初中数学辅导资料
-
初中数学竞赛辅导资料
(70)
正整数简单性质的复习
甲
.
连续正整数
一
.
n
位数
的个数：一位正整数从
1
到
9
，共
9
个，两位数从
1
0
到
99
，共
90
个，三位数
从
100
到
999
共
9
×
10
2
个，那么
n
位数的个数共
__
________.(n
是正整数
)
练习：
1.
一本书共
1989
页，用
0
到
9
的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个
.
2.
由连
续正整数写成的数
1234
……
999
1000
是一个
_______
位数；
1
……
19881989
是
< br>_______
位数
.
3.
除
以
3
余
1
的两
位数有
____
个，三位数有
____
个，
n
位数有
_______
个
.
4.
从
1
到
100
的
正整数中，共有偶数
____
个，含
3
的倍数
____
个；
从
50
到
1000
的
正整数中，共有偶数
____
个，含
3
的倍数
____
个
.
二
.
连续正整数的和：
1+2+3+
……
+n=(1+n)
×
n
.
2
把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模
m
有同
余数的连续数的和
.
练习：
5.
计算
2+4+6+
……
+100=__________.
6.
1+3+5+
……
+99=___________
_.
7.
5+10+15+
……
+100=_________.
8.
1+4+7+
< br>……
+100=____________.
9.
1+2+3+
< br>……
+1989
其和是偶数或奇数？答
< br>______
10.
和等于
100
的连续正整数共有
______
组，它们是
______________________.
11.
和等于
100
的连续整数共有
_____
组
，它们是
__________________________.
三
.
由连续正整数连写的整数，各位上的数字和
整数
123456789
各位上的数字和是：
(0+9)+(1+8)+
…
+(4+5)=9
×
5=45
；
1234
…
99100
各位数字和是
(0+99)+(1
+98)+
…
+(49+50)+1=18
×
50+1=901.
练习：
12.
整数
1234
……
9991000
各位上的数字和是
_____________.
13.
把由
1
开始
的正整数依次写下去，直到第
198
位为止：
< br>
1234567891
这个
数用
9
除的余数是
_________
_.
01112
198
位
(1987
年全国初中数学联赛题
)
14.
由
1
到
100
这
100
个正整数顺次写成的数
1234
……
99100
中：
< br>
①
它是一个
________
位数；
②
它的各位上的数字和等于
________
；
③
从这一数中划去
< br>100
个数字，使剩下的数尽可能大，那么
剩下的数的前十
位是
_____________
______________.
四
.
连续正整数的积：
①
1
×
2
×
3
×…×
n
记作
n
!
读作
n
的阶乘
.
②
n
个连续正整数的积能被
n
!
整除
.
如：
2
!|a(a+1),
3
!|a
(a+1)(a+2),
n
!|
a(a+1)(a+2)
…
(a+n<
/p>
－
1).
a
为整数
.
③
n
!
中含有
质因数
m
的个数是
< br>
n
n
n
+
+
…
+
.
i
2
m
m
m
[x]
表示不大于
x
的最大正整数，
i=1,2,3
…
m
i
≤
n <
/p>
如：
1
×
2
×
3
×…×
10<
/p>
的积中，含质因数
3
的个数是：
10
10
2
=3+1=4
3
3
练习：
15.
在
100<
/p>
!
的积中，含质因数
5
< br>的个数是：
____
16.
一
串数
1
，
4
，
7
，
10
，…
…，
697
，
700
< br>相乘的积中，末尾共有零
_______
个
(1988
年全国初中数学联赛题
)
17.
求证：
10
494
| 1989
!
18.
求证：
4
! |
a(a
2
－
1)(a+2)
a
为整数
五
.
两个连续正整数必互质
练习：
19.
如果
n+1
个正整数都小于
2n,
那么必有两个是互质数，试证之
.
乙
.
