中考数学(平行四边形提高练习题)压轴题训练附答案
-
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1
．
如果两个三角形的两条边对应相等，夹角
互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如
图
2
，分别以
△
ABC
的边
AB
、
AC
为边向
外作正方形
ABDE
和
ACGF
，则图中的两个三角形
就是互补三角形．
<
/p>
（
1
）用尺规将图
1
中的
△
ABC
分割成两个互补三角形；
（
2<
/p>
）证明图
2
中的
△
ABC
分割成两个互补三角形；
<
/p>
（
3
）如图
3<
/p>
，在图
2
的基础上再以
< br>BC
为边向外作正方形
BCHI
．
①
已知三个正方形面积分别是
17
、
13
、
10
，在如图
4
的
网格中（网格中每个小正方形的
边长为
1
）画出边长为
、
、
的三角形，并计算
图
3
中六边形
DEFGHI
的面积．
②
若
△
ABC
的面积为
2<
/p>
，求以
EF
、
D
I
、
HG
的长为边的三角形面积．
【答案】（
1
）作图见解析（
2
）证明见解析（
3
）
①62
；
②6
【解析】
试题分析：（
1
）作
< br>BC
边上的中线
AD
即可．
（
2
）根据互补
三角形的定义证明即可．
（
3
）
①
画出图形后，利用割补法求面积即可．<
/p>
②
平移
△
CHG
到
AMF
，
连接
EM
，
IM
，则
AM=CH=BI
，只要证明
S
△
EFM
=3S
△
ABC
即可．
< br>试题解析：（
1
）如图
1
中，作
BC
边上的中线
AD
，
△
ABD
和
△
ADC
是互补三角形．
（
2
）如图
2
中，延长
FA<
/p>
到点
H
，使得
A
H=AF
，连接
EH
．
∵
四边形
ABDE
，四边形
ACGF
是
正方形，
∴
AB=AE
，
AF=AC
，
∠
BAE=
∠
CAF=90°
，
∴
∠
EAF+
∠
BAC=180°
，
∴
△
AEF
和
△
ABC
是两个互
补三角形．
∵
∠
EAH+
∠
HAB=
∠
BAC+
∠
HAB=90°
，
∴
∠
E
AH=
∠
BAC
，
∵
AF=AC
，
∴
AH=AB
，
在
△
AEH
和
△
ABC
中，
∴
△
AEH
≌
△
ABC
，
∴
S
△
AEF
=S
△
AEH
=S
△
ABC
．
（
3
）
①
边长为
、
、
的三角形如图
4
所示．
∵
S
△
ABC
=3×4
﹣
2
﹣
1.5
﹣
3=5.5
，
∴
S
六边形
=17+13+10+
4×5.5=62
．
②
如图
3
中，平移
△
CHG
到
AMF
，连接
EM
，
IM
，
则
AM=CH=BI
，设
∠
ABC=x
，
∵
AM
∥
CH
，
CH
⊥
BC
，
∴
AM
⊥
BC
，
∴
∠
EAM=90°
+9
0°
﹣
x=180°
﹣
x
，
∵
∠
DBI=360°
﹣
90°
﹣
90°
﹣
x=1
80°
﹣
x
，
∴
∠
EAM=
∠
DBI
，
∵
AE=BD
，
∴
△
AEM
≌
△
DBI
，
∵
在
△
DBI
和
△
ABC
中，
DB=AB
，
BI=BC
，
∠
DBI+
∠
ABC=180°
，
∴
△
< br>DBI
和
△
ABC
是互补三角形，
∴
S
△
AEM
=S
△<
/p>
AEF
=S
△
A
FM
=2
，
∴
S
△
EFM
=3S
△
ABC
=6
< br>．
考点：
1
< br>、作图﹣应用与设计，
2
、三角形面积
< br>
2
．
已知：如图，在平行四边形
ABCD
中，
O
为对角线
BD
的中点，过点
O
的直线
EF
分别
交
AD
，
BC
于
E
，
F
两点
，连结
BE
，
DF
．
（
1
）求证：
△
DOE
≌
< br>△
BOF
．
< br>（
2
）当
∠
DOE
等于多少度时，四边形
BFDE
为菱形？请说明理由．
【答案
】（
1
）证明见解析；（
2
）当
∠
DOE
=90°<
/p>
时，四边形
BFED
为菱形，理由见解析
.
