数列教案(全)
-
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数列
教案
本章教学约需
17
课时，具体分配如下：<
/p>
3.1
数列
3.2
等差数列
3.3
等差数列前
n
项和
3.4
等比数列
3.5
< br>等比数列前
n
项和
研究性课题：分期付款中的有关计算
小结与复习
约
2
课时
约
2
课时
约
2
课时
约
2
课时
约
2
课时
约
3
课时
约
4
课时
一、内容与要求
本章从内容上看，可以分为数列、等差数列、等比数列三个部分
在数列这一部分，主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种
方法
关于数列的概念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了
一个在映射、函数观点下的定义，指出：“从映射、函数的观点看，数列可以
看作是一个定义域为正整数集
(
或它的有限子集
)
的函数当自变量从小到大依次
取值时对应的一列函
数值”
这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深
对数列
概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列
关于给出数列的两
< br>种方法，其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式
点破
了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚
此外，正如并非
每一函数
均有解析表达式一样，
也并非每一数列均有通项公式<
/p>
(
有通项公式的数列只是少
数
)
，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展<
/p>
递
推是数学里的一个非常重要的概念和方法，数学归纳法证明问题
的基本思想实
际上也是
“递推”
在数列
的研究中，
不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，
而且它也
是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递
推公式，然后再根据
它推得通项公式
但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研
究用递
推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就
会加重学生负担<
/p>
考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要
能初
步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的
前几项就行了<
/p>
在等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一
次函数
的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从
图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两
项可以决定一个等差数列
(
从几何上看两点可以决定一
条直线
)
在推导等差数
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列前
n
项和的公式时，突出了数列的一
个重要的对称性质：与任一项前后等距
离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解
决问题会带来一些方便
在等比数列这一部分，在讲等比数
列的概念和通项公式时也突出了它
与指数函数的联系
这不仅可加
深对等比数列的认识，而且可以对处理某类问题
的指数函数方法和等比数列方法进行比较
，从而有利于对这些方法的掌握
二、本章的特点
(
一
)
在启发学生思维上下功夫
本章内容，是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材
，使学
生在获得知识的基础上，观察和思维能力得到提高
在问题的提出和概念的引入方面，
为了引起学生的兴趣，
在本章的
“前
言”里用了一个有关国际象棋棋盘的
古代传说作为引入的例子
它用一个涉及求
等比数列的前
n
项和的麦粒数的计算问题给学生造成了一个不学本章知识、难
获问题答案的悬念，又在学了等比数列后回过头来解开这个悬念；在讲等差数
列与等比数列的概念时，
都是先写出几个数列，
让学生先观
察它们的共同特点，
然后在归纳共同特点的基础上给出相应的定义
在推导结论时，注意发挥它们在启发学生思维方面的作用
例如在
讲等
差数列前
n
项和的公式时，没有平
铺直叙地推导公式，而是先提出问题：
1+2+3+...+100 = ?
，并指出著名数学家高斯
10
岁时便很快算出它的结果，以
激发
学生的求解热情，然后让学生在观察高斯算法的基础上，发现上述数列的
一个对称性质：
任意第
k
项与倒数第
k
项的和均等于首末两项的和，从而为顺
利地推导求和公式铺平了道路
在例题、习题的表述方面，适当配备了一些采用疑问形式的题
，以增
加问题的启发成分
如
3.3 <
/p>
例
4
：“已知数列的通项公式为
a
n
=pn
十
q
，其中
p
、
q
是常数，
那么这种数列是否一定是等差数列<
/p>
?
如果是，
其首项与公差是什么
?
”
又如
:
“如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么这个数列有什么特
点？”这样就增加了题目的研究性
在讲有些例题时，加了一小段
“分析”，通
过不多的几句话点明解题的思路
如对于上面提到的
“
3.3
例
4
”
，
加的一段
“分
析”是：“由等差数列定义，要判定
{
a
n
}
是不是等差数列，只要
看
a
n<
/p>
1
a
n
是不是一个与
n
无
关的常数就行了”
话虽不多，但突出了
“从定义
出发”这种最基本的证明方法
(
二
)
加强了知识
的应用
除了上面提到的“研究性课题”多具有应用性的特点以外还在
教材中
适当增加了一些应用问题
如在“阅读材料”里介绍了有关
储蓄的一些计算；在
所增加的应用问题里还涉及房屋拆建规划、绕在圆盘上的线的长度等
(
三
)
呼应前面的逻辑知识，加强了推理论证的训练
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考虑到《新大纲》更加重视对学生
逻辑思维能力的培养，且在前面第
一章已介绍了
“简易逻辑”<
/p>
，
为进行推理论证作了准备，
紧接着又在
第二章
“函
数”里进行了一定的推理论证训练，因此本草在推理
论证方面有所加强
(
四
)
注意渗透一些重要的数学思想方法
由于本章处在知识交汇点的地位，所蕴含的数学思想方法较为丰富，
教材在这方面也力求充分挖掘
教材注意从函数的观点去看数列，在这种整体
的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚，某些问题也能得到更
好的解决，例如“复习参考题
B
组第
2
题”便是一个典型例子
方程或方程组的
思想也是体现得较为充分的，不少的例、习题均属这种模式：已知数列满足某
某条件，求
这个数列
这类问题一般都要通过列出方程或方程组．然后求解
关
于
递推的思想方法，不仅在数列的递推公式里有所体现
观察、归
纳、猜想、证明
等思想方法的组合运用在本章里得到了充分展示．
为学生了解它们各自的作用、
相互间的关系并进行初步运用提供了条件
三、教学中应注意的几个问题
(
一
)
把握好本章
的教学要求
由于本章联系的知识面广，
具有知识交汇点的特点，
在应试教育的
“一<
/p>
步到位”的教育思想的影响下，本章的教学要求很容易拔高，过早地进行针对
“高考”
的综合性训练，从而影响了基本内容的学
习和加重了学生负担
事实
上，学习是一个不断深化的过程
作为在高一
(
上
)<
/p>
学习的这一章，应致力于打好
基础并进行初步的综合训练，在后续
的学习中通过对本章内容的不断应用来获
得巩固和提高
最后在高
三数学总复习时，通过知识的系统梳理和进一步的综合
训练使对本章内容的掌握上升到一
个新的档次
为此，本章教学中应特别注意一
些容易膨胀的地方<
/p>
例如在学习数列的递推公式时，不要去搞涉及递推公式变形
的论证
、计算问题，只要会根据递推公式求出数列的前几项就行了；在研究数
列求和问题时，不
要涉及过多的技巧
.
