等比数列教学设计
-
第五届全国高中青年数学
< br>教师优秀课大赛
教学设计
课
题
:
等比数列
(
第一课时
)
执教人
:
韩
灵
单
位
:
山西省太原市育英中学
《正弦定理》教学设计
1.1.1
正弦定理
教学目标︰
1
、通过实例，理解等比数列的概念
通过从丰富实例中抽象出等比数列的模型，使学生认识到这一类型数列也是现实世界
中大量存在的数列模型
;
同时经历由发现几
个具体数列的等比关系，归纳等比数列的定义的
过程。
2
、
探索并掌握等比数列的通项公式
通过
等差数列的通项公式的推导过程的类比，
探索等比数列的通项公式，
通过与指数函
数的图象类比，探索等比数列的通项公式的图象特征及与指数函数之间
的关系。
3
、
通过等比数列与指数函数的关系体会数列是一种特殊的函数。
教学重点
：
理解等比数列的概念，
认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一，
探索并掌握等比数列的通项公式。
教学难点
：等比数列与其对应函数的关系。
教学过程
：
一、
创设情境
,
引入新课
在前几节课中
,
我们学习了等差数列的定义、等差数列的通项公式及等差中项的定义，
今天我们就来学习另外一种特殊的数列，首先看实例
1
。
实例分析
1
：在《数学
3<
/p>
》
(
必修
)
中，我们认识了二进制数。它是一串由
“
0
”
和
“
1
”
构
成的数。计算机存储数据时就是以二进
制数的形式储存的。计算机存储的最基本单
位是
“
位
(bit)
”
，每一位只
能存储一个
“
0
”
或一个
“
1
”
，所以
1
个位可以存储
0
、
1
两种
不同的信息<
/p>
.
如果有
2
个位
，就可以存储
00
、
01
、
10
、
11
四种不同的信息
.
我们记
n
个位共能储存的不同信息
a
n
种，写出
{
a
n
}
的前
5
项。
【老师】
首先请一位同学读题，
最后一句话
说的是什么含义呢？老师引导学生分析本题的含
义，并画出树状图形象的表示。
【学生】通过观察，分析，理解题意，从而得到
{
a
n
}
的前
5
项为
2,4,8,16,32
。
①
实例分析
2
：公元前
5
至前
3
世纪，中国战国时，
《庄子》一书中有“一尺之棰，
日取其半，
万
世不竭”
的关于物质无限可分的观点。
你能解释这个论述的含义
吗？
【学生】思考、讨论，用现代语言叙述。
- 1 -
《正弦定理》教学设计
【老师】
(
用现代语言叙述后
)
如果把
“
一尺之棰
”
看成单位
“
1”
，那么得到的数列是什么样的
呢？
【学生】发现等比关系，写出一个无穷等比数列：
1
，
1
1
1
1
，
，
，
，
…
。
②
2
4
8
16
【老师】
大家知道计算机病毒的传播是非常快的，
速度大的惊人，
那么让我们看一个这样的
实例。
实例分析
3
：
一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过邮件进行
传播。如
果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，
邮件接收者发送
病毒称为第二轮，
依此类推。
假设每一轮每一台计算机都感染<
/p>
20
台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒
每一轮感染的计算机数构成的数列是什么？
【学生】
合作讨论
,
得出什么为第一轮，第二轮。从而得到种病毒每一轮
感染的计算机数构
成的数列是
1,20,20
< br>，
20
,
„。③
【老师】
回忆数列的等差关系和等差数列的定义，<
/p>
观察上面的数列①②③，
说说它们有什么
共同特点？
引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等
比关系。我们可以发现：
数列①从
第
2
项起
,
每
一项与它前一项的比都等于
____
；
数列②从第
2
项起
,
每一项与它前一项的比都等于
____
< br>；
数列③从第
2
项起
,
每一项与它前一项的比都等于
____
；
也就是说这个数
列有一个共同的特点：
从第
2
项起
,
每一项与它前一项的比等于同一个常数。
我们把这样的数列称为等比数列。这就是我们今天要研究的课题，等比数列。
【设计意图】
目的是让学生明白等比数列是来源
于生活中的例子，
观察所给各个数列的共同
特点，进一步归纳出
等比数列的定义。
二、探究新课
1
、等比数列的定义
探究
1
：类比等差数列的定义，大家能否给等比数列下
个定义？
【设计意图】学会类比的思想。
【学生】独立思考，类比等差数列的定义。给等比数列下定义。
如果一个数列从第
2
项起，
每一项与它的前一项的比等于同一个常数，
那么这个数列就
叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母
q
表示。
【老师】用数学符号语言怎样表示等比数列
的定义呢？如果我们第
n
项用
a
n
表示，那么它
的前一项该怎么表示，那么比
怎么表示？这里的
n
的取值范围呢？
2
3
- 2
-
《正弦定理》教学设计
【学生】
讨论，交流。
a
q
< br>(
n
2
)
或
a
q
(
n
1
)
a
a
n
n
1
n
1
n
< br>【老师】
请同学们打开课本，
看看课本上是怎样给等比数
列下定义的，
和刚才那位同学下的
定义一样吗？有什么不同？<
/p>
【学生】阅读课本，仔细对比，找出不同。学生发现课本中有<
/p>
q
≠
0
这个条件
.
思考：等比数列的定义中，可否去掉“
q
≠
0
”的条件？为什么？能否将
“
a
n
”的条
q
a
n
1
件改写成“
a
n
a
n
1
q
”？为什么？
【设计意图】引导学生对等比数列内涵再认识和进一步理解。
【学生】讨论，辨析，得到结论，不能去掉“
q
≠
0
”的条件，因为如果
q=
0,
则分子为
0,
而每
表达式说明在等比数列中的任意
q
< br>一个分子都可能出现在分母中
,
则分母为
0
无意义
;
a
n
n
1
a
项都不能为
0.
感悟
:
等比数列中
q
≠
0,
a
n
0
.
【老师】那么是否存在既是等差又是等比的数列呢？
【学生
1
】常数列。
【老师】是吗
?
有不同意见吗
?
【学生
2
】非零的
常数列既是等差又是等比数列。
练习
1
：判断下列数列是否为等比数列，若是，请指出公比
q
。
（
1
）
1,2, 8
，
32
< br>，
128,
„
。
---
不
是
（
2
）
-1,
－
5
，－<
/p>
25
，－
125,
…
。
--
是
q =5
（
3
）
2
，
2
，
2
，
2
，„
。
---
是
q =1
（
4
）
1
，
-0.5
，<
/p>
0.25
，
-0.125
，„
。
---
是
q = - 0.5
（
5
）
1, 2
，
1, 2,1,
2
„。
---
不是
【老师】思考
< br>:
公比
q
的取值范围是什么呢？
【学生】正数、负数，但是不能为零。
练习
2
：求下列各组数中插入怎样的数后是等比数列。
（
1
）
1
，
____
，
9
（
2
）
-1
，
____
，
-4
（
3
）
-12
，
_
___
，
-3
（
4
）
1
，
_____
，
1
- 3 -