数学平行四边形的专项培优练习题(含答案)及详细答案
-
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1
．
如果两个三角形的两条边对应相等，夹角
互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如
图
2
，分别以
△
ABC
的边
AB
、
AC
为边向
外作正方形
ABDE
和
ACGF
，则图中的两个三角形
就是互补三角形．
<
/p>
（
1
）用尺规将图
1
中的
△
ABC
分割成两个互补三角形；
（
2<
/p>
）证明图
2
中的
△
ABC
分割成两个互补三角形；
<
/p>
（
3
）如图
3<
/p>
，在图
2
的基础上再以
< br>BC
为边向外作正方形
BCHI
．
①
已知三个正方形面积分别是
17
、
13
、
10
，在如图
4
的
网格中（网格中每个小正方形的
边长为
1
）画出边长为
、
、
的三角形，并计算
图
3
中六边形
DEFGHI
的面积．
②
若
△
ABC
的面积为
2<
/p>
，求以
EF
、
D
I
、
HG
的长为边的三角形面积．
【答案】（
1
）作图见解析（
2
）证明见解析（
3
）
①62
；
②6
【解析】
试题分析：（
1
）作
< br>BC
边上的中线
AD
即可．
（
2
）根据互补
三角形的定义证明即可．
（
3
）
①
画出图形后，利用割补法求面积即可．<
/p>
②
平移
△
CHG
到
AMF
，
连接
EM
，
IM
，则
AM=CH=BI
，只要证明
S
△
EFM
=3S
△
ABC
即可．
< br>试题解析：（
1
）如图
1
中，作
BC
边上的中线
AD
，
△
ABD
和
△
ADC
是互补三角形．
（
2
）如图
2
中，延长
FA<
/p>
到点
H
，使得
A
H=AF
，连接
EH
．
∵
四边形
ABDE
，四边形
ACGF
是
正方形，
∴
AB=AE
，
AF=AC
，
∠
BAE=
∠
CAF=90°
，
∴
∠
EAF+
∠
BAC=180°
，
∴
△
AEF
和
△
ABC
是两个互
补三角形．
∵
∠
EAH+
∠
HAB=
∠
BAC+
∠
HAB=90°
，
∴
∠
E
AH=
∠
BAC
，
∵
AF=AC
，
∴
AH=AB
，
在
△
AEH
和
△
ABC
中，
∴
△
AEH
≌
△
ABC
，
∴
S
△
AEF
=S
△
AEH
=S
△
ABC
．
（
3
）
①
边长为
、
、
的三角形如图
4
所示．
∵
S
△
ABC
=3×4
﹣
2
﹣
1.5
﹣
3=5.5
，
∴
S
六边形
=17+13+10+
4×5.5=62
．
②
如图
3
中，平移
△
CHG
到
AMF
，连接
EM
，
IM
，
则
AM=CH=BI
，设
∠
ABC=x
，
∵
AM
∥
CH
，
CH
⊥
BC
，
∴
AM
⊥
BC
，
∴
∠
EAM=90°
+9
0°
﹣
x=180°
﹣
x
，
∵
∠
DBI=360°
﹣
90°
﹣
90°
﹣
x=1
80°
﹣
x
，
∴
∠
EAM=
∠
DBI
，
∵
AE=BD
，
∴
△
AEM
≌
△
DBI
，
∵
在
△
DBI
和
△
ABC
中，
DB=AB
，
BI=BC
，
∠
DBI+
∠
ABC=180°
，
∴
△
< br>DBI
和
△
ABC
是互补三角形，
∴
S
△
AEM
=S
△<
/p>
AEF
=S
△
A
FM
=2
，
∴
S
△
EFM
=3S
△
ABC
=6
< br>．
考点：
1
< br>、作图﹣应用与设计，
2
、三角形面积
< br>
2
．
已知正方形
ABCD
中，
E
为对角线
BD
上一点，过
E
点作
EF
⊥
BD
交
BC
于
F
，连接
DF
，
G
为
DF
中点，连接
EG
，
CG
．
（
1
）请问
EG
与
CG
存在怎样的数量
关系，并证明你的结论；
（
2
）将图
①
中
△
BEF
绕
B
点逆时针
旋转
45°
，如图
②
< br>所示，取
DF
中点
G
，连接
EG
，
CG
．问（
1
）中的结论是否仍然成立？若成立，
请给出证明；若不成立，请说明理由．
（
3
）将图
①
中
△
BEF
绕
B
点旋转任意角度，如图
③
所示，再连接相应的线段，问（<
/p>
1
）中
的结论是否仍然成立？（请直接写
出结果，不必写出理由）
【答案】
（
1
）证明见解析（
2
）证明见解析（
3
）结论仍然成立
【解析】
【分析】
（
1
）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出
CG
=
EG
．
<