(
二
)
有意识地复习和深化初中所学内容
对于初中学过的多数知识．在高中没有系统深入学习的机会
而初中内
容是学习高中数学的必要基础，因而在学习高中内容时有意识地复习、深化初
中内容显得特别重要
本章是高中数学的第三章，距离初中数学较近，与初中
数
学的联系最广，因而教学中应在沟通初、高中数学方面尽可能多地作一些努力
(
三
)
适当加强本章内容与函数的联系
适当加
强这种联系，
不仅有利于知识的融汇贯通，
加深对数列的理解，
运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生对函数的认
识深化一步
比如，学生在此之前接触的函数一般是自变量连续变化的函数，
而
到本章接触到数列这种自变量离散变化的函数之后，就能进一步理解函数的一
般定义，防止了前面内容安排可能产生的学生认识上的负迁移；
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本章内容与函数的联系涉及以下几个方面
1
．数列概念与函数概念的联系
相应于数列的函数是一种定义域为正整数集
(
或它的前
n
个数组成的
有限子集
)
的函数，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数
从这个意义
上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围
< br>但数列与函数并不能划等号，数
列是相应函数的一系列函数值
基于以上联系，数列也可用图象表示，从而可利
用图象的直观性来研究数列的性质<
/p>
数列的通项公式实际上是相应因数的解析
表达式
< br>而数列的递推公式也是表示相应函数的一种方式，因为只要给定一个自
变量的值<
/p>
n
，就可以通过递推公式确定相应的
f(
n)
这也反过来说明作为一个函
数并不一定存在直接表示因变量
与自变量关系的解析式
2
．等差数列与一次函数、二次函数的联系
从等差数列的通项公式可以知道，
公差不为零的等差数列的每一项<
/p>
a
n
是关于项数
n
的一次函数式
于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列<
/p>
例
如，根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的
性质，就容易
理解为什么两项可以确定一个等差数列
此外，
首项为
a
1
、公差为
< br>d
的等差数列前
n
项和的公式可
以写为：
S
n
na
1
n
(
n
1<
/p>
)
d
2
即当
d
<
/p>
0
时，
S
n
是
n
的二次函数式，于是可以运用二次函数
的观点
和方法来认识求等差数列前
n
项
和的问题
如可以根据二次函数的图象了解
S
n
的增减变化、极值等情况
3
．等比数列与指数型函数的联系
由于首项为
a
1
、
公比为
q
的等比数列的通项公式可以写成
a
1
(
1
q
n
)
x
S
n
(
q
1
)
它与指数函数
y=
a
有着密切联系，从而可利用
1
q
指数函数的性质来研究等比数列
(
四
)
注意等差数
列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征
等差数
列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质
(
等差
还是等比
)
、通项公式、前
n
项和的公式、两个数的等差
(
< br>等比
)
中项
具体问题
里成等差
(
等比
)
数列的三个数的设法等
因此在教学与复习时可采用对比方法，
以便于弄清它们之间的联系与区别
顺便指出，一个数列既是等差数列又是
等比
数列的充要条件是它是非零的常数列
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教学中应强调，等差数列的基本性
质是“等差”，等比数列的基本性
质是“等比”，这是我们研究有关两类数列的主要出发
点，是判断、证明一个
数列是否为等差
(
等比
)
数列和解决其他问题的一种基本方法
要让学生注意，
这里的“等差”
(
“等比”
)
，是对任意相邻两项来说的
上述基本性质，引申出两类数列的一种对称性：即与数列中的任一项
“等距离”的两项之和
(
之积
)<
/p>
等于该项的
2
倍
(
平方
).
利用上
述性质，常使一些问题变得简便
对于学有余力的学生，还可指
出
等差数列与等比数列描述了两种最简单、最重要的变化：等差数列描述的是
一种绝对均匀
变化，等比数列描述的是一种相对均匀变化
非均匀变化通常要转
化或近似成均匀变化来进行研究，这就成为教材之所以重点研究等差数列与等
比数列的主
要原因所在
(
五
)
注意培养学生初步综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法的能<
/p>
力
综合运用观察、归纳、猜想、证明
等方法研究数学，是一种非常重要
的学习能力
事实上，在问题探
索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特
点，形成解决问题的初步思路；然后用归
纳方法进行试探，提出猜想；最后采
用证明方法
(
或举反例
)
来检验所提出的猜想
应该指出，能够充分进行上述研究
方法训练的素材在高中数学里并非很多，而在本章
里却多次提供了这种训练机
会，因而在教学中应该充分利用，不要轻易放过
(
六
)
在符号使用上与国家标准一致
为便于与国
际交流，
关于量和单位的新国家标准中规定自然数集
N
＝
{0
，
l
，
2
．
3
，……}，即自然数从
O
开始
这与长期以来的习惯用法不同，会使我们感
到别扭
但为了不与
上述规定抵触，教学中还是要将过去的习惯用法改变过来，
称数集
{1
，
2
，
3
，…}为正整数集
.
高一数学第三章数列复习小结
基本训练题
一、选择题
1
．已知数列｛
a
n
｝既是等差数列又
是等比数列，则这个数列的前
n
项和
为
Ａ．
0
Ｃ．
n
a
1
B
．
n
Ｄ．
a
1
n
2
．已知
数列｛
a
n
｝的前
n
项和
S
n
=3
a
n
－
2,
那么下面结论正确的是
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B
．此数列为等比数列
Ｄ．此数列从第二项起是等差数
列
<
/p>
3
．已知等比数列｛
a
< br>n
｝中，
a
n
< br>=2
×
3
n
1
,
则由此数列的偶数项所组成
的新
数列的前
n
项和
< br>S
n
的值为
Ａ．<
/p>
3
n
－
1
B
．
3(3
n
－
1)
9
n
1
Ｃ．
4
3
(
9
n
1
)
Ｄ．
<
/p>
4
4
．实数等比数列｛
< br>a
n
｝
，
S
n
＝
a
1
a
2
a
n
，则数列｛
S
n
｝中<
/p>
B
．必有一项为零
Ｄ．可以有无数项为零
5
．如果数列｛
a
n
｝的前
n
项和
S
n<
/p>
3
a
n
3
,
那么这个数列
的通项公式是
2
a
n
=2(
n
2
+
n
+1)
B
．
a
n
=3
·２
n
a
n
=3
n
+1
Ｄ．
a
n<
/p>
=2
·
3
n
6
．已知等差数列的第
< br>k,n,p
项构成等比数列的连续
3
项，如果这个等差数
列不是常数列，则等比数列的公比为
Ａ．<
/p>
n
p
k
n
B
．
p
n
n
k
k
n
Ｃ．
Ｄ．
<
/p>
p
k
n
p
k
p
2
7
．数列｛
a
n
｝
，
｛
b
n
｝满足
a
n
b
n
< br>=1,
a
n
< br>=n
+3
n
+2,
则｛
b
n
｝的前
10
项之
和为
1
5
1
Ａ．
B
．
Ｃ．
3<
/p>
12
2
二、填空题
8
．
2
，
x,y,z,
18
成等比数列，则
x
=
.
Ｄ．
7
<
/p>
12
3
9
．已知
数列｛
a
n
｝的前
n
项和
S
n
=n
,
则
a
6
a
7
<
/p>
a
8
＝
.
10
．
三个数成等比数列，它们的积为
512
，如果中间一个数加上<
/p>
2
，则成等
差数列，这三个数是
.
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11
．
一个数列的前
n
项和为
S
n
=1
—
2+3-4+
…
+(
—
1)
n
1
n
,
则
S
17
＋
Ｓ
33
＋
Ｓ
50
＝
< br>n
2
12
．一个数列｛
a
n
｝
，当
n
为奇数时，
a
n
=5
n
+1,
当
n
为偶数时，
a
n
2
，
则这个
数列前
2
m
项的和为
< br>
.
13
．
已知正项等比数列
｛
a
n
｝
共有
< br>2
m
项，
且
a
2
·
a
4
=9(
a
3
＋
a
4
)
，<
/p>
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
…
＋
a
2
m
=4(
a
2
＋
a
4
＋
a
6
＋
…
＋
a
2
m<
/p>
),
则
a
1
=
,
公
比
q
=
.
14
．
k
为正偶数，
p
(
k
)
表示等式
1
1
1
1
1
1
1
1<
/p>
1
2
(
)
2
3
4
k
1
k
k
<
/p>
2
k
4
2
k
则
p
(2)
表示等式
,
< br>p
(4)
表示等式
.
2
15
、若数列
< br>
a
n
的前
n
项和
S
n
=
2
n
n
3
，则其
通项公式
a
n
____.
三、解答题
16
．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列此三数，也可成等
比数
列，已知这三个数的和等于
6
，求
这三个数．
17.
