负数的意义
-
负数的意义
比零小（
<0
）的数．用负号（即相当于减号）
“
－
”
标记．
如
-2, -5.33,
-45/77,
-
π
．
参见：
非
负数
（
Nonnegative
）
,
负数
（
nega
tive number
）
正数
（
Positive
）
,
零
（
Zero
）
，
负号
/
< br>减号
（
Minus
Sign
）
．
例
1
、
我们在小学学过自然数
1,2,3,..
.;
一个物体也没有
,
就用
0
来表示
,
测量和计算有
时不能得到整数的
结果
,
这就
要用分数和小数
表示
.
同学们还见过其他种类的数吗
?
现在有两个温度计
,
温
度计液面指在
0
以上第
6
刻度
,
它表示的温度是
6
℃
,
那么温度计液面指在
0
以下第
6
刻度
,
这时的温度如何表示呢
?
提示：
如果还用
6
℃来表示
,
那么
就无法区分是零上
6
℃还是零下
6
℃，
因此我们就引入一种新数
——
负数
.
参
考答案：
记作
-6
℃
.
说明：
我们为了区分零上
6
℃与零下
6
℃这一
组具有相反意义的量，因而引入了负数的概念
.
例
2
、下面我们再看一个例
子
,
从
中国地形图
上可以看到
,<
/p>
有一座世界最高峰
——
珠穆朗玛峰
,
图上标着
8844;
还有一个吐鲁番盆地
,
图上标着
-155.
你能
说出它们的高度各是多少吗
?
提
示：
中国地形图上可以看到
,
上述两处都标有它们的高度的数
,
图上标的数表<
/p>
示的高度是相对海平面说的
,
通常称为海拔高度
.8844
表示珠穆朗玛峰比海
平面高
8844
米
,-155
表示吐鲁番盆地比海平面低
155
米
.
参考答案：
珠
穆朗玛
峰的高度是海拔
8844
米
;
吐鲁番盆地的高度是海拔
-155
米
.
说
明：
这个例子也说明了我们为了实际需
要引入负数
,
是为了区分海平面以上
与
海平面以下高度
,
它们也表示
具有相反意义的量
.
例
3
、
甲地海拔高度
是
35
米
乙地海拔高度是
15
米，丙地海拔高度是
-20
米，请问哪个地方最高
，哪
个地方
最低？最高的地方比最低的地方高多少？
提示：
35
米，
15
米，
-20
米分别表示什么意义？
参考答案：
甲地最高，丙地最低，
最高的地方比
最低的地方高
55
米。
说明：
35
米表
示高出海平面
35
米，
15
米表示高出海平面
15
米，
-20
米表示低于海平面
20
米，<
/p>
所以甲地最高，
丙
地最低，且甲地比丙地高
55
米。
例
4
、我们
已经知道，具有相反意义的量
可以用正，负数表示。例如：零上
5
℃和零下
6
℃可记为
+5
℃和
-6
℃；高出
海平面
10
米和低于海平面
8
米可记为
+10
米和
-8
米；
收入
200
< br>元和支出
300
元可
记为
+200
元和
-300
元；
前进
30
米和后退
40
米可记为
+30
米和
-40<
/p>
米，
请问
上升
7
米和向东运动
9
米可记为
+7
米和
-9
米吗？
提示：
上升和
向
东运动是具有相反意义的量吗？
参考答案：
不可以记为
+7
米和
-9
米。
说明：
具有相反意义的量必须满足两个条
件：（
1
）它们必须是
同一属性的量；
（
2
）它们的意义相反。上升
和下降；向东运
动和向西运动
才是相反意义的量，因为上升和向东运动不是具有相反意义的量，所以不可
以记为
+7
米和
-9
米。
-
π
是超越数，不是有理数
[
编辑本
段
]
负数的由来
人们在生活中经常会遇到各种相反
意义的量。比如
,
在记账时有余有亏
;
在计算粮
仓存米时
,