正整数十进制的表示法
一
. n+1
位的正整数记作：
a
n
×
10
n
+a
n
－
1
×
10
n
1
+
……
+a
1
×
10+a
0
其中
n<
/p>
是正整数，且
0
≤
a
i
≤
9
(i=1,2,3,
…
n)
的整数
,
最高位
a
n
≠
0.
例如：
54321=5
×
10
4
+4
×
10
3
+3
×
10
2
+2
×
10+1.
例题：从
12
到
33
共
22
个正整数连写成
A=121314
…
3233.
试证：
A
能
被
99
整除
.
证明：
A=12
×
10
42
+13
×
10
40
+14
×
10
38
+
……
+31
×
10
4
+3
2
×
10
2
+
33
=12
×
1
00
21
+13
×
100
20
+14
×
10
19
+
……
+31
×
100
2
+32
×
100+33.
∵
100
的任何次幂除以
9
< br>的余数都是
1
，即
100
n
=(99+1)
n
≡
1 (mod 9)
∴
A=99k+12+13+14+
……
+31+32+33
(k
为正整数
)
=99
k+(12+33)+(13+32)+
…
+(22+23)
=99k+45
×
11
=99k+99
×
5.
∴
A
能被
99
整除
.
练习：
20. <
/p>
把从
19
到
80
的连结两位数连写成
19202122
…
7980.
试证明这个数能被
198
0
整除
二
.
常见的一些特例
－
1
n
1
n
－
1,
n
－
1),
111
1
=10
=
(10
(10
－
1).
999
9
333
3
<
/p>
3
9
n
个
1
n
个
9
n
个
3
例题：试证明
12
，
1122
，
111222
，
11112222
，……这些数中的任何一个，都是两个相邻的正
整数的积
.
证明：第
n
个数是<
/p>
111
<
/p>
1
222
<
/p>
2
=
n
个
1
n
个
2
1
2
(
10
n
1
)
×
10
n
+
(
10
n
1
)
9
9
=
1
(
10
n
1
)
(10
n
+2)
9
10
n
1
10
n
1
3
=
3
3
10
n
1
10
n
1
(
1
)
=
< br>3
3
=
333
< br>
3
4
.
证毕
.
3
×
333
n
个
3
(
n
1
)
个
3
练习：
21.
化简
999
9
×
999
9
+1
999
9
=_______________________________.
n
个
9
n
个
9
n
个
9
22.
化简
111
1
-
222
2
=______
______________________________________.
2
n
个
1
n
个
2
23.
求证
11
1
<
/p>
1
是合数
.
1
990
个
1
24.
已知：存在正整数
n,
能使数
111
1
被
1987
整除
.
n
个
1
求证：数
p=
111
1
999
9
888
8
777
7
和
n
个
1
n
个
9
n
< br>个
8
n
个
7
数
q=
111
<
/p>
1
999<
/p>
9
888
8
777
7
都能被
1987
整除
.
n
1
个
1
n
1
个
9
n
< br>
1
个
8
n
1
个
7
(1987
年全国初中数学联赛题
)
25.
证明：
把一个大于
< br>1000
的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数
< br>的差，能被
7(
或
13)
整除，则这个正整数就能被
7(
或
13)
整除
.
26.
求
证：
111
1
×
1
000
0
5+1
是完全平方数
.
n
个
1
n
1
个
0<
/p>
丙
.
末位数的性质
.
一
.
用
N
(a)
表示自然数的个位数
.
例如
a=124
时，
N (a)=4
；
a=
－
3
时，
N
(a)=3.
1.
N
(a
4k+r
)=N
(a
r
)
a
和
k
都是整
数，
r=1,2,3,4.
特别的：
个位数为
0
，
1
，
5
，
6<
/p>
的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身
.
< br>个位数是
4
，
9
的正偶数次幂的个位数也是它本身
.
2.
N (a)=N
(b)
N (a
－
< br>b)=0
10
|
(a
－
b).
3.
若
N
(a)=a
0
,
N (b)=b
0.
则
N
(a
n
)=N (a
0
n
)
；
N (ab)=N (a
0
b
0
).