某城市
1996
年底人口为
20
万，大约住
房面积为
8
ｍ
，计划到
2000
年
底人均住房面积达到
10
ｍ
，
如果该市人口平均增长率控
制在
1%
，
那么要实现
上述计划，每年该市要平均新建住房面积多少万平方米
?(
结果以万平方米为单
位，保留两位小数
)
2
2
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18<
/p>
．
7
个实数排成一排，奇数项成等差数列
，偶数项成等比数列，且奇数
项的和与偶数项的积之差为
42<
/p>
，首末两项与中间项之和为
27
，求中间
项．
19<
/p>
．
已知等差数列
｛
a
n
｝
的第
2
项为
8
，
前
10
项的和为
185
< br>，
从数列
｛
a
< br>n
｝
中依次取出第
2
项，第
4
项，第
8
项，…，第
2
项按原来顺序排成一个新数列<
/p>
｛
b
n
｝
，求数列｛
b
n
｝的
通项公式及前
n
项和公式
S
n
．
n
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2
3
n
20
．已知
f<
/p>
(
x
)
a
1
x
a
2
x
a
3
x
a
n
x
，且
a
1
，
a
2
，
a
3
，…，
a
n
组成等差数列
(
n
为正偶数
)
，又
f
(1)=
n
2
，
< br>ｆ
（－１）＝
ｎ
，求数列的通项
a
n
．
数列复习小结基本训练题
参考答案
1
．
C
2
．
B
3
．
D
4
．
D
5
．
D
6
．
A
7
．
B
8
．±
2
3
9
．
387
10
．<
/p>
4
，
8
，
16
或
16
，
8
，
4
11
．
1
12
．<
/p>
5
m
m
2
1
2
13
．
108
；
3
1
1
< br>1
1
1
1
1
;
1
2
(
)
14
．
1
2
2
2
2
2
3
4
4
2
4
4
2
m<
/p>
1
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15
．
a<
/p>
n
(
n
1
)
4
4
n
3
(
n
2
)
16
．
8
，
2
，—
4
或—
4
，
2
，
8
17
．约
12
．
03
万
m<
/p>
2
18
．
2
n
1
19
．
S
n
3
2
2
n
6
20
．
a
n<
/p>
2
n
1
课
题
：
3.1
数列的一般概念（一）
教学目的：
⒈理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系
.
⒉了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项
⒊对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式
教学重点：
数列及其有关概念，通项公式及其应用，前
n
项和与
a
n
的关系
教学难点：
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
授课类型：
新授课
< br>课时安排：
1
课时
教
具
：多媒体、实物投影仪
内容分析
：
本节主
要介绍数列的概念、
分类，
以及给出数列的两种方法
关于数列的概
念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了一
个在映射、函数
观点下的定义，指出：“从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定
义域
为正整数集
(
或它的有限子集
)
的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列
< br>函数值”
这样就可以将数列与函数联系起来，
不仅可以加
深对数列概念的理解，
而且有助于运用函数的观点去研究数列
关
于给出数列的两种方法，其中数列的
通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式
点破了这一点，数列与函
数的内在联系揭示得就更加清楚
此外，正如并非每一函数均有解析表达式一
样，也并非每一数列均有通
项公式
(
有通项公式的数列只是少数
)
教学过程
：
一、复习引入：
1
< br>．
函数的定义．
如果
A
、
B
都是非空擞
集，那么
A
到<
/p>
B
的映射
f
:<
/p>
A
B
就叫做<
/p>
A
到
B
学习必备
欢迎下载
的函数，记作：
y
< br>f
(
x
)
，其中
x
A
,
y
B
.
2
．在学习第二章函数的基础上，今
天我们来学习第三章数列的有关知识，
首先我们来看一些例子：
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
，
10
．
①
1
，
1
1
1
1
，
，
，
，…
.
②
2
3
4
5
< br>1
，
0.1
，
< br>0.01
，
0.001
，
0.0001
，…
.
③
1
，
1.4
，
1.41
，
1.414
，…
.
④
-1
，<
/p>
1
，
-1
，
1
，
-1
，
1
，…
.
⑤
2
，
2
，
2
，
2
，
2
，…
.
⑥
<
/p>
观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义）
上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序
.
从而引出数列及有关定义
二、讲解新课：
⒈
数列的定义
：按一定次序排列的一列数叫做
数列
.
注意
：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相
同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以
重复出现
.
⒉
数列的项<
/p>
：
数列中的每一个数都叫做这个数列的
项
.
各项依次叫做这个
数列的第
1
项（或首项）
，第
2
项，…，第
n
项，…
.
例如，
上述例子均是数列，
其中①中，
“
4
”
是这个数列的第
1
项
（或首项）
，
“
9
”是这个数列中的第
6
项
.
⒊
数列的一般形式
：
a
1
,
< br>a
2
,
a
3
,
,
a
n
,
，或简
记为
a
n
，其中
a
n
是
数列
的第
n
项
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义
.
②中，这是一个数列，它的首
项是“
1
”
，
“
1
”是这个数列的第“
3
”项，等
等
3
下面我们再来看这些数列的每一
项与这一项的序号是否有一定的对应关
系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进
一步理解数列与项的定义，
从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一
项的序号有这样
的对应关系：
1
1
1
1
项
1
2
3
4
5
↓
↓
↓
↓
↓
序号
1 2 3 4
5
学习必备
欢迎下载
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：
a
n
1
来表示其对应关系
n
即：只要依次用
1
< br>，
2
，
3
…代替公式中的
n
，就可以求出该数列相应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系
如：数列①：
a
n
=
n+3(1
≤
n
≤
7)
；数列③：
a
n
n
数列⑤：
a
n
(
1
)
n
≥
1
）
1
；
(
n
≥
1
）
n
1
10
⒋
数列的通项公式
：如
果数列
a
n
的第
n
项
a
n
与
n
之间的
关系可以用一
个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式
< br>.
注意
：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上
述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：
1
，
0
，
1
，
0
，
1
，
0
，…
1
(
1
)
n
1
n
1
它的通项公式可以是
a
n
，也可以是
a
n
|
cos
|
.
2
2
⑶数列通项
公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列
中的一项
< br>.
*
从映射、
函数的观点来看
，
数列也可以看作是一个定义域为正整数集
N
< br>（或
它的有限子集
{1
，
2
，
3
，…，
n}
）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应
的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式
.
对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可
根据其通项公式
画出其对应图象，下面同学们练习画数列①，②的图象，并总
结其特点
< br>.
在画图时，
为方便起见，
直
角坐标系两条坐标轴上的单位长度可以不同
.
数
列①、②的图象分别如图
1
，图
2
所
示
.
5
．数列的图像
都是一群孤立的
点<
/p>
.
6
．数列有三种表示形式：
列举法
，
通项公式法
和
图象法
.
7
．
有穷数
列
：
项数有限的数列
.
例如，数列①是有穷数列
.
8
．
无穷数列
：项数无限的数列
. <
/p>
例如，数列②、③、④、⑤、⑥都是
无穷数列
.
三、讲解范例：
例
1
根据下
面数列
a
n
的通项公式，写出前
5
项：
学习必备
欢迎下载
（
1
）
a
n
<
/p>
n
;
(
2
)
a
n
(
1
)
n
n
n
1
分析
：由通项公式定义可知，只要将通项公式中
n
依次取
1
，
2
，
3
，
4
，
< br>5
，
即可得到数列的前
5
项
1
2
3
4
5
;
a
2
;
a
3
;
a
4
;
a<
/p>
5
;
2
3
4
5
6
1
(2)
n
1
,
2
,
3
,
4
,
5
.
a
1
;
< br>a
2
2
;
a
3
3
;
a
4
4
;
a
5
5
;
2
解：
（
1
）
n
1
,
2
,
3
,
4
,<
/p>
5
.
a
1
例
2
写出下面数列
的一个通项公式，使它的前
4
项分别是下列各数：
2
2
< br>1
3
2
1
4
2
1
5
2
1
;
,
;
;
（
1
）
1
，
3
，
< br>5
，
7
；
（
2
）
2
3
4
5
（
3
）
-
1
1
1
1
，
，
-
，
< br>.