/p>
（
2
）结论仍然成立，连接
AG
，过
G
点作
MN
⊥
AD
于
M
，与
EF
的延长线交于
N
点；再证
明
△
DAG
≌
△
DCG
，得出
AG
=
< br>CG
；再证出
△
DMG
≌
△
FNG
，得到
MG
=
NG
；再证
明
△
AMG
≌
△
ENG
，得出
AG
< br>=
EG
；最后证出
CG
=
EG
．
（
3
）结论依然成立．
【详解】
（
1
）
CG
=
E
G
．理由如下：
∵
< br>四边形
ABCD
是正方形，
∴<
/p>
∠
DCF
=90°
．在
Rt
△
FCD
< br>中，
∵
G
为
DF
的中点，
∴
CG
=
1
FD
，
2
1
FD
，
< br>∴
CG
=
EG
< br>．
2
（
2
）（
1
）中结论仍然成立，即
EG
=
CG
．
同理．在
Rt
△
DEF
中，
EG
=
证法一：连接
AG
，过
G
点作
MN
⊥
AD
于
M
，与
EF
的延长线交于
N
点．
在
△
DAG
与
△
DCG
中
，
∵
AD
=
C
D
，
∠
ADG
=
∠
CDG
，
DG
=
DG
，
∴
△
DAG
≌
△
DCG
（
SAS
），
∴
AG
=
CG
；
在
△
DMG
与
△
FNG
中，
∵
∠
DGM
=
∠
FGN
，
FG
=
DG
，
∠
MDG
=
∠
NFG
，
∴
△
DMG
≌
△
FNG
（
ASA
），
∴
MG
=
NG
．
∵
∠
EAM
=
∠
AEN
=
∠
AMN
=90°<
/p>
，
∴
四边形
AE
NM
是矩形，在矩形
AENM
中，
AM
=
EN
．在<
/p>
△
AMG
与
△<
/p>
ENG
中，
∵
A
M
=
EN
，
∠
AMG
=
∠
E
NG
，
MG
=
NG
，
∴
△
A
MG
≌
△
ENG
（
SAS
），
∴
AG
=
EG
，
∴
EG
=
CG
．
证法二：延长
CG
至
M
，使
MG
=
CG
，连接
MF
，
ME
，
EC
．在
△
DCG
与
△
FMG
中，
∵<
/p>
FG
=
DG
，<
/p>
∠
MGF
=
∠<
/p>
CGD
，
MG
=
CG
，
∴
△<
/p>
DCG
≌
△
FM
G
，
∴
MF
=
CD
，
∠
FM
G
=
∠
DCG
，
∴
MF
∥
C
D
∥
AB
，
∴
EF
⊥
MF
．
在
Rt
△<
/p>
MFE
与
Rt
△
CBE
中，
∵
MF
=
CB
，
∠
MFE
=
∠
EBC=
90°
，
EF
=
BE
，
∴
< br>△
MFE
≌
△
< br>CBE
∴
∠
< br>MEF
=
∠
CEB
，
∴
∠
MEC
=
∠
MEF
+
∠
FEC
=
∠
CEB
+
∠
CEF
=90°
，
∴
△
MEC
为直角三角形．
∵
MG
=
CG
，
∴
EG
=
1
MC
，
∴
EG
=
CG
．
2
（
3
）（<
/p>
1
）中的结论仍然成立．理由如下：
<
/p>
过
F
作
CD
的平行线并延长
CG
交于
< br>M
点，连接
EM
、
EC
，过
F
作
FN
垂直于
AB
于
N
．
由于
G
为
FD
中点，易证
△
CDG
≌
△
MFG
，得到
CD
=
FM
，又因为
BE
< br>=
EF
，易证
∠
EFM
=
∠
EBC
，则
△
EFM
≌
△
EBC
，
∠
FEM
=
∠
BEC
，
EM
=
EC
∵
∠
FEC
+
∠
BEC
=90
°
，
∴
∠
FE
C
+
∠
FEM
=90°
，即
∠
MEC
=90°
，
∴
△
MEC
是等腰直角三角形．
∵
G
为
CM
中点，
∴
EG
=
CG
，
EG
⊥
CG
【点睛】
本题是四边形的综合题．（
1
）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；
（
2
）关键是利用了直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和
性质解答．
3
．
(1)
如图
①
，在矩形
ABCD
中，对角线
AC
与
BD
相交于点
O
，过点
O
作直线
EF
⊥
BD
，交
AD
于点
E
，交
BC
于点
F
，连接
BE
、
DF
，且
BE
平分
∠
ABD
．
①
求证：四边形
BFDE
是菱形；
②
直接写出
∠
EBF
的度数；
(2)
把
(1)
中菱形
BFDE
进行分离研究，如图
②
，点
G
、
I
分别在
BF
、
BE
边上，且
BG
=BI
，连
接
GD
，
H
为
GD
的中点，连接
FH
并延长，交
ED<
/p>
于点
J
，连接
I
J
、
IH
、
I
F
、
IG.