< br>有时要记进粮食
,
有时要记出粮食。为了方便，人们就考
虑了相反意义
的数来表示。于是人们引入了正负数这个概念，把余钱进粮食记为正，把亏
钱、
出粮食记为负。可见正负数是生产实践中产生的。
据史料记载，早在两千
多年前
,
我国就有了正负数的概念，掌握了正负数
的运算法则。人们计算的时候
用一些小竹棍摆出各种数字来进行计算。比如，
356
摆成
|||
，<
/p>
3056
摆成等等。这
些小竹棍叫做
“
算筹
”
算筹也可
以用骨头和象牙来制作。
我国三国时期的学
者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献。刘徽首先给
出了正负数的定义，他说：
“
今两算得失相反，要令正负以名之
。
”
意思是说，在计算过程中遇到具有相反意
< br>义的量，要用正数和负数来区分它们。
刘徽第一次给出了正负区分正负数
的
方法。他说：
“
正算赤，负算黑；否则以邪正为异
”
意思是说，用红色的小棍摆
出的数表示正数，
用黑色的小棍摆出的数表示负数；
也可以用斜摆的小棍表示负
数，用正摆的小棍表示正数。
我国古代著名的数学专著《
九章算术
》（成
书于公元一世纪）中，最早提出了正负数加减法的法则：
“
正负数曰：同名相除，
异名相益，正
无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负
无入负之。
”
这里的
“
名
”
就是
“
号
”
，
“
除
< br>”
就是
“
减
”
，
“
相益
”
、
“
相除
”
就是两数的绝
对值
“
相加
”
、
“
< br>相减
”
，
“
无
”
就是
“
零
”
。
用现在的话说就是：
“
正负数的加减
法则是：同符号两数相减，等于其绝对值相减，异号两数相减，
等于其绝对值相
加。零减正数得负数，零减负数得正数。异号两数相加，等于其绝对值相
减，同
号两数相加，等于其绝对值相加。零加正数等于正数，零加负数等于负数。
”
这段关于正
负数的运算法则的叙述是完全正确的，
与现在的法则完全一致！
负数
的引入是我国数学家杰出的贡献之一。
用不同颜色的数表示正负数的习惯
，
一直保留到现在。现在一般用红色表示负数，报纸上登载某国经济上出现赤字，
表明支出大于收入，财政上亏了钱。
负数是正数的相反数。在实际生活中，
我们经常用正数和负数来表示意义相反的两个量。夏天武汉气温高达
42°
C
，你
会想到武汉的确象火炉，冬天哈尔滨气温<
/p>
-32°
C
一个负号让你感到北方冬天的
寒
冷。
在现今的中小学教材中，负数的引入，是通过算术运算的方法引入的：
< br>只需以一个较小的数减去一个较大的数，
便可以得到一个负数。
< br>这种引入方法可
以在某种特殊的问题情景中给出负数的直观理解。
而在古代数学中，
负数常常是
在代数方程的求解过程中
产生的。
对古代巴比伦的代数研究发现，
巴比伦人在解
方程中没有提出负数根的概念，即不用或未能发现负数根的概念。
3
世纪的希腊
学者
丢番图
的著作中，也只给出了方程的正根。然而，在中国的传统数学中，已
较早形成负数和
相关的运算法则。
除《九章算术》定义有关正负运算方法
外，东汉末年刘烘（公元
206
年）、宋代扬辉（
1261
< br>年）也论及了正负数加减
法则，
都与九章算术所说的完全
一致。
特别值得一提的是，
元代
朱世杰
除了明确
给出了正负数同号异号的加减法则外，
还给出了关于正负数的乘除法则。
他在算
法启蒙中，负
数在国外得到认识和被承认，较之中国要晚得多。在印度，数学家
婆罗摩笈多于公元
628
年才认识负数可以是二次方程的根。而在欧洲
14
世纪最