1
2
2
3
3
4
4
5
解：
（
1<
/p>
）项
1=2
×
1
-1
3=2
×
2-1
5=2
×
3-1
7=2
×
4-1
↓
↓
↓
↓
序号
1
2
3
4
即这
个数列的前
4
项都是序号的
2
倍减去
1
，
∴它的一个通项公式是：
a
n
2
n
1
；
< br>（
2
）序号：
1
2 3 4
↓
↓
↓
↓
项分母：
2=1+1
3=2+1
4=3+1
5=4+1
↓
↓
↓
↓
项分子：
2
2
-1
3
2
-1
4
2
-1
5
2
-1
即
这个数列的前
4
项的分母都是序号加上
1
，分子都是分母的平方减去
1
，
(
n
1
)
2
n
∴它的一个通项
公式是：
a
n
；
n
1
1
（
3
）序号
3
3
4
1
1
2
1
2
3
1
3
< br>4
1
4
5
‖
‖
‖
‖
(
1
)
1
1
1
1
1
2
3
2
(
< br>
1
)
(
1
)
(
1
)
1
(
1
1
)
2
(
< br>2
1
)
3
(
3
1
)
2
(
2
1
)
学习必备
欢迎下载
这个数列的前
4
项的绝对值都等于序号与序号加
1
的积的倒数，且奇数项
为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是：
a
n
(
1
)
< br>四、课堂练习
：
课本
P
112
练习：
1
—
4.
学生板演
1
，
2
；教师提问评析
3
，
4.
答案
：⒈⑴
1,4,9,16,25
；⑵
10,20,30,40,50
；
< br>⑶
5,-5,5,-5,5
；⑷
3/2
，
1
，
7/10
，
9/17
，
11/26.
⒉⑴
a
7
=1/343
，
a
10
=1/1000
；⑵
a
7
=63
，
a
10
=120
；
⑶
a
7
=1/7
，
a
10
=-1/
10
；⑷
a
7
=-125
，
a
10
< br>=-1021.
⒊⑴
a
n
=2n
；⑵
a
n<
/p>
=1/5n
；⑶
a
n
=(-1)
/2
；⑷
a
n
=(1/n)-[1/(n+1)].
n
n
n
1
n
(
n
1
)
⒋⑴
< br>8
，
64
，
a
n
=2
；⑵
1
，
36
，
a
n
=n
；⑶
-1/3
，
-1/7
，
a
n
=(-1)
/n
；
n
2
n
⑷
3
，
6
，
a
n
=
n
.
五、小结
本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其
任意一项，并会根据数列的前
n
项求一些简单数列的通项公式<
/p>
六、课后作业
：课本
< br>P
114
习题
3.1
：
1
，
2.
答案
：⒈
⑴
a
n
=3n
；⑵
a<
/p>
n
=-2(n-1)
；⑶
a
n
=(n+1)/n
；⑷
a
n
=(-1
)
/2n
；
n
2
n+1
⑸
a
n
=1/n
；⑹
a
n
=
(-1)
3
n
.
⒉
⑴
a
10
=110
，
a
31
=992
，
a
48
=2352
；⑵求
n(n+1)=420
的正整数解得
n=20.
补充作业：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17,
33,
……；
(2)
2
4
6
8
10
,
,
,
,
,
……；
3
1
5
35
63
99
(3) 0, 1, 0, 1, 0,
1,
……；
(4)
1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,
……；
(5) 2,
－
6, 12,
－
20, 30,
－
42,
……
.
2
n
1
(
1
)
n
解：
(1)
a
n
＝
2n
< br>＋
1
；
(2)
a
n
＝
；
(3)
a
n
＝
；
(<
/p>
2
n
1
)(
2
n
1
)
2
(4)
将数列变形为
1
＋
0
, 2
＋
1,
3
＋
0,
4
＋
1,
5
＋
0,
6
＋
1,
7
＋
0,
8
＋
1,
……
,
1
(
1
)
n
∴
a
n
＝
n
＋
；
2
(5)
将数列变形为
1
×
2,
－
2
×
3,
3
×
4,
－
4
×
5,
5
×
6,
……，
学习必备
欢迎下载
∴
a
n
＝
(
－
1)
n
1
n(n
＋
1).
七、板书设计
（略）
八、课后记：
课
题
：
3.1
数列的概念（二）
教学目的：
1
．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2
．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
3
．理解数列的前
n
项和与
a
n
的关系；
4
．会由数列的前
n
< br>项和公式求出其通项公式
.
教学重点：
根据数列的递推公式写出数列的前几项
教学难点：<
/p>
理解递推公式与通项公式的关系
授课类型：
新授课
< br>课时安排：
1
课时
教
具
：多媒体、实物投影仪
内容分析
：
由于并非每一函数均有解析表达式
一样，
也并非每一数列均有通项公式
(
有
通项公式的数列只是少数
)
，
因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数
列的范围大大扩展<
/p>
递推是数学里的一个非常重要的概念和方法
在数列的研究
中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通
项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通
项公式
但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性
< br>质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担
考虑到学生是
在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给
出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了
教学过程
：
一、复习引入：
上节学习知识点如下
⒈
数列的定义
：按一定次序排列的一列数叫做
数列
.
注意
：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相
同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以
重复出现
.
⒉
数列的项<
/p>
：
数列中的每一个数都叫做这个数列的
项
.
各项依次叫做这个
数列的第
1
项（或首项）
，第
2
项，…，第
n
项，…
.
学习必备
欢迎下载
⒊
数列的一般形式
：
a
1
,
a
2
,
a
3
,
,
a
n
,
<
/p>
，或简记为
a
n
，其中
a
n
是数列
的第
n
项
⒋
数
列的通项公式
：如果数列
a
n
的第
n
项
a
n
与
n
之间的关系可以用一
个公式来表示，那么这个公式就
叫做这个数列的通项公式
.
5
．
数列的图像
都是一群孤立的点
.
6
．
数列有三种表示形式
：列举法，通项公式法和图象法
.
7
．
有穷数
列
：项数有限的数列
.
例如，数列①是
有穷数列
.
8
．
无穷数
列
：项数无限的数列
.
二、讲解新课：
知识都来源于实践，最后还要应用
于生活
用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：
自上而下：
第
1
层钢管数为
4
；即：
1
4
＝
1+3
第
2
层钢管数为
5
；即：
2
5
＝
2+3
第
3
层钢管数为
6
；即：
3
6
＝
3+3
第
4
层钢管数为
7
；即：
4
7
＝
4+3
第
5
层钢管数为
8
；即：
5
8
＝
5+3
第
6
层钢管数为
9
；即：
6
9
＝
6+3
第
7
层钢管数为
1
0
；即：
7
10
＝
7+3
若用
< br>a
n
表示钢管数，
n
表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且
a
n
n
3
(
1
≤
n
≤
7
）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用
这一
关系，会很快捷地求出每一层的钢管数
这会给我们的统计与计算带来
很多方便
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循
？（启发学生寻找规律）
模型二：
上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多
1
即
a
1
4
；
a
2
5
4
1
a
< br>1
1
；
a
3
6
5
1
a
2
1
依此类推：
a
n
a
n
1
1
（
2
≤
n
≤
< br>7
）
对于上述所求关系，若知
其第
1
项，即可求出其他项，看来，这一关
系也较为重要
定义：
学习必备
欢迎下载
1
．
递推公式
：如果已知数列
a
n
的第
1
项（或前几项）
，且任一项
a
n
与
它的前一项
a
n
1
（或前
n
项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公
式就叫做这个
数列的递推公式
说明
：递推公式也是给出数列的一种方法
<
/p>
如下数字排列的一个数列：
3
，
5
，
8
，
13
，
21
，
34
，
55
，
89
递推公式为：
a
1<
/p>
3
,
a
2
5
,
a
n
a
n
1
a
n
2
(
3
n
<
/p>
8
)
2
．
数列的前
n
项和：
数列
a<
/p>
n
中，
a
1
a
2
a
3
a
n
< br>称为数列
a
n
的前
n
项和，记为
S
n
.