试探究线段
IH
与
FH
之间满足的关系，
并说明理由；
(3)
把
(1)
中矩形
ABCD
进行
特殊化探究，如图
③
，当矩形
ABCD
满足
AB=AD
时，点
E
是对角
线
AC
上一点，连接
DE
、
EF<
/p>
、
DF
，使
△<
/p>
DEF
是等腰直角三角形，
DF
交
AC
于点
G.
请直接写
出线段
AG
、
GE
、
EC
三者之间满足的数量关系
.
【答案】（
1
）
①<
/p>
详见解析；
②60°
．（
2
）
IH
＝
< br>3
FH
；
（
3
）
EG
2
＝
AG
2
+
CE
2
．
【解析】
【分析】
（
1
）
①
由
△<
/p>
DOE
≌
△
BO
F
，推出
EO
＝
OF
，
∵
OB
＝
OD
，推出四边形
EBFD
是平行四边形，
再证明
EB
< br>＝
ED
即可．
②
先证明
∠
ABD
＝
2
∠
ADB
，推出
∠
ADB
＝
30°
，延长即可解决问题．
（
2
）
IH
＝
3
FH
．只要证明
△
IJF
是等边三角形即可．
< br>
（
3
）结论：
EG
2
＝
AG
2
+
CE
2
< br>．如图
3
中，将
△
ADG
绕点
D
逆时针旋转<
/p>
90°
得到
△
D
CM
，先证
明
△
DEG
≌
△
DEM
< br>，再证明
△
ECM
是直角三角形
即可解决问题．
【详解】
（
1
）
①
证明：如图
1
中，
∵
四边形
A
BCD
是矩形，
∴
< br>AD
∥
BC
，
< br>OB
＝
OD
，
< br>
∴
∠
EDO
< br>＝
∠
FBO
，
< br>
在
△
DOE
< br>和
△
BOF
中，
EDO
＝
FBO
，
OD
＝
OB
EOD
＝
BOF
∴
△
DOE
≌
△
BOF
，
∴
EO
< br>＝
OF
，
∵
OB
＝
OD
，
∴
四边形
EBFD
是平行四边形，
∵
EF<
/p>
⊥
BD
，
OB<
/p>
＝
OD
，
∴
EB
＝
ED
，
∴
四边形
EBFD
是菱形．
②
∵
BE
平分
∠
ABD
，
∴
∠
ABE
＝
∠
EBD
，
∵
EB
＝
ED
，
∴
∠
E
BD
＝
∠
EDB
，
∴
∠
A
BD
＝
2
∠
A
DB
，
∵
∠
ABD
+
∠
A
DB
＝
90°
，
∴
∠
ADB
＝
30°
，
∠
ABD
＝
60°
，
< br>
∴
∠
ABE
< br>＝
∠
EBO
＝
< br>∠
OBF
＝
30°
，
∴
∠
< br>EBF
＝
60°
．
（
2
）结论：
IH
＝
3
FH
．
理由：如图
2
中，延长
BE
到
M<
/p>
，使得
EM
＝
E
J
，连接
MJ
．
∵
四边形
EBFD
是菱形，
∠
B
＝
60°
，
∴
EB
＝
BF
＝
ED
，
DE
∥
BF
，
∴
∠
JDH
＝
∠
FGH
，
在
△
DHJ
和
△
GHF
中，
DHG
＝
GHF
，
DH<
/p>
＝
GH
JDH
＝
FGH
∴
△
DHJ
≌
△
GHF
，
∴
DJ
＝<
/p>
FG
，
JH
＝<
/p>
HF
，
∴
EJ
＝
BG
＝
EM
＝
BI
，
∴
BE
＝
IM
＝
BF
，
∵
∠
MEJ
＝
∠
B
＝
60°
，
∴
△
MEJ
是等边三角形，
∴
MJ
＝
EM
＝
NI
，
∠<
/p>
M
＝
∠
B
＝
60°
在
△
BIF
和
△
MJI
中，
BI
＝
MJ
B
＝
M
，
BF
＝
IM
∴
△
BIF
≌
△
MJI
，
∴
IJ
＝
IF
，
∠
BFI
＝
∠
MIJ
，
∵
HJ
＝
HF
，
∴
IH
⊥
JF
，
< br>∵
∠
BFI
+
< br>∠
BIF
＝
120°
，
∴
∠
MIJ
+
∠
BIF
＝
120°
，
∴
∠
JIF
＝
