等比数列复习教案
-
优秀教案
欢迎下载
等比数列
【要点精讲】
1
．等比数列定义
< br>一般地，如果一个数列从第二项起
，每一项与它的前一项的比等于同一个常数
，那么这个数列就叫做等比
．．．．
．．<
/p>
数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母
q
表示
(
q
0)
，即：
a
n
1
：
a
n
q
(
< br>q
0)
数列对于数列
（
1
）（
2
）（
3
）都是等比数列，它们的公比依次是
2
，
5
，
列的公比和项都不为零）
n
1
2
．等比数列通项公式为：
a
n
a
1
q
(
a
1
q
0
)
。
1
。（注意：“从第二项起”
、“常数”
q
、等比数
2
说明：（
1
）由等比数列的通项公式可以知道：当公
比
d
1
时该
数列既是等比数列也是等差数列；（
2
）等
比数列的通项公式知：若
{
a
n<
/p>
}
为等比数列，则
a
m
q
m
n
。
a<
/p>
n
3
．等比中项
如果在
a
与
b
中间插入一个数
G
，
< br>使
a
,
G
,
b
成等比数列，
那么
G
叫做
a
与
b
的等比中项
（两个符号相同的非
零实数，都有两个等比中项）
G
＝
ab
，
G
＝±
ab
；
4
．等比数列前
n
项和公式
一
般
地
，
设
等
比
数
列
a
1
,
a
2
,
a
3<
/p>
,
,
a
n
,
的
前
n
项
和
是
S
n
a
1
a
2
a
3
2
<
/p>
n
a
，
当
q
1
时
，
a
1
(
1
q
n
)
a
a
n
q
S
n
<
/p>
或
S
n
1
；当
q=1
时，
S
n
na
1
（错位相减法）。
1
q
1
q
n
说明
：（
1
）
a
1
,
q
,
n
,
S
n
和
a
1
,
a
n
,
q
,
< br>S
n
各已知三个可求第四个；（
2
）注意求和公式中是
q
，通项公式中
是
q
n
1<
/p>
不要混淆；（
3
）应用求和公式时
q
1
，必要时应讨
论
q
1
的情
况。
4
．等比数列的判定方法
①定义法：对于数列
a
n
，若
a
n
1
q
(
q
0
)
，则数列
a
n
是等比数列；
a
n
2
②等比
中项：对于数列
a
n
，若
a
n
< br>a
n
2
a
n
1
，则数列
a
n
是等比数列
5
．等比数列的性质
①等比数列任意两项间的关系：如果
a
n
是等比数列的第
n
项，
a<
/p>
m
是等差数列的第
m
项，且
m
n
，公比为
q
，则有
a
n
a
m
< br>q
n
m
；
②对于等比数列
a
n
，若
n
m
u
v
，则
a
n
a
m
a
u
a
v
，也就是：
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
< br>a
n
2
。
③若数列
a
n
是等比数列，
S
< br>n
是其前
n
项的和，
k
N
*
，那么
S
k
，
S
2
k
S
k
，
S
3
k
S
2<
/p>
k
成等比数列
【典例解析】
题型
< br>1
：等比数列的概念
例
1
．
“公差为
0
的等差数列是等比数列”；“公比为
2
1<
/p>
的等比数列一定是递减数列”；“
a,b,c
三数成等
2
比数列的充要条件是
b
=ac
”
；
“
a,b,c
三数成等差数列的充要条件是
2b=a+c
”
，
以上四个命题中，
正确的有
（
）
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
解析：四个命题中只有最后一个是真命题。
< br>命题
1
中未考虑各项都为
0
的等差数列不是等比数列；
命题
2
中可知
a
n+1
=a
n
×
增数列；
命题
3
中，
若
a=b=0
，
c
∈
R
，此时有
b
< br>
ac
，但数列
a,b,c
不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，
2
1
1
，
a
n+1
2
<
br>命题
n
未必成立，当首项
a
1
<0
时，
a
n
<0
，则
a
n
>a
n
，即
a
n+1
>a
n
，此时该数列为递
2
优秀教案
欢迎下载
若将条件改为
b=
ac
，则成为不必要也不充分条件。
点评：
该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，
为此我们要
注意一些有关等差数列、
等比数列的重要结论。
n
例
2
．
1
：若数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
=a
+b(a
≠
1)
，则数列<
/p>
{a
n
}
是等比
数列；
2
命题
2
：若数列
{a
n
< br>}
的前
n
项和
< br>S
n
=an
+bn+c(a
≠
0)
，则数列
{
a
n
}
是等差数列；
< br>
命题
3
：若数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
=na
－
n
，则数列
{a
n
}
既是等差数列
，又是等比数列；上述三个命题中，真
命题有（
）
A
．
0
个
B
．
1
个
C
．
2
个
D
．
3
个
解析：
由命题
1
得，
a
1
=a+b
，
当
n
≥
2
时，
a
n
=S
n
－
S
n
－
1
=(a
－
1)
·
a<
/p>
n
－
1
。
若
{a
n
}
是等比数列，
则
a
2<
/p>
a
(
a
1
)
=a
，
即
=a
，
a
1
a
b
所以只有当
b=
－
1
且
a
≠
0
时，此数列才是等比数列。
由命题
2
得，
a
1
< br>=a+b+c
，当
n
≥
2
时，
a
n
=S
n
－
S
n
－
1
=2na+b
－
a
，若
{a
n
}
是等差数列，则
a
2
－
a
1<
/p>
=2a
，即
2a
－
c=2a
，
所以只有当
c=0
时，数列
{a
n
}
才是等差数列。
由命题
3
得，
a
1
=a
－
1
，当
n
≥
2
时，
a
n
=S
n
－
S
n
－<
/p>
1
=a
－
1
，显然
{a
n
}<
/p>
是一个常数列，即公差为
0
的等差数列，
因
此只有当
a
－
1
≠
0
；即
a
≠
1
时数列
{a
n
}
才又是等比数列。
点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，上述三个命题均涉及
到
S
n
与
a<
/p>
n
的关系，它们是
a
1
当
n
1
时
a
n<
/p>
=
，
正确判断
数列
{a
n
}
是等差数列或等比数列，
都必须用上述关系式，
尤其注意首项与
其
S
S
,<
/p>
n
1
当
n
2
时
n
他各项的关系。上述三个命题都不是真命题，
选择
A
。
例
3
.