【解析】
试题分析：（
1
）利用平行四边形的性
质以及全等三角形的判定方法得出
△
DOE
≌
△
BOF
（
ASA
）；
（
< br>2
）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形
EBFD
是平行四边
形，进而利用垂直平分线的性质
得出
BE=ED
，即可得出答案．
<
/p>
试题解析：（
1
）
∵
在
▱
ABCD
中，
O
为对角线
BD
的中点，
∴
BO=DO<
/p>
，
∠
EDB=
∠
FBO
，
在
△
EOD
和
△
FOB
中
，
∴
△
DOE
≌
△
BOF
（
ASA
）；
（
2
）当
∠<
/p>
DOE=90°
时，四边形
BFDE
为菱形，
理由：
∵
△
DOE
≌
△
BOF
，
∴
OE=OF
，又
∵
OB=OD
，
∴
四边形
EBFD<
/p>
是平行四边形，
∵
∠
EOD=90°
，
∴
EF
⊥
BD
，
∴
四边形
BFDE
为菱形
．
考点：平行四边形的性质；全等
三角形的判定与性质；菱形的判定．
3
．
如图<
/p>
①
，四边形
ABCD
是知形，
AB
1,
BC
2
，点
E
是线段
BC
上一动点
(
不与
B
,
C
重合
)
，点
F
是线段
BA
延长线
上一动点，连接
DE
,
EF
,
DF
,
EF
交
AD
于点
G
.
设
BE
x
,
AF
y
，已知
y
与
x
之间的函数关系如图
②
所示
.
（
1
）求图
②
中
y
与
x
的函数表达
式
;
（
2<
/p>
）求证
:
DE
DF
;
（<
/p>
3
）是否存在
x
的值，使得
△
DEG
是等腰三角形
?
如果存在，求出
x
的值
;
如果不存在，
说明理由
【答案】（
1
）<
/p>
y
＝﹣
2
x
+4
（
0
＜
x
＜
2
）；（
2
）见解析；（
3
）
存在，
x
＝
【解析】
< br>
【分析】
（
1
）利用待定系数法可得
y
与
x
的函数表达式；
< br>（
2
）证明
△
< br>CDE
∽
△
ADF
，得
∠
ADF
＝
∠
CDE
，可得结论；
（
3
）分三种情况：
< br>
①
若
DE
＝
DG
，则
∠
DGE
＝
∠
DEG
，
②
若
DE
＝
EG
，如图
①
，作
EH
∥
CD
，交
AD
于
H
，
③
< br>若
DG
＝
EG
< br>，则
∠
GDE
＝
∠
GED
，
分别列方程计算可得结论．
【详解】
（
1
）设
y
＝
k
x
+
b
，
<
/p>
由图象得：当
x
＝
1
时，
y
＝
2
，当
x
＝
0
时，
y
＝
4<
/p>
，
代入得：
5
5
5
3
或
或
．
4
2
2
k
b
< br>
2
k
2
，得
，
b<
/p>
4
b
4
∴
y
＝﹣
2
x
+4
（
0
＜
x
＜
2
）；
< br>（
2
）
∵
BE
＝
x
，
BC
＝
2
∴
CE
＝
2
﹣<
/p>
x
，
∴
∴
CE
2
x
1
CD
1
,
，
AF
4
< br>
2
x
2
AD
2
CE
CD
，
AF
AD
∵
四边形
ABCD
是矩形，
∴
∠
C
＝
∠
DAF
＝
90°
，
∴
△
CDE
∽
△
ADF
，
∴
∠
ADF
＝
∠
CDE
，
∴
∠
ADF
+
∠
EDG
＝
∠
CDE
+
∠
EDG
＝
90°
，
∴
DE
⊥
DF
；
（
3
）假设存在
x
的值，使得
△
DEG
是等腰三角形，
①
若
DE
＝
DG
，则
∠
DGE
＝
∠
DEG
，
∵
四边形
ABCD<
/p>
是矩形，
∴
A
D
∥
BC
，
∠
B
＝
90°
，
∴
∠
DGE
＝
∠
GEB
，
∴
∠
DEG
＝
∠
BEG
，
在
△
DEF
和
△
BEF
中
，
FD
E
B
<
/p>
DEF
<
/p>
BEF
，
<
/p>
EF
EF<
/p>
∴
△
DEF<
/p>
≌
△
BEF
（<
/p>
AAS
），
∴
DE
＝
BE
＝
x
，
CE
＝<
/p>
2
﹣
x
，
∴
在
Rt
△
CDE
中，由勾股定理得：
< br>1+
（
2
﹣
x
）
2
＝
x
2
，
x<
/p>
＝
5
；
4
②
若
DE
＝
EG
，如图
①
，作
EH
∥
CD
，交
AD
于
H
，
∵
AD
∥
BC
，
EH
∥
CD
，
∴
四边形
CDHE<
/p>
是平行四边形，
∴
∠
C
＝
90°
，
∴
四边形
CDHE
是矩形，
∴
EH
＝
CD
＝
1
，
DH
＝
CE
＝
2
﹣
x
，
EH
⊥
< br>DG
，
∴
HG
＝
DH
＝
2
﹣
x
，
∴
AG
＝
2<
/p>
x
﹣
2
，
∵
EH
∥
CD
，
DC
∥
AB
，
∴
EH
∥
AF
，
∴
△
EHG
∽
△
FAG
，
∴
∴
EH
HG
，
AF
AG
1
2
x
，
4
2
x
2
x
2<
/p>
∴
x
1
5
