苏教版高二数学必修五全册教案
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苏教版高二数学必修五全册教案
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< br>
第八课时
等比数列
教学目标：
灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中
项概念，掌握等比数列的性质；提高学生的数学素质，增强
学生的应用
意识
.
教学重点：
.
等比中项的理解与应用
.
2.
等比数列定义及通项公式的应用
.
教学难点：
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关
问题
.
教学过程：
Ⅰ
.
复习回顾
等比数列定义，等比数列通项公式
Ⅱ
.
讲授新课
根据定义、通项公式，再与等差数
列对照，看等比数列
具有哪些性质
?
若
a
，
A
，
b
成等差数列
a
＝
a
＋
b2
，
A
为等差中
项
.
那
么，如果在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a,G
，
b
成等
比数列，
……
则
即
Ga
＝
bG
，即
G2
＝
ab
反之，若
G2
＝
ab
，则
Ga
＝
bG
，即
a
，
G
，
b
成等比数列
∴
a
，
G
，
b
成等比数列
G2
＝
ab
总之，如果在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成
等比数列，
那么称这个数
G
为
a<
/p>
与
b
的等比中项
.
即
G
＝±
a
b
，
<
/p>
另外，在等差数列中，若
m
＋
n
＝
p
＋
q
，则
am
＋
an
＝
ap
＋
aq
，那么，在等比数列中呢？
由通项公式可得：
am
＝
a1qm
－
1
，
an
＝
a1qn
－
1
，
ap
＝
a1qp
－
1
，
aq
＝
a1•qq
－
1
不难发现：
am•an
＝
a12qm+n
< br>－
2
，
ap•aq
＝
a12qp+q
－
< br>2
若
m
＋
n
＝
p
＋
q
，则
a
m•an
＝
ap•aq
下面看应用这些性质可以解决哪些问题
?
［例
1<
/p>
］在等比数列
{an}
中，若
a3•a5
＝
100
，求
a4.
分析：
由等比数列性质，
若
m
＋
n
＝
p
＋
q
，
则
am•an
＝
ap̶
6;aq
可得：
解：∵在等比数列中，∴
a3
226;a5
＝
a42
又∵
a3•a5
＝
100
，∴
a4<
/p>
＝±
10.
［例
2
］已知
{an}
、
{bn}
是项数相同的等比
数列，求证
{an•bn}
是等比数列
.
分析：由等比数列定义及通项公式求得
.
解：设数列
{an}
的首项是
a1
，公比为
p
；
{bn}
的首
项为
b1
，公比为
q.
则数列
{
an}
的第
n
项与第
< br>n
＋
1
项分别为
a1pn
－
1
，
a1pn
数列
{bn}
的第
n
项与
第
n
＋
1
项分
别为
b1qn
－
1
，
b1qn.
数
列
{an•bn}
< br>的第
n
项与第
n
＋
1
项分别为
a1̶
6;pn
－
1•b1•qn
－
1
与
a1̶
6;pn•b1•qn
，即为
a1b1n
－
1
与
a1b1n
∵
an+
1an•bn+1bn
＝
a1b1
（
pq
）
na1b1
（
pq
）
n
－
1
＝
pq
它是一个与
n
无关的常数，
∴
{an•bn}
是一个以
pq
为公比的等比数列
.
特别地，如果<
/p>
{an}
是等比数列，
c
是不等于
0
的常数，
那么数列
{c•an}
是等比数列
.
［例
3
］三个数成等比数列，它们的和等于
14
，它们的
积等于
64
，求这三个数
.
解：
设
m
，
G
，<
/p>
n
为此三数
由已知得：
m
＋
n
＋
G
＝
14
，
m•n̶
6;G
＝
64
，
又∵
G2
＝
m•n
，∴
G3
＝
64
，∴
G
＝
4
，∴
m
＋
n
＝
10
∴
m
＝
2n
＝
8
或
m
＝
< br>8n
＝
2
即这三个数为
2
，
4
，
8
或
8
，
4
，<
/p>
2.
评述
：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解
题捷径
.
Ⅲ
.
课堂练习
课本
P5
0
练习
1
，
2
，
3
，
4
，
5.
Ⅳ
.
课时小结
本节主要内容为：
若
a
，
G
，
b
成等比数列
，则
G2
＝
ab
，
G
叫做
a
与
b
的等
比中项
.
若在等比数列中，
m
＋
n
＝
p
＋
q
，则
am•an
＝
ap•aq
Ⅴ
.
课后作业
课本
P5
2
习题
5
，
6
，
7
，
9
等比数列
．已知数列
{an}
为等比数列，且
an
＞
0
，
a2a4
＋
2a
3a5
＋
a4a6
＝
< br>25
，那么
a3
＋
a5
的值等于（
）
A.5
B.10
c.15
D.20
2
．在等比数列中，
a1
＝
1
，
q
∈
R
且
|q|
≠
1
，若
am
＝
a1a2a3a4a5
，则
m
等于
（
）
A.9
B.10
c.11
D.12
3
．
非零实数
x
、
y
、
z
成等差数列，
x
＋
1
< br>、
y
、
z
与
x
、
y
、
z
＋
2
分别成
等比数列，则
y
等于（
）
A.10
B.12
c.14
D.16
4
．有四
个数，前三个数成等比数列，其和为
19
，后三
个数成等差数列，其和为
12
，求此四数
.
5
．在数列
{an}
和
{bn}
中，
an
＞
0
，
bn
＞
0<
/p>
，且
an
，
bn
，
an+1
成等差数列，
bn
，
an+1
，
bn+1
成等比数列，
a1
＝
1
，
b1
＝
2
，
a2
＝
3
，求
an
∶
bn
的值
.
6
．设<
/p>
x
＞
y
＞
2
，且
x
＋
y
，
x
－
y
，
xy
，
yx
能按某种顺序
构成等比数列，试求这个等比数列<
/p>
.
7
．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差