（全国Ⅰ卷文）
< br>已知
a
n
为等比数列，
a
3
2,
a
2
a
4
20
，求
a
n
的通项式。
3
a
3
2
解
:
设等比数列
{a
n
}
的公比为
q,
则
q
≠
0,
a
2
=
=
, a
4
=a
3
q=2q
，
q
q
2
20
1
所以
+ 2q=
,
解得
q
1
=
, q
2
= 3,
q
3
3
1
1<
/p>
n
－
1
18
2
2
3
－
n
n
－
1
n
－
3
当
< br>q=
时
, a
1
=18.
所以
a
n
=18
×
(
)
=
n
－
1
= 2
×
3
.
当
q=3
时
,
a
1
=
,
所以
a
n
=
×
3
=2
×<
/p>
3
.
3
3
3
9
9
例
4
（全国Ⅱ文）
设等比数列
{
a
n
}
的公比
q
<1,
前
n
项和为
S
n
.
已知
< br>a
3
=2,S
4
=5S
2
,
求
{
a
n
}
的通项公式
.
a
1
(1
q
n
)
．解：由题设知
a
1
0
，
S
n
，
1
q
a
1
q
2
2
，
a
1<
/p>
(1
q
2
)
4
．
则
a
(1
q
)
5
②
1
1
q
1
q
由②得
1
q
5(1
q
)
，
(
q
< br>4)(
q
1)
0
，
(
q
2)(
q
2)(
q
1)(
q
1)
< br>
0
，
因为
q
1
，解得
q
1
或
q
<
/p>
2
．
n
1
当
q
1
时，代入①得
a
1
2
，通项公式
a
n
2
(
1)
；
4
2
2
2
当
q
2
时，代入①得
a
1
题型
2
：等比数列的判定
1
1
n
1
，通项公式
a
n
(
2)
．
2
2
例
5
．已知等比数
列
a
n
<
/p>
中
a
2
1
，则其前
3
项的和
S
3
的取值范围是
(D )
（Ａ）
,
1
（Ｂ）
,0<
/p>
1
,
优秀教案
欢迎下载
（Ｃ）
3,
（Ｄ）
,<
/p>
1
3,
【解
1
】：∵等比数列
a
n
中
a
2
1
∴当公比为
1
时
，
a
1
a<
/p>
2
a
3
1
，
S
3
3
；
当公比为
1
时，
a
1
1,
a
2
1,
a
3
< br>
1
，
S
3
1
从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）
故选
D
；
<
/p>
【解
2
】：∵等比数列
< br>
a
n
中
a
2
1
∴
S
3
a
1
a
2
a
3
a
2
< br>
1
q
1
1
1
q
q
q
∴当公比
q
0
时，
S
3
1
q
1
1
1
2
q
3
；
q<
/p>
q
1
1
1
2
q
1
q
q
当公比
q
0
时，
S<
/p>
3
1
q
∴
S
3
< br>,
1
3,
故选
D
；
<
/p>
【考点】：此题重点考察等比数列前
n
项
和的意义，等比数列的通项公式，以及均值不等式的应用；
【
突破】：特殊数列入手淘汰；重视等比数列的通项公式，前
n
项
和，以及均值不等式的应用，特别是均值不等
式使用的条件；
点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算
能力。
2
*
例
6
．<
/p>
（
2009
浙江文）设
< br>S
n
为数列
{
< br>a
n
}
的前
n
项和，
S
n
kn
n
，
n
N
，
其中
k
是常数．
（
I
）
（
II
）
<
/p>
求
a
1
及
a
n
；
（
II
）若对于任意的
m
N
，
a
m
，
a
2
m
，
a
4
m
成等比数列，求
k
的值．
*
解（Ⅰ）当
n
1
,
a
1
S
1
k
1
，
n
2
,
a
n
< br>
S
n
S
n
1
kn
2
n<
/p>
[
k
(
n
1
)
2
(
n
1
)]
< br>2
kn
k
1
（
）
经验，
n
1
,
（<
/p>
）式成立，
a
n
2
kn
k
< br>
1
（Ⅱ）
< br>
a
m
,
a
2
m
,
a
4
m
成等比数列，
a
2
m
a
m
.
a<
/p>
4
m
，
即
(
4
km
k
1
)
(
2
< br>km
k
1
)(
8
km
k
1
)
，整理得：
mk
(
< br>k
1
)
0
，
对
任意的
m
N
成立，
k
0
或
k
1
2
2
2
a
< br>n
2
，
a
n
1
，
n
1,2,3,
…．
a
1
3
n
1
n
（Ⅰ）证明：数列
{
1
}
是等比数列；
（Ⅱ）数列
{
}
的前
n
项和
S
n
．
a
n
a
n
例
7
、
(2008
陕西文
)
已知数列
{
a
n
}
的首项
a
1