有成就的法国数学家丘凯把负数说成是荒谬
的数。直到十七世纪荷兰人日拉尔
（
1629
< br>年）
才首先认识和使用负数解决几何问题。
与中国古代数学家不同，
西方数学家更多的是研究负数存在的合理性。
16
、
17
世纪欧洲大多数数学家不
承认
负数是数。
帕斯卡认为从
0
减去
4
是纯粹的胡说。
帕斯卡的朋友阿润德提出<
/p>
一个有趣的说法来反对负数，他说（
-1
）：
1=1
：（
-1
< br>），那么较小的数与较大
的数的比怎么能等于较大的数与较小的数比呢？直到
1712
年，连莱布尼兹也承
认这种说法合
理。
英国数学家瓦里承认负数，
同时认为负数小于零而大于无穷
大
（
1655
年）。他对此解释到：因
为
a
＞
0
时，
英国著名代数学家德
·
摩根
在
1831
年仍认为负数是虚构的。他用以下的
例子说明这一点：
“
父亲
56
岁，其子
29
岁。
问何
时父亲年龄将是儿子的二倍？
”
他列方程
56+x=2
（
29+x
），并解得
x=-2
。他
称此解是荒唐的。当然，
欧洲
18
世纪排斥负数的人已经不多了。随着
< br>19
世纪整
数理论基础的建立，
负数在逻辑上的合理性才真正建立。
[
编辑本段
]
负数的
应用
负数被广泛应用于温度、楼层、海
拔、水位、盈利、增产
/
减产、支出
/
收入、得分
/
扣分等方面中。
[
编辑本段
]
负数
我国在《九章算术》
《方
程》章中就引入了负数（
negative number
）的概念和正负数加减法的运算法则。
在某些问题中，
以卖出的数目为正
（因是收入）
，
< br>买入的数目为负
（因是付款）
；
余钱为正，不足钱为负。在关于粮谷计算中，则以加进去的为正，减掉的为负。
“
正
”
、
“
负
”
这一对术语从这时起一直沿用到现在。
在《方程》章
中，引入
的正负数加法法则称为
“
正负
术
”
。正负数的乘除法则出现得比较晚，在
1299
年
朱世杰编写的《
算学
启蒙
》中，
《
明正负术
》一项讲了正负数加减法法则，一共
八条，比《九章算术》更加明确。在
“
明乘除段
”
中有<
/p>
“
同名相乘为正，异名相乘
为负
”
之句，也就是
(±
a
)×
(±
b)=+ab
，
(±
a)×
( b)=-ab
，这样的正负数乘法法则，是我
国最早的记载。
宋末
李冶
还创用在算筹上加斜划表示负数，
负数概念
的引入是中
国古代数学最杰出的创造之一。
印度人最早提出负数的是
628
年左右的
婆
罗摩
笈多
（约
598-665
）。他提出了
负数的运算法则，并用小点或小圈记在数字
上表示负数。在欧洲初步认识提出负数概念，
最早要算意大利数学家斐波那契
（
1170-1250
）。他在解决一个盈利问题时说∶我将证明这个问题不可能有解，
除非承
认这个人可以负债。
15
世纪的舒开（
1445?-1510?
）和
16
世纪
的史提非
（
1553
）虽然他们都发现
了负数，但又都把负数说成是荒谬的数，卡当（
1545
）
给出了方程的负根，但他把它说成是
“
假数
”
。韦达知道负数的存在，但他完全不
要负数。笛卡儿部分地接受了负数，他把方程的负根叫假根，因它比
“
< br>无
”
更小。
哈雷奥特（
1560-1621
）偶然地把负数单独地写在方程的一边，并用
“
－
”
表示它
们，但他并不接受负数。邦别利（
1526-1572
）给
出了负数的明确定义。史提文
在方程里用了正、负系数，并接受了负根。基拉德（
1595-1629
）把负数与正数
等量齐观
、
并用减号
“
-
”
表示负数。
总之在
16
、
17
世纪，
欧洲人虽然
接触了负数，
但对负数的接受的进展是缓慢的。