60°
，
∴
△
JIF
是等边三角形，
在
Rt
△
IHF
中，
∵
∠
IHF
＝
90°
，
< br>∠
IFH
＝
60°
，
∴
∠
< br>FIH
＝
30°
，
∴
IH
＝
3
FH
．
< br>（
3
）结论：
EG
2
＝
AG
2
+
CE
2
．
< br>
理由：如图
3
中，将
△
ADG
绕点
D
逆时针旋转
90°
得到
△
DCM
，
∵
∠
FAD
+
∠
DEF
＝
90°
，
∴
AFED
四点共圆，
∴
∠
EDF
＝
∠
DAE
＝
45°
，
∠
ADC
＝
90°
，
∴
∠
ADF
+
∠
EDC
＝
45°
，
∵
∠
ADF
＝
∠
CDM
，
∴
∠
CDM
+
∠
CDE
＝
45°
＝
∠
EDG<
/p>
，
在
△
DEM
和
△
DEG<
/p>
中，
DE<
/p>
＝
DE
EDG
＝
EDM
，
DG
＝
DM
∴
△
DEG
≌
△
DEM
，
∴
GE
＝
EM
，
∵
∠
DCM
＝
∠
DAG
＝
∠
ACD
＝
45°
，
AG<
/p>
＝
CM
，
∴
∠
ECM
＝
90°
∴
EC<
/p>
2
+
CM
2
＝
EM
2
，
∵
EG
＝
EM
，
AG
＝
CM
，
∴
GE
2
＝
AG
2
+
CE
2
．
【点睛】
考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定< p>
和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转< p>
化的思想思考问题
.
4
．
如图，在平面直角坐标系中，直线
DE
交
x
轴于
点
E
（
30
，
0
），交
y
轴
于点
D
（
0
，
1
x
+5
交<
/p>
x
轴于点
A
，交
y
轴于点
B
，
交直线
DE
于点
P
，过点
E
作
3
EF
⊥
x
轴交直线
AB
于点
F
，以
EF
为一边向右作正方形
EFGH
< br>．
（
1
）求边
EF
的长；
40
），直线
AB
：
y
＝
（
2
）将正方形
EFGH
沿射线
FB
的方向以每秒
10
个单位的速度匀
速平移，得到正方形
E
1
F
1
G
1
H
1
，在平移过程中边
F
1
G
1
始终与
y
轴垂直，设平移的时间为
t
秒（
t
＞
0
）．
①
当点
F
1
移动到点
B
时，求
t
的值；
②
当
G
1
，
H
1
两点中有一点移动到直线
DE
上时，请直接写出此时正方形
E
1
F
1
G
1<
/p>
H
1
与
△
APE
重叠部分的面积．
【答案】（
1
）
EF
＝
15
；（
2
）
①10
；
②120
；
【解析】
【分析】
（
1
）根据已知点
E
（
< br>30
，
0
），点
D
（
0
，
40
），求出直线
DE
的直线解析
式
y=-
求出
P
点坐标，进而求出
F
点坐标即可；
（
2
）
①
易求
B
（
0
，
5
），当点
F
1
移动到点
B
时，
t=10
10
÷
10
=10
；
②F
点移动到
F'
的距离是
10
t
，
F
垂直
x
轴方向移动的距离是
t
，当点
H
运动到直线
DE
4
x+40
，可
3
NF
1
MH
4
，
=
，
EM=NG'=15-F'N=15-3t
，在
Rt
△
D
MH'
中，
上时，在
Rt
△
F'NF
中，
NF
3
EM
3
t=4
，
S=
1
45
1023
PK
1
×(12+
)×11=
=
，
；当点
G
运动到直线
DE
上时，在
Rt
△
F'PK
中，
2
4
8
F
K
3
PK=t-3
，
< br>F'K=3t-9
，在
Rt
△<
/p>
PKG'
中，
【详解】
< br>
PK
t
3
4
＝
＝
，
t=7
，
S=15×
（
15-7
）
=120.
