
2
OE
2
=2
2
；
<
/p>
（
2
）证明：如图
2
，过点
P
作
HP
⊥
BD
交
AB
于点
H
，