5
5
5
（舍），
,
x
2
2
2
③
若
< br>DG
＝
EG
，则
∠
GDE
＝
∠
GED
，
∵
AD
∥
BC
，
∴
∠
GDE
＝
∠
DEC
，
∴
∠
GED
＝
∠
DEC
，
∵
∠
C
＝
∠
EDF
＝
90°
，
∴
△
CDE
∽
△
DFE
，
∴
CE
DE
，
CD
DF
∵
△
CDE
∽
△
ADF
，
∴
∴
DE
CD
1
，
DF
AD
2
CE
1
，
C
D
2
1
3
，<
/p>
x
＝
，
2
2
5
5-
5
3
或
或
．
4
2
< br>2
∴
2
﹣
x
＝
综上，
x
＝
【点睛】
本题是四边形的综合题
，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等
的性质和判定，矩形和
平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三
角形的性质是解决本题
的关键．
4
．
如图，在平面直角坐标系中，直线
DE
交
x
轴于点
E
（
30
，
0
），交
y
轴于点
D
< br>（
0
，
1
x
+5
交
x
轴于点
A
，交
y
轴于点
B
，交直线
DE
于点
P
，过点
E
作
3
EF
⊥
x
轴交直线
AB
于点
F
，以
EF
为一边向
右作正方形
EFGH
．
（
1
）求边
EF
的长；
40
），直线<
/p>
AB
：
y
＝
（
2
）将正方形
E
FGH
沿射线
FB
的方向以每秒
10
个单位的速度匀速平移，得到正方形
E<
/p>
1
F
1
G
1
H
1
，在平移过程
中边
F
1
G
1
始终与
y
轴垂直，设平移的时间为
t
秒（
t
＞
0
）．
①
当点
F
1
移动到点
B
时，求
t
的值；
②
当
G
1
，
H
1
两点中有一点移动到直线
DE
上时，请直接写出
此时正方形
E
1
F
1
G
1
H
1
与
△
APE
重叠部分的面积．
【答案】（
1
）
EF
＝
15
；（
2
）
①10
；
②120
；
【解析】
【分析】
（
1
）根据已知点
E
（
< br>30
，
0
），点
D
（
0
，
40
），求出直线
DE
的直线解析
式
y=-
求出
P
点坐标，进而求出
F
点坐标即可；
（
2
）
①
易求
B
（
0
，
5
），当点
F
1
移动到点
B
时，
t=10
10
÷
10
=10
；
②F
点移动到
F'
的距离是
10
t
，
F
垂直
x
轴方向移动的距离是
t
，当点
H
运动到直线
DE
上时，在
Rt
△
F'NF
中，
t=4
，
S=
4
x+40
< br>，可
3
NF
1
< br>MH
4
，
=
，
EM=NG'=15-F'
N=15-3t
，在
Rt
△
DMH'
中，
NF
3
EM
3
1
45
1023
PK
1
×(12+
)×11=
=
，
；当点
G
运动到直线
DE
上时，在
Rt
△
F'PK
中，
2
4
8
F
K
3
PK
t
3
4
＝
＝
，
t=7
，
S=1
5×
（
15-7
）
=120.
KG
15
3
t
9
3
PK=t-3
，
F'K=3t-9
，在
Rt
△
PKG'
中，
【详解】
（
1
）设直线
DE
的直线解析式
y
＝
kx+b
，
将点
E
（
30
，
0
），点
D
（
0
，
4
0
），
∴
30
k
<
/p>
b
0
，
b
40
4
k
∴
< br>
3
，
b
4
0
∴
y
＝﹣
4
x+40
，
3
直线
AB
与直线
DE
的交点
P
（
< br>21
，
12
），
由题意知
F
（
30
，
15
），
∴
EF
＝
15
；
（
2
）
①
易求
< br>B
（
0
，
5
），
∴
BF
＝
10
10
，
∴
当点
F
1
移动到点
B
时，
t
＝
10
10
10
＝
10
；
②
当点
H
运动到直线
DE
上时，
F
点移动到
F'
的距离是
10<
/p>
t
，
在
Rt
△
F'NF
中，
NF
1
=
，<
/p>
NF
3
∴
FN
＝
t
，
F'N
＝
3t
，
∵
MH'
＝
FN
＝
t
，
EM
＝
NG'
＝
15
﹣
F'N
＝
15
﹣
3t
，
在
Rt
△
DMH'
中，
MH
4<
/p>
，
EM
3
t
4
，
15
3
t
3
∴
t
＝
4
，
∴
∴
EM
＝
3
，
MH'
＝
4
，
1
45
1023
(12
)
11
；
2
4
8
当点
G
运动到直线
DE
上时，
∴
S
＝
F
点移动到
F'
的
距离是
10
t
，
∵
PF
＝
3
10
，
∴
PF'
＝
10
t
﹣
3
10
，
在
Rt
△<
/p>
F'PK
中，
PK
1
，
F
K
3
∴
PK
＝
t
﹣
3
，
F'K
＝
3t
﹣
9
，
在
Rt
△
PKG'
中，
∴
t
＝
7
，
∴
S
＝
15×
（
15
﹣
7
）＝
120.
