谈数学概念的特点
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谈数学概念的特点、教学原则与方法
郑步春
一
数学概念的特点
.1
。数学概念的意义
我们知道，概念是思维的基本形式之一，反映客观事物的一般的、本质的特征。人们对客观事物
的认识一般是通过感觉、知觉形成观念（表象）
，这是感性认识阶段。
再经过分析、比较、抽象、概
括等一系列思维活动，
把所感觉到
的事物的共同特点抽象出来，
从而认识事物的本质属性，
形成概
念，
这是理性认识阶段。理性认识在实践的基础上不断深化，概念相应地也就进一步获得
发展。
数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属
性在思维中的反映。有些数学概念是直
接反映客观事物的。例如，自然数、点、线、面、
体等。然而，大多数数学概念是在一些数学概念的
基础上，经过多次的抽象概括过程才形
成和发展的。例如，无理数、复数的概念，就是分别是在有理
数系和实数系的基础上产生
的；而关系、映射、群、环、域等概念的产生与发展的过程就更复杂了。
2
．数学概念的特点
其一，数学概念具有抽象性与具体性。这是因为数学概念代表了一类事物的本质属性，决定了
它的抽象性，已远远脱离具体现实，且抽象程度越高距离现实越远。但是不管它如何抽象，高层次的
抽象又总是以低层次的事物为具体内容的。
也就是低抽象度的概
念是高抽象度概念的具体模型。
例如，
数字是抽象字母的具体模
型，而字母又是抽象函数的具体模型。并且数学概念始终是数学命题、数学
推理的基础成
分，它必然落实到具体的数、式、形之中。
其二，数学概念具
有相对性与发展性。在某一科学体系或特定研究领域内，数学概念的意义始
终是一致的。
例如，在小学里的数，始终是指正有理数；在初中里的直线，始终是指平面直线。然而
数
、形等概念本身处于不断发展之中。例如，自然数→有理数→实数→复数；直线上的点→平面上的
点→空间中的点→
n
维空间中的点；锐角→任意角→空
间角等。
其三，
数学概念具有可感性
与约定性。
例如，
三角形
“△”
，
平行“∥”
，
微分
“
dx
”
，<
/p>
积分
“
”
，
它们除了特定的定义外，
还有相应特定的
名词与符号，
具有名词、
定义、
符号<
/p>
“三位一体”
的可感性，
这不仅使学生在
生活背景中准确地感知到实体模型，同时又明了地反映了概念的内涵；再比如，圆锥
曲线
，三角函数、实数等可感知它们的外延构成；这是其他科学所无法比拟的。然而，对于复数，二
< br>次函数，指数、对数函数，不为零的数的零次幂等概念则具有约定性。
其四，数学概念具有生成性与系列性。通过概念的约定方法缩小概念的外延；或者通过概念的
概括方法，扩大概念的外延，来生成一系具有从属关系的概念。例如，矩形是有一内角为直角
的平行
四边形；又如，不考虑诸数系中元素的具体含义，只考虑其运算性质，可概括成群
，环、域等概念，
都表明了概念的生成性。相应地这类具有从属关系的概念可组成一个概
念系列。
其五，数学概念具有相称性与简明性。具有同一关系
的概念的外延必须是相同的。例如，无限
不循环小数，叫无理数，而以无限小数是无理数
就是错误的。概念的表述是简明的，一般不借助对立
关系，即不用否定的形式或未知的概念，例如，不是有理数的数，叫无理数（否定形式）
；对初中生
来说，在复数
a+bi
中，虚部为零的数叫实数（应用了未知概念）
。
其六，数学概念具有陈述性与程序性。多数数学概念表现为一种算法操作程序，又表现为
一种
对象，由于应用数学概念解决具体问题的不同，有时将某个概念当做有操作步骤的过
程，有时又把它
作为一个固定的个体，成为思考或操作的对象，例如，三角函数
sin
α
，可看成
y<
/p>
与
r
之比的运算，
也可当作比值等等。
3
。数学概念的学习
学习数学概念的关键是数学概念的形成与数学概念的同化，
学习数学概念
的过程可以说是一种再
创造过程，
学生从对数学知识的提炼和组
织——通过对低层次活动本身的分析，
把低层次的概念变为
高层
次的常识，再经过提炼和组织而形成更高层次的概念如此循环往复；其过程可简述为：
观察实例→归纳实例的共同点→揭示概念的本质属性→找出新概念与原认知结构中的知识
联系
→形成新概念→纳入概念体系。
例如，在初中阶段函数概念的学习，一般是通过实例：①以
40
公里
/
时行驶汽车的路程与时间
的变化
；②以表格给出某水库蓄水量与水深的变化；③某天的气温曲线描述气温与时间的关系等。可
通过对实例的观察分析，发现各自存在几个变量，并发现每个实例中两个变量的关系，都是一个变量
能唯一地确定另一变量，从而揭示它们的共同本质属性。然后再通过正反实例，概括出函数定义，
在
此基础上学习函数的表示法，并通过具体习题练习，以加深对函数概念的理解，从而建
立起新的认知
结构。由此可见，学生学习数学概念的过程首先是建立在经验基础上的一个
主动建构的过程；其次是
充满了观察，实验、猜想验证与交流等丰富多彩的数学活动。<
/p>
二、数学概念的教学原则
1
．数学概念的教学地位
恩格斯说：
“在一定意义上，科学的内容就是概念的体系。
”现代的一些学者认为“数学的学习
过程，就是不断地建立各种数学概念的过程
。
”
数学是由概念与命题组成的逻辑
体系。可以说数学概念是数学的细胞、数学的砖瓦，离开数学
概念，数学大厦是根本无法
建设的。为此，加强数学概念的教学，是学好数学的关键，是提高教学质
量的一个重要环
节。现行中学数学课程标准指出：数学课程不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学
生学
习数学的心理规律，
强调从学生已有的生活经验出发„„数学教学活动必须建立在学生的
认知发
展水平和已有的知识经验基础之上。这就是说，数学概念的教学要有学生乐于接触
的，有价值的，有
生活学习背景的题材，应成为学生终身学习愿望激发的重要环节。
数学概念教学的基本要求是：揭示概念的内涵与外延，使学生深刻
理解概念，牢固掌握概念，
灵活运用概念，即达到理解、巩固、系统、会用的目的。
2
．概念教学中存在的主要问题
当前数学概念教学主要存在不重视、不会教、分不清主次、要求不当四方面的不良倾向。
有的老师不能真正认识到加强概念教学的重要性，他们对概念的讲
解往往是蜻蜓点水，一带而
过，而将精力化费在定理、法则的推导与应用上，不知道这完
全是本末倒置，事倍功半的做法。