KG
15
3
t
9
3
（
1
）设直线
DE
的直线解析式
y
＝
kx+b
，
将点
E
（
30
，
0
），点
D
（
0
，
4
0
），
3
0
k
b
<
/p>
0
∴
，
b
40
4
k
∴
< br>
3
，
b
4
0
∴
y
＝﹣
4
x+40
，
3
直线
AB
与直线
DE
的交点
P
（
< br>21
，
12
），
由题意知
F
（
30
，
15
），
∴
EF
＝
15
；
（
2
）
①
易求
< br>B
（
0
，
5
），
∴
BF
＝
10
10
，
∴
当点
F
1
移动到点
B
时，
t
＝
10
10
10
＝
10
；
②
当点
H
运动到直线
DE
上时，
F
点移动到
F'
的距离是
10<
/p>
t
，
在
Rt
△
F'NF
中，
NF
1
=
，<
/p>
NF
3
∴
FN
＝
t
，
F'N
＝
3t
，
∵
MH'
＝
FN
＝
t
，
EM
＝
NG'
＝
15
﹣
F'N
＝
15
﹣
3t
，
在
Rt
△
DMH'
中，
MH
4<
/p>
，
EM
3
t
4
，
15
3
t
3
∴
t
＝
4
，
∴
∴
EM
＝
3
，
MH'
＝
4
，
1
45
1023
(12
)
11
；
2
4
8
当点
G
运动到直线
DE
上时，
∴
S
＝
F
点移动到
F'
的
距离是
10
t
，
∵
PF
＝
3
10
，
∴
PF'
＝
10
t
﹣
3
10
，
在
Rt
△<
/p>
F'PK
中，
PK
1
，
F
K
3
∴
PK
＝
t
﹣
3
，
F'K
＝
3t
﹣
9
，
在
Rt
△
PKG'
中，
∴
t
＝
7
，
∴
S
＝
15×
（
15
﹣
7
）＝
120.
【点睛】
本题考查一次函数图象及性
质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角
形的正切值求边的关系，利
用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影
部分的面积是解题的关键．
PK
t
<
/p>
3
4
＝
＝
，
KG
15
3
t
9
3
5
．
如图，点
O
是正方形
ABCD
两条对角线的交点，分别延长
CO
到点
G
，
OC
到点
E
，使<
/p>
OG=2OD
、
OE=2OC
，然后以
OG
、
OE
为邻边作正方形
OEFG
．
（
1
）如图
1
，若正方形
OEFG
的对角
线交点为
M
，求证：四边形
CDME<
/p>
是平行四边形．
（
2
）正方形
ABCD
固定，将正方
形
OEFG
绕点
O
逆时针旋转，得到正方形
OE′F′G′
，如图
2
，连接
AG′
，
DE′
，求证：
AG′=DE′
，
AG′
⊥
DE′
；
（
3
）在（
2
）的条件下，正方形
OE′F′G′
的边
OG′
与正方形
ABCD
的边相交于点
N
，如图
3
，
设旋转角为
α
（
0°
＜
α
＜
180°
），若
△
AON
是等腰三角形，请直接写出<
/p>
α
的值．
<
/p>
【答案】（
1
）证明见解析；（
2
）证明见解析；（
3
）
α
的值是
22.5°
或
45°
或
112.5°
或
135°
或
15
7.5°
．
【解析】
【分析】
（
1
）由四边形
OEFG
是正方形，得到
ME=
CD
∥
GE
，
CD=
1
GE
，根据三角形的中位线的性质得到
2
1
GE
，求得
CD=GE
，即可得到结论；
2
（
2
）如图
2
，延长
E′D
交
AG′
于
H
，由四边形
ABCD
是正方形，得到
AO=OD
，
∠
AOD=
∠
COD=90
°
，由四边形
OEFG
是正方形，得到
OG′=OE′
，
∠
< br>E′OG′=90°
，由旋转的性质
得到
∠
G′OD=
∠
E′OC
，求得
∠
AOG′=
∠
COE′
，根据全等三角形的性质得到
AG′=DE′
，
∠
AG′O=<
/p>
∠
DE′O
，即可得到结论；
