2017考研数学二真题及答案解析
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2017
考研数学二真题及答案解析
一、选择题（本题共
8
小题，每小题<
/p>
4
分，满分
32
分）
1
cos
x
,
x
0
,
（
1
）若函数
f<
/p>
(
x
)
在
x
0
处连续，则（
）
ax
b
,
x
0
(
A
)
ab
1
1
。
< br>
(
B
)
ab
。
2
2
(
C
)
ab
0
。
(
D
ab<
/p>
2
。
【答案】
(
A
)
【解】
f
(
0
0
)
lim
1
cos
x
1
，
f
(
0
)
f
(
< br>0
0
)
b
，
x
0
ax<
/p>
2
a
因为
f
(
x
)
在
x
0
处连续，所以<
/p>
f
(
0
0
)
f
(
0
)
f
(
0
0
)
，从而
ab
< br>
1
，应选
(
< br>A
)
。
2
（
2
）设二阶可导函数
f
(
x
)
满足
f
(
1
< br>)
f
(
1
)
1
，
f
(
0
)
1
，且
f
(
x
)
0
，则（
）
1
1
(
A
)
1
f
(
x
)
< br>
0
。
(
B
)
1
1
f
(
x
)
0
。
< br>1
(
C
)
f
(
x
)
f
(
x
)
dx
。
(
D
)
f
(
x
)
f
(
x
< br>)
dx
。
1
0
1
0
0
0
【答
案】
(
B
)
1
【解】取
f
(
x
)
2<
/p>
x
1
，显然<
/p>
2
1
f
(
x
)
0
，应选
(
B
)
。
（
3
）设数列
{
x
n
}
收敛，则
（
）
(
A
)
当
lim
sin
x
n
0
时，
lim
x<
/p>
n
0
。
(
B
)
当
lim
(
x
n
|
x
n
|
)
0
时，
lim
x
n
0
。
n
n
n
n
2
)
0
时，
lim
x
n
0
。
(
D
)
当
lim
(
x
n
sin
x
n
)
0
时，
lim
x
n
0
。
(
C
)
当
lim
(
x
n
x
n
n
n
n
n
< br>
【答案】
(
D
)
【解】令
lim
x
n
A
，由
lim
(
x
n
sin
x
n
)
A
sin
A
0
得
A
0
。
n
n
<
/p>
（
4
）微分方
程
y
<
/p>
4
y
8
y
e
(
1
cos
2
x
)
的特解可设为
y
（
）
2
x
(
A
)
Ae
2
x
e
2
x
(
B
cos
2
x
C
sin
2
x
)
。
(
B
)
Axe
2
x
xe
2
x
(
B
cos
2
x
C
sin
2
x
)
。
(
C
)
Ae
2
x
xe
2
x
(
B
cos
2
x
C
sin
2
x
)
。
(
< br>D
)
Axe
2
< br>x
xe
2
x
(
B
cos
2
x
C
sin
2
x
)
。
【答案】
(
C
)
2
【
解】特征方程为
4
8
0
，特征值为
1
,
2
2
2
i
。
对方程
y
4
y
8
y
e
2
x
，特征形式为<
/p>
y
1
Ae
2
x
；
对方程
y
4
y
8
y
< br>e
2
x
cos
< br>2
x
，特解形式为
y
2
xe
2
x
(
B
cos
2
x
C
< br>sin
2
x
)
< br>，
故方程
y
< br>
4
y
8
y
e
(
1
cos
2
x
)
的特解形式为
2
x
y
Ae<
/p>
2
x
xe
2
x
(
B
cos
2
x
C
sin
2
x
)
，应选
(
C
)
。
（
5
）设
f
(
x
,
y
)
具有一阶偏导数，且对任意的
(
x
,
y
)
都有
f
(
x
,
y
)
f
(
x
,
y
)
0
< br>,
0
，
x
y
则
（
）
(
A
)
f
(
0
,
0
)
f
(
1
,
< br>1
)
。
(
B
)
f
(
0
,
0
)
f
(
1
,
< br>1
)
。
(
C
)
f
(
0
,
1
)
f
(
1
,
0
)
。
(
D
)
f
(
0
,
1
)
f
(
1
,
< br>0
)
。
【答案】
(
D
)
【解】
f
(
x
,
y
)
0
得
f<
/p>
(
x
,
y
)
关于
x
为增函数，
从而
f
(
1
,
y
)
f
(
0
,
y
)
；
x
由
f
< br>(
x
,
y
)
0
得
f
(
x
,
y
)
关于
y
为减函数
，从而
f
(
x
,
0
)
f<
/p>
(
x
,
1
)
，
y
由
f
(
1
,
y
)
f
(
0
,
y
)
得
f<
/p>
(
1
,
0
)
f
(
0
,
0
)
；
由
f
(
x
,
0
)
f
(
x<
/p>
,
1
)
得
f
(
0
,
0
)
f
(
0
,
1
)
，故
f
(
1
,
0
)
f
(
0
,