S
1
表示前
1
项之和：<
/p>
S
1
=
a
1
S
2
表示前
2
项之和：
S
2
=
a
1
<
/p>
a
2
……
S
n<
/p>
1
表示前
n-
1
项之和：
S
n
1
=
a
1
a
2
a
3
a
n
1
S
n
< br>表示前
n
项之和：
S
n
=
a
1
a
2
a
3
a
n
.
∴
当
n
≥
1
时<
/p>
S
n
才有意义；当
n-1
≥
1
即
n
≥
2
时
S
n
1
才有意
义
.
3
．<
/p>
S
n
与
a
n
之间的关系
：
<
/p>
由
S
n
的定义可
知，当
n=1
时，
S
< br>1
=
a
1
；当
n
≥
2
时，
a
n
=
S
n
-
S
n
1
，
S
1
(
n
1
)
< br>即
a
n
=
.
S
S
(
n
2<
/p>
)
n
1
n
说明
：数列的前
n
项和公式也是给出数列的一种方法
.
三、例题讲解
例
1
已知数列
a
< br>n
的第
1
项是
1
，以后的各项由公式
a
n
1
写出这个数列的前
5
项
1
a
n
1
给出，
学习必备
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分析：题中已给出
a
n
的第
1
项即
a
1
1
< br>，递推公式：
a
n
1
1
a
n
1
解：据题意可知：
a
1
1
,
a
2
1
1
< br>1
2
2
,
a
3
1
a
1
a
2
3
a
4
1
1
5
8
< br>
,
a
5
a
3
3
5
例
2
已知数列
a
n<
/p>
中，
a
1
1
,
a
2
2
,
a
n
3
< br>a
n
1
a
n
2
(
n
≥
3
）
，试写出数
列的前
4
项
解：由已知得
a
1
1
,
a
2
2
,
a
3
<
/p>
3
a
2
a
1
7
,
a
4
3
a
3
a
2
23
例
3
已知
a
1
<
/p>
2
，
a
n
1
2
a
n
写出前
5
项，并猜想
a
n
．
2
3
n
2
法一：
a
1
2
a
2
2
2
2
a
3
2
2
2
，观察可得
a
n
2
法
二：由
a
n
1
2
a
n<
/p>
∴
a
n<
/p>
2
a
n
1
即
a
n
2
a
n
1
∴
a
n
a
a
< br>a
n
1
n
2
2
2
n
1
a
n
1
a
< br>n
2
a
n
3
a
1
n
1
n
∴
a<
/p>
n
a
1
2
2
例
4
已知数列
a
n
的前
n
项和，求数列的
通项公式：
⑴
S
n
=n
+2n
< br>；
⑵
S
n
=n
-2n-1.
解
：⑴
①
当
n
≥
2
时，
a
n
=
S
n
-
S
n
1
=(n
+2n)-[(n-1)<
/p>
+2(n-1)]=2n+1
；
②
当
n=1
时，
a
1
=
S
1
=1
+2
×
1=3
；
③
经检验，当
n=1
时，
2n+1=2
×
1+1=3
，
∴
a
n
=2n+1
为所求
.
⑵<
/p>
①
当
n
≥
2
时，
a
n
=
S
n
-
S
n
1
< br>=(n
-2n-1)-[(n-1)
+2(n-1)-1
]=2n-3
；
2
< br>2
2
2
2
2
2
学习必备
欢迎下载
②
当
n=1
时，
a
1
=
S
1
=1
2
-2
×
1-1=-2
；
③
经检验，当
n=1
时，
2n-3=2
×
1-3=-1
< br>≠
-2
，
∴
a
n
=
四、练习
：
1
．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1)
a
1
＝
0,
a
n
1
＝
a
n
＋
(2n
－
1)
(n
∈
N)
；
(2)
a
1
＝
1,
a
n
1
＝
2
(
n
1
)
为所求
.
2
n
3
(
n
2
)
2
a
n
(n
∈
N)
；
a
n
2
(3)
a
1
＝
3,
a
n
1
＝
3
a
n
－
2 (n
∈
N).
解：
(1)
a
1
＝
0,
a
2
＝
1,
a
3
＝
4,
a
4
＝
9,
a
5
＝
16,
∴
a
n
＝
(n
－
1)
;
(2)
a
1
＝
1,
a
2<
/p>
＝
2
1
2
1
2
2
2
2
,
a
3
＝
,
a
4
＝
, <
/p>
a
5
＝
,
∴
a
n
＝
; <
/p>
3
5
2
4
3
6
n
1
0
1
2
(3)
a
1
＝
3
＝
1+2
3
,
a
2
＝
7
＝
1+2
3
,
a
< br>3
＝
19
＝
1+2
3
,
a
4
＝
55
< br>＝
1+2
3
< br>3
,
a
5
＝
163
＝
1+2
3
4
,
∴
a
n
＝
1
＋
2
·
3
n
1
;
2
．
．已知下列各数列
a
n
< br>的前
n
项和
S
< br>n
的公式，求
a
n
的通项公式
(1)
S
n
＝
2n
－
3n; (2)
S
n
＝
3
－
2.
解：
(1)
a
1
＝－
1,
2
n
a
n
=
S
n
-
S
n
1
＝
2n
2
－
3n
－
[2(n
－
1)
2
－
3(n
－
1)]
＝
4n
－
5,
又
a
1
符合
a
1
＝
4
·
1
－
5,
∴
a
n
＝
4n
－
5;
(2)
a
1
＝
1,
a
n
=
S
n
-
S
n
1
＝
3
－
2
－
(
< br>3
n
n
1
－
2)
＝
2
·
3
n
<
/p>
1
,
1<
/p>
∴
a
n
＝
n
1
2
3
n
1
n
2
学习必备
欢迎下载
五、小结
本节课学习了以下内容：
1
．递推公式及其用法；
2
．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻
两项（或
n
项）之间的关系
.
3
．
S
n
的定义及与
a
n
之间的
关系
六、课后作业
：
1
．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项
a
1
=1,
a
n
=
a
n
1
+
1
a
n
1
1
（
n
< br>≥
2
）
解：由
a
1
=1,
< br>
a
n
=
a
n
1
+
a
n
1
（
n
≥
2
）
,
得
a
1
=1,
a
2
=
a
1
+
1
1
5
=2,
a
3
=
a
2
+
,
a
1
a
2
2
a
< br>4
=
a
3
+
1
5
2
2
9
1
29
10
941
,
a
5
=
a
4
+
<
/p>
a
3
2
5
10
a
4
10
29
290
2
2
．已知
S
n
=an
+bn+c
，
求数列的通项公式
答案：
a
n
=
a
b
< br>c
(
n
1
)
2
an
a
<
/p>
b
(
n
2
)
七、板书设计
（
略）
八、课后记：
课
题
：
3.1
等差数列（一）
教学目的：
1
．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；
2
．会解
决知道
a
n
,
a
1
,
d
,<
/p>
n
中的三个，求另外一个的问题
教学重
点：
等差数列的概念，等差数列的通项公式
教学难点：
等差数列的性质
授课类型：
新授课
< br>课时安排：
1
课时
教
具
：多媒体、实物投影仪
学习必备
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内容分析
：
本节是
等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数
的联系，这样就便于利
用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从
图象上看，为什么表示等差数列的
各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两
项可以决定一个等差数列
(
从几何上看两点可以决定一条直线
)
教学过程
：
一、复习引入：
上两节课我们学习了
数列的定义及给出数列和表示的
数列的
几种方法——
列举法、通项公式、递推公式、图象法和前
n
项和
公式
.
