等比数列教案全面版
-
教
学
过
程：
举例：①
1
，
2
，
4
，
8
，
16
，…；
②
1
,
2,
4,
8,
16,
< br>；
1
1
1
，
，
，…；
2
4
8
1
1
1
④
1
，
，
，
，…；
2
4
8
1
< br>1
1
⑤
1,
,
,
,
…；
2
4
8
③
1
，
⑥
5,
5,
5,
5,
5,
5,
．
共同特点：从第二项开始，每一项与它前一项之比为同一常数，称为等比数列．
一、定义及相关概念
等
比数列
：如果一个数列，从第二项起每一项与其前一项的比等于同一个常数，则该数
列称为等比数列．
公
比
：每一项与其前一项的比为一个常数，称为等比数列的公比，一般用
q
< br>表示．
等比中项
：若
a
,
b
,
c
成等比，则
b
c
，即
b
2
ac
，称
b
为
a
,
c
的等比中项．
a
b
等比数列中每一项是它的前一项和后一项的等比中项．
注：
1
常数列是等差数列，
且公差为
0
，非零常数列才是等比数列，且公比为
1
．
2
< br>2
任意两个数都有等差中项，
且只有一个．
由
b
< br>
ac
知，
a
< br>,
c
同号才有等比中项，
2
且有两个
b
<
/p>
ac
．
b
ac
a
,
b
,
c
成等比．
3
q
a
n
，所以
q
0
且
a
n
< br>0
（即等比数列的项和公比都不是
0
）
．
a
n
1
4
<
/p>
等比数列中奇数项之间，偶数项之间符号必相同，但奇数项和偶数项不一定．
二、通项公式
1
．不完全归纳法：
a
1
,
a
2
,
a
3
,
,
a
n
,
a
1
,
a
1
q
,
a
1
q
2
,
得到：
a
n
a
1
q
n
1
（需要证明）
2
．递推法：
,
a
1
q
n
1
,
a
a
2
q
,
3
q
,
a
1
< br>a
2
,
a
n
q
a
n
1
相乘
a
n<
/p>
q
n
1
a
n
a
1
q
n
1
a
1
a
n
,
a
1
,
n
,
q
知三求二
等差数列我们应用的是：
a
n
(
a
n
a
n
1<
/p>
)
(
a
n
1
a
n
2
)
等比数列应用：
a
n
(
a
2
a
1
)
a
1
a
n
a
n
1
<
/p>
a
n
1
a
n
2
a
2
a
1
，将等差的加减类比到等比的乘除．
a
1
通项公式的推广：对
任意
m
,
n
N
(
m
n
)
，
a
n
a
m
q
n
m
< br>．
m
1
时，即为通项公式．
等比数列的通项公式是指数型函数．
三、图象表示：等比数列的点都在
a
n
a
1
q
n<
/p>
1
的图象上．
四、等差数列的性质
1
．等比数列的单调性：
a
1
0
<
/p>
a
1
0
为减数列；
为增数列；
0
q
1
q<
/p>
1
a
1
0
a
1
0
为增数列；
为减数列；
<
/p>
0
q
1
q
1
q
1
为常数列；
q
0
为摆动数列．
2
．等比数列
a
n
中，若
m
,
n
,
p
,
q
N<
/p>
且
m
n
p
q
，则必有
a
m
a
n
a
p
a
q
< br>．即
角标和相等，则项的乘积相等．此规律也可推广到等号两边都是
3
，
4
…项的和．特例：若
m
n
2
p
，则必有
a<
/p>
m
a
n
a
p
2
．但
m
n
p
a
< br>m
a
n
a
p
．
3
．下标成等差数列的项组成的新数列等比．
< br>（即等距离抽取子列仍等比）
4
．若
a
n
,
b
n<
/p>
为等比数列，则
a
n
b
n
,
ka
n
也是等比数列，公比分别为
d
1
d
2
,
kd
．
5
．等比数列
a
n
公比为
q
，则
a
n
,
a
n
1
,
五、应用举例
1
．求基本量：
例
1
．
（见课本
< br>P50
例
1
）
例
2
．
（见课本<
/p>
P51
例
3
）
1
1
a
2
,
a
1
，
{
}
等比，公比都是
．
q
a
n
例
3
．等比数列
<
/p>
a
n
，
（
1
）已知
a
4
2,
a
7
16
，求
a
n
．
a
n
2
2
n
4
2
n
3
< br>（
2
）已知
a
< br>1
3,
a
n
48,
a
2
n
3
192
，求
n
,
q
．
q
2
，
n
5
（
3
）已知
a
2
a
5
18,
a
3
a
< br>6
9
，求
a
n
．
q
1
,
a
1
3
，
2
a
n
2
6
< br>n
2
（
4
）已知
a
1
a
2
a
3
7,
a<
/p>
1
a
2
a
3
8
，求
a
n
．
a
n
2
n
1
或
a
n
2
3
< br>n
（
5
）已知
a
n
0,
a
2
a
4
2
a
3<
/p>
a
5
a
4
a
6
25
，求
a
3
a
5
．
a
3
a
5
5
2<
/p>
a
10
a
5
a
15
,
a
15
（
6
）已知
a
5
2
,
a
10
15
,
求
< br>a
15
．
2
225
（
7
）已知
a
1
a
2
a
9
512
,
9
求
a
5
．
a
5
5
1
2
9
5
2
,
a
< br>2
2
．证明等比数列：
例
1
．
（见课本
P50
例
3
）
小结：证明等比数列的方法：利用定义．
判断方法：
（
1
）定义；
（
2
）通项公式；
（
3
）等比中项．
3
．综合应用：
例
1
．四个数中，前三个数成等比，它们的和为
19
，后三个数成等差，它们的和为
12
，
求这四个数．
分析
：设数的技巧：三个数等比，已知乘积，可设为
a
,
a
,
aq
；四个数等比，
知其积，且
q
公比为正数
，可设为
a
a
3
,
,
aq
,
aq
．若不知乘积则这样设不简便．
3
q
q
(4
d
)
2
(4
d
)
2
,
4
d
,
4,
4
d
，则
4
<
/p>
d
4
19
．
解：设此四
数为
4
4
2
整
理得
d
12
d
28
0
，解得
d
2
或
d
14
．
所以四个
数为
9
，
6
，
4
，
2
或
25
，－
10
，<
/p>
4
，
18
．
例<
/p>
2
．
a
n
等差，且公差不为
0
，
{
b
n
}
等比，且
a
1
1
b<
/p>
1
,
a
2
b
2
,
a
8
b
3
．
（
1
）求等差数列的公差
d
，和等比
数列的公比
q
；
（
2
）是否存在常数
a
,
b
，使对于一切自然数
n
都有
a
n
log
a
b
n
b
成立？
解：
（
1
）由
题意可知
d
0
，又
a
1
1
b
1
,<
/p>
a
2
b
2
,
a
8
b
3
，∴
b
2
2
< br>b
1
b
3
即
a
2
2
a
1
a
8
(
a
1
d
)
2
a
1
< br>
7
d
，∴
d
5
或
d
0(
舍
)
，∴
d
<
/p>
5
．