1
)
，应选
(
D
)
。
（
6
）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前
方
10
（单位：
m
）处，图中，实线表示甲的速度曲
线
v
v
1
(
t
)
（单位：
m
/
s
），虚线表示乙的速度曲线
v<
/p>
v
2
(
t
)
，三块阴影部分面积的数值依次为
10
,
20
,
3
，计时开始后乙追甲的时刻为
t
0
（单位：
s
），则（<
/p>
）
(
A
)
t
0
10
。
(
B
)
15
t
0
20
。
(
C
)
t
0
25
。
(
D
)
t
0
25
。
【答案】
【解】
0
0
0
1
（
7
）设
A
为
3
阶矩阵，
P
(
1
,
2
,
< br>
3
)
为可逆矩阵，使得
P
AP
0
1
0
，则
0
0
2
A
(
1
2
<
/p>
3
)
（
）
(
A
)
1
2
。
(
B
)
2
2
3
。
(
C
< br>)
2
3
。
(
D
)
1
2
3
。
【答案】
(
B
)
0
0
0
0
0
0
1<
/p>
【解】由
P
AP
0
1
0<
/p>
得
AP
P
0
1
0
，
0
0
2
< br>
0
0
2
1
0
0
0
1
1
< br>
A
(
)
AP
1
P
0
1
0
1
0
,
,
2
于是
1
2
3
2
3
1
2
2
< br>3
，
1
0
0
2
1
1
< br>应选
(
B
)
。
2
0
0
2<
/p>
1
0
1
0
0
（
8
）已知矩阵
A
0
2
1
,
B
0
2
0
,<
/p>
C
0
2
0
，则
（
）
0
0
1
0
0
1
0
0
2
< br>
(
A
)
A
与
C
相似，
B
与
C
相似。
(
B
)
A
与
C
相似，
B
与
C
不相似。
(
C
)
A
与
C
不相似，
B
与
C
相似。
(
D
)
A
与
C
不相似，
B
与
C
不相似。
【答案】<
/p>
(
B
)
【解】
A
,
B
,
C
的特征值为
<
/p>
1
2
2
,
3
1
，
0
0
0
由
2
E
A<
/p>
0
0
1
得
r
(
2
E
A
)
1
，则
A
可相似对角化，从而
A
~
C
；
0
0
1
< br>
0
1
0
由
2
E
B
0
0
0
得
r
(
2
E
< br>B
)
2
，则
B
不可相似对角化，从而
B
与
A
,
C
不相似，应选
0
0<
/p>
1
(
B
)
。
二、填空题（本题共
6
小题，每小题
4
分，满分
24
分）
（
9
）曲线
y
x
(
1
arcsin
)
的斜渐近线为
____
< br>____
。
2
x
【答案】
y
x
2
。
< br>
【解】
lim
x
y
2
< br>
lim
(
1
< br>
arcsin
)
1
，
x
x
x
2
1
arcsin
1
x
lim
(
y
x
< br>)
lim
< br>2
，斜渐近线为
y
x
2
。
x
x
1
x
x
t<
/p>
e
t
,
d
2
y
|
____
。
（
10
）设函数
y
y
(
x
)
由参数方程
确定，
则
2
t
0<
/p>
dx
y
sin
t
【答案】
1
。
8<
/p>
【解】
dy
dy
/
dt
cos
t
，
t
dx
dx
/
d
t
1
e
<
/p>
sin
t
(
1<
/p>
e
t
)
e
t
cos
t
cos
t
d
(
)
t
d
2
y
(
1
e
t
)
sin
t
e
t
cos
t
(
1
e
t
)
2
1
e<
/p>
，
|
2
t
0
t
t
3
dx
/
< br>dt
dx
1
< br>e
(
1
e
)
d
2
y
1
|
则
。
2
t
0
8
dx
（
11
）
0
ln(
1
x
)
dx
________
。<
/p>
2
(
1
x
)
【答案】
2
。
ln(
1
x
)
1
dx
ln(
1
x
)
d
(
)
2
0
1
x
(
1
x
)
【解】
0
ln(
1
x
)
<
/p>
1
1
|
0
dx
1
|
0
2
2
0
1
x
1
x
(
1<
/p>
x
)
y
y
（
12
）设函数<
/p>
f
(
x
,
y
)
具有一阶连续的偏导数，且
df
(
x
,
y
)
ye
< br>dx
x
(
1
y
)
e
dy
，
f
(
0
,
0
)
0
，则
f
(
x
,
y
)
_______<
/p>
。
【答案】
xye
y
【解】由
df
(
x
,
y
)
ye
dx
x
(
1
y
)
e
dy
d
(
xye
)
得
y
y
y
f
(
x
,
y
)
xye
y
C
，
再由
f
(
0
,
0
)
0
得
C
0
，故
f
(
x
,
y
)
xye
。
1
y
（
13
）
0
dy
tan
x
dx
_______
。
y
x
1<
/p>
【答案】
ln
cos
1