.
这些方法从不同的角
度反映数列的特点
下面我们看这样一些例子
1
．
小明觉得自己英语成绩很差，
目前他的单
词量只
yes,no,you,me,he 5
个
他
决定从今天起每天背记
10
个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依
次为：
5
，
15
，<
/p>
25
，
35
，…
（问：多少天后他的单词量达到
30
00
？）
2
．
小芳觉得自己英语成绩很棒，
她目前的单词量多达
3000
她打算从今天起
不再背单词了，结果不知
不觉地每天忘掉
5
个单词，那么从今天开始，她的单
词量逐日递减，依次为：
3000
，
2995
，
2990
，
2985
，…
（
问：多少天后她那
3000
个单词全部忘光？）
从上面两例中，我们分别得到两个数列
①
5
，
15
，
25
，
35
，…
和
②
3000
，
2995
，
2990
，
2980
，…
请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？
·
共同特征
：
从第二项起，
每一项与它前面一项的差等于同一个常数
（即等差
）
；
（误：
每相邻两项的差相等——应
指明作差的顺序是后项减前项）
，
我们给具有
< br>这种特征的数列一个名字——
等差数列
二、讲解新课：
1
．等差数列
：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项
的
差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公
差（常用字母“
d
”表示）
⑴．公差
d
< br>一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．
对于数列
{
a
n
},
若
a
n
－
a
n
1
=d (
与
n
无关的数或字母
)
，
n
≥
2
，
n
∈
N
，
则此数列是等差数列，
d
为公差
<
/p>
2
．等差数列的通项公式：
a
n
a
1
(
n
1
)
d
【或
a
n
a
m
(
n
m
)
d
】
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系
而得
若一等差数列
a
n
的首
学习必备
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项是
a
1
，公
差是
d
，则据其定义可得：
a
2
a
1
d
即：
a
2
a
1
d
a
3
a
2<
/p>
d
即：
a
3
a
2
d
a
1
2
d
< br>
a
4
a
3
d
即
：
a
4
a<
/p>
3
d
a
1
3
d
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
a
n
a
1
(
n
1
)
d
∴已知一数列为等差数列，
则只要知其首项
a
1
和公差
d
，便可求得其通项
a
n
如数列①
1
，
2
，
3
，<
/p>
4
，
5
，
6
；
a
n
1
(
n
1
)
1
n
（
1
≤
n<
/p>
≤
6
）
数列②
10
，
8
，
6
，
4
，
2
，…；
a
n
10
(
n
1
)
(
2
)
12
2
n
（
n
≥
1
）
数列③
;
,
;
,
1
,
;
a
n
1
2
3
4
5
5
5
5
1
1
n
< br>
(
n
1
)
（
n
≥
1
）
5
5
5
由上述关系还可得：
a
m
a
1
(
m
1
)
d
即：
a
1
a
m
(
m
1
)
d
则：
a
n
a
1
(
n
1
)
d
=
a
m
(
m
1
)
d
(
< br>n
1
)
d
a
m
(
n
m
)
d
即的
第二通项公式
a
n
a
m
(
n
m
)
d
< br>
∴
d=
如：
a
5
a
4
d
a
3
2
d
a
2
< br>
3
d
a
1
4
d
三、例题讲解
例
1
⑴求等
差数列
8
，
5
，
2
…的第
20
项
⑵
-
401
是不是等差数列
-5
，
-9
，
-13
…的项？
如果是，是第几项？
解：⑴由
a
1
8
,
d
5
8
2
< br>5
3
n=20
，得
a
< br>20
8
(
20
1
)
(
3
)
49<
/p>
a
m
a
n
m
n
学习必备
欢迎下载
⑵由
a
1
5
,
d
9
(
5
)
4
得数列通项公式为：
a
n
5
4
(
n
1
)
由题意可知，
本题是要回答是否存在正整数
n
，
使得
401
5
4
(
n
1
)
成
< br>立解之得
n=100
，即
-40
1
是这个数列的第
100
项
例
2
在等差数列
a
n
中，已知
a
5
10
，
a
12
31
，求
a
1
,
d
,
a
20
,
a
n
解法一：∵
a
5
10
，
a
12
31
，则
a
1
4
d
10
a
1
11
d
31
a
1
2
d
3
∴
a
n
a
1
(
n
1
)
d
3
< br>n
5
a
20
a
1
19
d
55
解法二：∵
a
12
a
5
7
d
31
10
7
d
d
3
∴
a
20<
/p>
a
12
8
d
55
a
n
a
12
(
n
< br>
12
)
d
3
n
5
小结：第二通项公式
a
n
a
m
(
n
m
)
d
例
3
< br>将一个等差数列的通项公式输入计算器数列
u
n
中，设数列的第
s
项和
第
t
项分别为
u
s
和
u
t
，
计算
u
s
<
/p>
u
t
的值，
你能
发现什么结论？并证明你的结论
s
t
解：通
过计算发现
u
s
u
t
的值恒等于公差
s
t
证明：设等差数列
{
u
n
}
的首项为
u
1
，末
项为
u
n
，公差为
d
，
u
s
u
1<
/p>
(
s
1
)
d
u
t
u
1
(
t
1
)
d
(
1
)
(<
/p>
2
)
⑴
-
⑵得
u
s
u
t
(
s
t
< br>)
d
u
s
u
t
d
s
t
小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特
征，直线的斜率
学习必备
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例
4
梯子最
高一级宽
33cm
，最低一级宽为
11
0cm
，中间还有
10
级，各级
的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度
解
：设
a
n
表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，
由已知条件，可知：
a
1
=3
3,
a
12
=110
，
n=12
∴
a
12
a
1
(
12
1
)
d
,
即
10=33+11
d
解得：
d
7
因此，
a
2
33
<
/p>
7
40
,
a
3
40
7
47
,
a
4
54
,
a
5
61
,
< br>a
6
68
,
a
7
75
,
a
8
82
,
a
9<
/p>
89
,
a
10
96
,
a
11
103<
/p>
,
答：
梯子中
间各级的宽度从上到下依次是
40cm
，
47cm
，
54cm
，
61cm
，
68cm
，
75cm
，
82cm
，
89cm
，
96cm
，
103cm.
例
5
已知数
列
{
a
n
}<
/p>
的通项公式
a
n
pn
q
，
其中
p
、
q
是
常数，那么这个数
列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：
由等差数列的定义，
要判定
a
n
是不是等差数列，
只要看
a
n
a
n
1
（
n<
/p>
≥
2
）是不是一个与
n
无关的常数
解：当
n
≥
2
时
,
（取数列
a
n
中的任意相邻两项
a
n
1
与
a
n
（
n
≥
2
）
）
a
n
< br>a
n
1
(
pn
q
)
[
p<
/p>
(
n
1
)
q
]
pn
q
(
pn
p
q
)
p
为常数
∴
{
a
n
}
是等差数列，首项
a
1
p
q
< br>，公差为
p
注
：①若
p=0
，则
{
a
n
}
是公差为
0
的等差数列，即为常数列
q
，
q
，
q
，
…
②若
p
≠
0,
则
{
a
n
}
是关于
n
的一次
式
,
从图象上看
,
表示数列的各点均在一
次函数
y=px+q
的图象上
,
一次项的系数是公差
,
直线在
y
轴上的截距为
q.