【点睛】
本题考查一次函数图象及性
质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角
形的正切值求边的关系，利
用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影
部分的面积是解题的关键．
PK
t
<
/p>
3
4
＝
＝
，
KG
15
3
t
9
3
5
．
在
ABC
中，
AD
BC
于点
D
，点
E
为
AC
边的中点，过点
A<
/p>
作
AF
/
/
BC
，交
DE
的延
长线于点
F
，连接
CF
．
1
如图
1
，求证：四边形
ADCF
是矩形；
2
如图
2<
/p>
，当
AB
AC
时，取
AB
的中点
G
，连接
DG
、
< br>EG
，在不添加任何辅助线
和字母的条件下，请直接写出
图中所有的平行四边形（不包括矩形
ADCF
）．
【答案】
(1)
证明见解析；（
2
）四边形
ABDF
、四边形
AGEF
、
四边形
GBDE
、四边形
AGDE
、四边形
GDCE
都是平行四边形．
【解析】
【分析】
（
1
）由
△
AEF
≌
△
CED
，推出
< br>EF=DE
，又
AE=EC
，推
出四边形
ADCF
是平行四边形，只要证
明
∠
ADC=90°
，即可推出四边
形
ADCF
是矩形．
（
2
）四边形
ABDF
、四边形
AGEF
、四边形
< br>GBDE
、四边形
AGDE
、四
边形
GDCE
都是平行四
边形．
【详解】
1
证明：
∵
AF
/
/
BC
，
∴
AFE
EDC
，
∵
E
是
AC
中点，
∴
AE
EC
，
在
AEF
和
CED
中，
AFE
CDE
AEF
CED
，
AE
EC
AEF
CED
，
∴
EF
<
/p>
DE
，
∵
AE<
/p>
EC
，
∴
四边形
ADCF
是平行四边形，
∵
AD
BC
，
∴
∴
ADC
90
，
< br>∴
四边形
ADCF
是矩形．
2
∵
线段
DG
、线段
GE
、线段
DE
都
是
∴
AB
/
/
DE
，
DG
/
/
AC
，
EG
/
/
BC
，<
/p>
ABC
的中位线，又
< br>AF
/
/
BC
< br>，
∴
四边形
< br>ABDF
、四边形
AGEF
、四
边形
GBDE
、四边形
AGDE
、四边形
GDCE
都是
平行四边形．
【点睛】
考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等
知识，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键
.
6
．
如图
1
，在长方形纸片
ABCD
中，
AB=mAD
，其中
m
⩾
1
，将它沿
< br>EF
折叠
(
点
< br>E. F
分别在边
AB
、
CD
上
)
，使点
B
落在
AD
边上的
点
M
处，点
C
落在点
N
处，
MN
与
CD
相交于点
P
，连
接
EP
.
设
AM
n
< br>，其中
0
⩽
1.
AD
(1)
如图
2
，当
n=1(<
/p>
即
M
点与
D
点重合
)
，求证：四边形
< br>BEDF
为菱形；
(2)
如图
3
，当
n
1
(M
为
AD
的中点
)
，
m
的值发生变化时，求证：
EP=AE+D
P
；
2
BE
CF
的值是否发生变化
?
说明理
AM
(3)
如图
1
，当
m=2(
即
AB=2AD)
，
< br>n
的值发生变化时，
由
.
【答案】
(1)
证
明见解析；（
2
）证明见解析；
(3)
值不变，理由见解析
.
【解析】
试题分析：（
1
）由条件可知，当
n=1
（即
M
点与
D
点重合），
m=2
时，
AB=2AD<
/p>
，设
AD=a
，则
AB=2a
，由矩形的性质可以得出
△
ADE
≌
△
NDF
< br>，就可以得出
AE=NF
，
DE
=DF
，在
Rt
△
AED
中，由勾股定理就可以表示出
AE
< br>的值，再求出
BE
的值就可以得出结论
< br>.
（
2
）延长
PM
交
EA
< br>延长线于
G
，由条件可以得出
△
PDM
≌
△
G
AM
，
△
EMP
≌
△
EMG
由全
等三角形的性质就可以得出结论
.