（
3
）分类讨论，根据
三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（
1
）证明：
∵
四边形
< br>OEFG
是正方形，
∴
ME=
1
GE
，
2
∵
OG=2O
D
、
OE=2OC
，
< br>
∴
CD
∥
GE
，
CD=
∴
< br>CD=GE
，
∴
四边形
CDME
是平行四边形；
（
2
）证明：如图
2
，延长
E′D
交
AG′
于
H
，
1
GE
，
2
∵
四边形
ABCD
是正方形，
∴
AO=OD
，
∠
AOD=
∠
COD=90°
，
∵
四边形
OEFG
是正方形，
∴
OG′=OE′
，
∠
E′
OG′=90°
，
∵
将正方形
OEFG
绕点
O
逆时针旋转，得到正方形
OE′F′G′
，
∴
∠
G′O
D=
∠
E′OC
，
∴
∠
AOG′=
∠
COE′
，
在
△
AG′O
与
△
ODE′
中，
OA
＝
OD
AOG
＝
DOE
，
OG
＝
OE
∴
△
AG′O
≌
△
ODE′
∴
AG′=DE′
，
∠
AG′O=
∠
DE′O
，
∵
< br>∠
1=
∠
2
，
∴
∠
G′HD
=
∠
G′OE′=90°
，
∴
AG′
⊥
DE′
；
（
3
）
①
正方形
OE′F′G′
的边
OG′
与正方形
ABCD
的边
AD
相交于点
N
，
如图
3
，
Ⅰ
、当
AN=AO
时，
∵
∠
OAN=45°
，
∴
∠
ANO=
∠
AON=67
.5°
，
∵
∠
ADO=45°
，
∴
α=
∠
ANO-
∠
ADO=22.5°
；
Ⅱ
、当
AN=ON
时，
∴
∠
NAO=
∠
AON=45°
，
∴
∠
ANO=90
°
，
∴
α=
90°
-45°
=45°
；
②
正方形
OE′F′G
′
的边
OG′
与正方形
ABCD
的边
AB
相交于点<
/p>
N
，如图
4
，<
/p>
Ⅰ
、当
AN=AO
时，
∵
∠
OAN=45°
，
∴
∠
ANO=
∠
AON=67.5°
，
∵
∠
ADO=45°
< br>，
∴
α=
∠
ANO+90°
=112.5°
；
Ⅱ
、当
A
N=ON
时，
∴
∠
NAO=
∠
AON=45°
，
∴
∠
ANO=90°
，
∴
α=90°+45°=135°
，
<
/p>
Ⅲ
、当
AN=AO
时，旋转角
a=
∠
ANO+90°<
/p>
=67.5+90=157.5°
，
<
/p>
综上所述：若
△
AON
< br>是等腰三角形时，
α
的值是
22
.5°
或
45°
或
112.5°
或
135°
或
157.5°
．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性
质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性
质的综合运用，有一定的综
合性，分类讨论当
△
AON
是等腰三角
形时，求
α
的度数是本题
的难点．
6
．
问题探究
（
1
）如图
①
，已知正方形
ABCD
的边长为
4
．点
M
和
N
分别是边
BC
、
CD
上两点，且
BM
＝
CN
，连接
AM
< br>和
BN
，交于点
P
．猜想
AM
与
BN
的位置关系，并证明你的结论．
（
2
）如图
②
，已知正方形
ABCD
的边长为
4
< br>．点
M
和
N
分别从点
B
、
C
< br>同时出发，以相同
的速度沿
BC
、
CD
方向向终点
C
< br>和
D
运动．连接
AM
和
BN
，交于点
P
，求
△
APB
周长的
最
大值；
问题解决
（
3
）如图
③
，
AC
为边长为
2
3
的菱形
ABCD
的对角线，
∠
ABC
＝
60°
．
点
M
和
N
分别
从
点
B
、
C<
/p>
同时出发，以相同的速度沿
BC
、
CA
向终点
C
和
A
运动．连接
AM
和
BN
，交于点
P
．求
△
APB
周长的最大值．