③数列
{
a
n
}
为等差数列的充要条件是其通项
a
n
=pn+q (p
、
q
是常数
)
称其为
第
3
通项公式
< br>
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足
3
个通项公式中的一个
四、练习
：
学习必备
欢迎下载
1.
（
1
）求等差数列
3
，
7
，
11
< br>，……的第
4
项与第
10
项
.
分析：根据所给数列的前
3
项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，
从而
求出所求项
.
解：根据题意可知：
a
1
=3,
d
=
7
－
3=4.
∴该数列的通项公式为
：
a
n
=3+
（
n
－
1
）×
4,
即
a
n<
/p>
=4
n
－
1
（
n
≥
1,
n
∈
N
*
）
∴
a
4
=4
×
4
< br>－
1=15,
a
10
=4
×
10
－
1=39.
评述：关键是求出通项公式
. <
/p>
（
2
）求等差数列
10
，
8
，
6
，……的第
20
项
< br>.
解：根据题意可知：
a
1<
/p>
=10,
d
=8
－
10=
－
2.
∴该数列的通项公式为：
a
n
=1
0+
（
n
－
1
）×（－
2
）
,
即：
a
n
=
－
2
n
+12
,
∴
a
20
=
－
2
×
20
+12=
－
28.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性
.
< br>（
3
）
100
< br>是不是等差数列
2
，
9
，
16
，……的项？如果是，是第几项？如果<
/p>
不是，说明理由
.
分析：要想判断一数
是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在
一正整数
n
值，使得
a
n
等于这一数
.
解：根据题意可得：
a
1
=2,
d
=
9
－
2=7.
∴此数列通项公式为：
a
n
=2+
（
n
－
1
）×<
/p>
7=7
n
－
5.
令
7
n
－
5=100,
解得：
n
=15,
∴
100
是这个数列的
第
15
项
.
（
4
）
－
20
是不是等差数列
0
，
< br>－
3
如果不是，说明理由
. <
/p>
1
，
－
7
，
……的项？如果是，
是第几项？
2
1
2
7
7
∴此数列的通项公式为：
a
n
=
－
n<
/p>
+
,
2
2
7
7
47
令－
n
+
=
－
20,
解得
n
=
2
2
7
解：由题意可知：
a
1
=
0,
d
=
－
3
学习必备
欢迎下载
因为－
7
7
n
+
=
－
20
没有正整数解，所以－
20
不是这个数列的项
.
< br>2
2
2.
在等差数列
{
a
n
}
中，
（
1
）已知
a
4
=10,
a
7
=19,
求
a
1
与
d
;
（
2
）已知
a
3
=9,
a
9
=3,
求
a
12
.
a
1
3
d
10
a
1
1
解：
（
< br>1
）由题意得：
,
解之得：
.
a
6
d
19
d
3<
/p>
1
（
2
）解法一：由题意可得：
a
1
2
d
9
a
1
11
,
解之得
d
1
a
1
8
d
3
∴该数列的通项公式为：
a
n
=11+
（
n
－
1
）×（－
1
）
< br>=12
－
n
,
< br>∴
a
12
=0
解法二：由已知得：
a
9
=<
/p>
a
3
+6
d
,
即：
3=9+6
d
,
∴
d
=<
/p>
－
1
又∵
a<
/p>
12
=
a
9
+3
d
,
∴
a
12
=3+3
×（
－
1
）
=0.
Ⅳ
.
课时小结
五、小结
通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学
表达式：
a
n
－<
/p>
a
n
1
=d
，
（
n
≥
2
，
n
∈
N
）
.
其次，要会推导等差数列的通
项公式：
a
n
a
1
< br>
(
n
1
)
d
，并掌握其基本应用
.
最后，还要注意一重要
关系式：
a
n
a
< br>m
(
n
m
)
d
和
a
n
=pn+q (p
、
q
是常数
)
的理解与应用
.
六、课后作业
：
七、板书设计
（略）
八、课后记：
课
题
：
3.1
等差数列等差数列的性质
教学目的：
1.
明确等差中项的概念
.
2.
进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式
.
教学重点：
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与
应用
教学难点：
灵活应用等差数列的
定义及性质解决一些相关问题
授课类型：
新授课
< br>课时安排：
1
课时
学习必备
欢迎下载
教
具
：多媒体、实物投影仪
内容分析
：
本节是
在学习等差数列的概念、通项公式的基础上，推导等差数列前
n
项
和的公式，并突出等差数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两
项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便
教学过程
：
一、复习引入
首先回忆一下上节课所学主要内容：
1
．等差数列
：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
前一项的差
等于同一个常数，即
a
n<
/p>
－
a
n
1
=d
，
（
n
≥
2
，
n
∈
N
）
，这个数列就叫做等差数
列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“
d
”表示）
2
．等差数列的通项公式：
a
n
a
1
(
< br>n
1
)
d
(
a
n
a
m
(
n
m
)
d
或
a
n
=pn+q (p
、<
/p>
q
是常数
))
3
．有几种方法可以计算公差
d
①
d=
a<
/p>
n
－
a
n
1
②
d
=
a
n
a
1
a
a
m
③
d
=
n
n
1
n
m
二、讲解新课：
问题
：<
/p>
如果在
a
与
b<
/p>
中间插入一个数
A
，使
< br>a
，
A
，
b
成等差数列数列，那么
A
应满足什
么条件？
由定义得
A-
a
=
b
-A
，即：
A
反之，若
A
a
b<
/p>
2
a
b
，则
A-
a
=
b
-A
2
a
b
由此可可得：
A
a
,
b
,
成等差数列
2
a
b
是
a
,
A
,
b
成等差数列的充
要条件
2
定义：
若
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项
不难发现，在一个等差数列中，从第
2
项起，每一项（有穷数列的末项除
外）都
是它的前一项与后一项的等差中项
如数列：
< br>1
，
3
，
5
，
7
，
9
，
11
，
13
…中
5
是<
/p>
3
和
7
的等差中
项，
1
和
9
的
等差中项
9
是
7
和
11
的等差中项，
5
和
13
的等差中项
也就是说，
A
=<
/p>
看来，
a
2
<
/p>
a
4
a
1
a
5
,
a
4
a
6
a
3
a
7
学习必备
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性质
：在等差数列中，若
m+n=p+q
，则，
< br>a
m
a
n
a
p
a
q
即
m+n=p+q
a
m
a
n
a
p
a
q
(m, n, p, q
∈
N )
但通常
①由
a
m
a
n<
/p>
a
p
a
q
推不出
m+n=p+q
，②
a
m
a
n
a
m
< br>
n
三、例题讲解
例
1
在等差数列
{
a
n
}
中，若
a
1
+
a
6
=9,
a
4
=7,
求
a
3
,
a
9
.
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式
，而要求通项
公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两
项
（知道任意两项就知道公差）
，本题中，只已知一项，和另一
个双项关系式，想
到从这双项关系式入手……
解
：∵
{a
n
}
是等差数列
∴
a
1
+
a
6
=
a
4
+
a
3
=9
a
3
=9
< br>－
a
4
=9
－
7=2
∴
d=
a<
/p>
4
－
a
3
=7
－
2=5
∴
a
9
=
a
4
+(9
－
4)d=7+5*5=32
∴
a
3
=2,
a
9
=32
例
2
等差数
列
{
a
n
}<
/p>
中，
a
1
+
a
3
+
a
5
=
－
12,
且
a
1
·
a
3
·
a
5
=80.