例题
1
：求①
53
100
；
和
②
7
×
7
7
的个位数<
/p>
.
解：①
N
(53
100
)=N
(3
4
24+4
)=N
(3
4
)=1
②先把幂的指数
7
7
化为
4k+r<
/p>
形式，设法出现
4
的因数
.
7
7
=7
7
－
7+7=7(7
6
－
1)+4+3
=7(7
< br>2
－
1)(7
4
+7
2
+1)+4+3
=7
×
4
×
12
×
(7
4
+7
2
+1)+4
+3
=4k+3
∴
N(
7<
/p>
7
7
)
=N(7
4k+3
)=N(7
3
)=3.
9
9
练习：
27.
198
9
1989
的个位数是
______<
/p>
，
9
的个位数是
_______.
28.
求证：
10 | (1987
1989
－
1993
1991
).
29.
22
10
×
33
15
×
77
20
×
5
5
25
的个位数是
______.
二
.
自然
数平方的末位数只有
0
，
1
，
4
，
5
，
6
，
9
；
连续整数平方的个位数的和，有如下规律：
< br>1
2
，
2
2
，
3
2
，
……，
10
2
的个位数的和等于
1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.
1.
用这一性质计算连续整数平方的个位数的和
例题
1.
填空：
1
2
，
2
2
，
3
2<
/p>
，……，
123456789
2
的和的个位数的数字是
_______.
(1991
年全国初中数学联赛题
)
解：∵
1
2
，
2
2
，
3
2
，……，
10
2
的个位数的和等于
1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.
11
到
20
；
21
到
30
；
31
到
40
；………
123
456781
到
123456789
，
的平方的个
位数的和也都是
45.
所以所求的个位数字是：
(1+4+
9+6+5+5+9+4+0)
×
(12345678+1)<
/p>
的个位数
5.
2.
为判断不是完全平方数提供了一种方法
例题
2.
求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数
.
证明：
(
用反证法
)
设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作：
(n
－
2)
2
+(n
－
1)
2
+n
2
+(n+1)
2
+(n+2)
2
=k
2
(n,
k
都是整数
)
5(n
2
+2)=k
2
.
∵
k
2
是
5
< br>的倍数，
k
也是
5
的倍数
.
设
k=5m,
则
5(n
2
+2)=25m
2
< br>.
n
2
+2=5m
2
.
n
2
+2
是
5
的倍数，其个位数只能是
0
或
5
，那么
n
2
的倍数是
8
或
3.
但任何自然数平方的末位数，都不可能是
8
或
3.
∴假设不能成立
∴任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数
.
3.
判断不是完全平方数的其他方法
例题
3.
已知：
a
是正整数
.
求证：
a(a+1)+1
不是完全平方数
证明：∵
a(a+1)+1=a
2
+a+1
，且
a
是正整
数
∴
a
2
< a(a+1)+1=a
2
+a+1<(a+1)
2
< br>，
∵
a
和
a+
1
是相邻的两个正整数，
a(a+1)+1
介于它们的平方之间
∴
a(a+
1)+1
不是完全平方数
例题
4.
求证：
111
1
(n>1
的正整数
)
不是完全平方数
n
个
1
证明：根据奇数的平方数除以
4
必余
1
，即
(2k
+1)
2
=4(k+1)+1.
但
111
1
=
111
1
00
11
=4k+1
1=4k+4
×
2+3=4(k+2)+3
< br>n
个
1
n
-
2
个
1
即
111
1
除以
4<
/p>
余数为
3
，而不是
1
，
n
个
1
∴它不是完全平方数
.
例题
5.
求证：任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数
.
证明：设
2a+1,2b+1(a,b
是整数<
/p>
)
是任意的两个奇数
.
∵
(2a+1)
2
+(2b+
1)
2
=4a
2
+4a+1+4b
2
+4b+1
=
4(a
2
+b
2
+a+b)+2.
这表明其和是偶数，但不是
4
的倍数，
故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数
.