求通项
a
n
分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题
而已知两个
条件
均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再弄一个等式出来
解：
a
1
< br>+
a
5
=2
a
3
a
1
a
3
a
5
1
2
3
a
3
< br>
12
a
3
4
a
1<
/p>
a
5
20
a
1
a
3
a
< br>5
80
a
a
8
5
1<
/p>
a
1
=
－
10,
a
5
=2
或
a
1
=2,
a
5
=
－
10
∵
d=
a<
/p>
5
a
1
5
1
∴
d=3
或－
3
∴
a
n
=
－
10+3
(n
－
1) =
3n
－
13
或
a
n
=2
－
3
(n
－
1) =
－
3n+5
学习必备
欢迎下载
例
3
在等差数列
{
a
n
}
中
,
已知
a
3
＋
a
4
＋
a
5<
/p>
＋
a
6
＋
a
7
＝
450, <
/p>
求
a
2
＋
a
8
及
前
9
项和
S
9
.
解：由等差中项公
式：
a
3
＋
a
7
＝
2
a
5
，
a
4
＋
a
6
＝
2
a
5
< br>
由条件
a
3
< br>＋
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＋
a
7
＝
450,
得
5
a
5
＝
450
,
a
5
＝
90,
∴
a
2
＋
a
8
＝
2
a
5
＝
180.
S
9
＝
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
< br>＋
a
5
＋
a
6
＋
a
7
＋
a
8
＋
a
9
＝
(
a
1
＋
a
9
)
＋
< br>(
a
2
＋
a
8
)
＋
(
a
3
＋
a
7
)
＋
(
a
4
＋
a
6
)
＋
a
< br>5
＝
9
a
5
＝
810.
< br>例
4
已知
a
、
b
、
c
的倒数成等差数列，
求证：
a
b
c
，
，
b
c
a
c
a
b
a
b
< br>c
的倒数也成等差数列
分析：
给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数
x
、
y
、
z
成
等差数列的充要条件：
x+y=2z
证明：因为
a
、
b
、
c
的倒数成等差数列
2
1
1
，即<
/p>
2ac=b(a+c)
b
a
c
b
c
a
a
b
c
c
(
b
c
)<
/p>
a
(
a
b
)
又
+
=
-2
a
c
ac
c<
/p>
2
a
2
b
(
a
c
)
c
2
a
2
2
ac
=
-2=
-2
ac
ac
∴
2
(
a
c
)
2
(
a
c
)
2
=
< br>-2=
-2
b
(
a
c
)
< br>ac
2
(
a
c
)
2
(
c
a
<
/p>
b
)
-2=
<
/p>
b
b
a
b
c
所以
，
，
的倒数也成等差数列
b
c
a
c
a
b
a
b
c
=
四、练习
：
学习必备
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1.
在等差数列
a
n
< br>
中，已知
a
5
10
，
a
< br>12
31
，求首项
a
1
与公差
d
解：由题意可知
(1)
a
5
a
1
4
d
10
(2)
a
12
a
1
11
d
31
a
1
2
解之得
即这个数列的首项是
-2
，公差是
3
<
/p>
d
3
或
由题意可得：
a
12
a
5<
/p>
(
12
5
)
d
即：
31=10+7d
可求得
d=3
，再由
a
5
a
1
4
d
求得
1
=-2
2.
在等差数列
a
n
中
,
若
a
5
6
a
8
15
求
a
14
解：
a
8
a
5
(
8
5
)
d
即
15
<
/p>
6
3
d
∴
d
3
从而
<
/p>
a
14
a
5
(
14
5
)
d
6
9
3
33
< br>
3.
在等差数列
a
n
中若
a
1
< br>a
2
a
5
3
0
，
a
6
<
/p>
a
7
a
10
80
，
求
a
11
a
12
a
15
解：∵
6+6=11+1
7+7=12+2
……
∴
2
a
6
a
1
a
11
2
a
7
a
2
a
12
……
∴
(
a
11
a
12
a
15
)
+
(
a
1
a
2
a
5
)
2
(<
/p>
a
6
a
7
a
10
)
∴
a
11
a
12
a
15
=2
(
a
6
a
7
< br>
a
10
)
(
a
1
a
2
<
/p>
a
5
)
=2
×
80
30=130
五、小结
本节课学习了以下内容：
1
．
A
a
b
a
< br>,
b
,
成等差数列
2
2
．在等差数列中，<
/p>
m+n=p+q
< br>a
m
a
n
a
p
a
q
(m,
n, p, q
∈
N )
六、课后作业
：
1.
在等差数列
a
n
中，
d
为公差，若
m
,
n
,
p
,
q
N
且
m
n
p
q
学习必备
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求证：
1
a
m
a
n
a
p
a
q
2
a
p
a
q
(
p
q
)
d
证明：
1
设首项为
a
1
，
a
m
a
n
a
1
(
m
< br>1
)
d
a
1
(
n
1
)
d
2
a
1
(
m
n
2
)
< br>d
a
p
a
q
a
1
(
p
1
)
d
a
1
(
q
1
)
< br>d
2
a
1
(
p
q
2
)
d
∵
m
n
p
q
∴
a
m
< br>a
n
a
p
a
q
2
∵
a
p
a
1
(
p
1
)
< br>d
a
q
(
p
q
)
d
a
1
(
q
< br>
1
)
d
(
p
q
)
d
a
1
(
p
1
)
d
∴
a
p
a
q
(
p
q
)
d
2.
在等差数列
a
n
中，
若
a
5
a
< br>
a
10
b
求
a
15
解：
2
a<
/p>
10
a
5
a
15
即
2
b
a
a
15
∴
a
15<
/p>
2
b
a
3.
在等差数列
a
n
中，若
a
3
a
8<
/p>
m
求
a
5
a
6
解：<
/p>
a
5
a
6
=
a
3
a
8
m
4.
成等差数列的四个数
之和为
26,
第二数和第三数之积为
4
0,
求这四个数．
解：设四个数为
a
3
d
,
a
d
,
a
d
,
a
3
d
(
a
3
< br>d
)
(
a
d
)
(
a
d
)
(
a
3
d
)
26
则：
(<
/p>
a
d
)(
a
d
)
40
由①：
a
13
3
代入②得：
d
2
2
∴
四个数为
2,5,8,11
或
11,8,5,2
．
5
在等差数列
a
n
中，若
a
1
a
4
a
8<
/p>
a
12
a
15
2
求
a
8
．
解：∵
a
1
a
15
a
< br>4
a
12
∴
a
8
2<
/p>
七、板书设计
（略）
八、课后记：
学习必备
欢迎下载
课
题
：
3.3
等差数列的前
n
项和（一）
教学目的：
1
．掌握等差数列前
n
项和公式及其获取思路．
2
．
会用等差数列的前
n
项和公式解决一些简单的与前
n
项和有关的问题
教学重点：
等差数列
n
项和公式的理解、推导及应
教学难点：
灵活应用等差数列前
n
项公式解决一些简单的有关问题
授课类型：
新授课
< br>课时安排：
1
课时
教
具
：多媒体、实物投影仪
内容分析
：
本节是
在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求
和公式，并能利用它求
和
解决数列和的最值问题
等差数列求和公式的推导，采
用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第
k
项与倒数第
k
项的
和都等于
首项与末项的和这一性质的认识和发现
通过对等差数列求和公式的推
导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法
教学过程
：
一、复习引入：
首先回忆一下前几节课所学主要内容：
1
．等差数列的定义
：
a
n
－
a
n
1
=d
，
（
n
≥
2
，
n
∈
N
）
2
．等差数列的通项公式：
a
n
a
1
(
n
< br>
1
)
d
(
a
n
a
m
(
n
m
)
d
或
a
n
=pn+q (p
、
q<
/p>
是常数
))
3
．几种计算公差
d
的方法：
①
d=
a<
/p>
n
－
a
n
1
②
d
=
4
．等差中项
：
A
a
n<
/p>
a
1
a
a
m
③
d
=
n
n
1
n
m
a
b
a
,
b
,
成等差数列
2
5
．等差数列的性
质：
m+n=p+q
a
m
a
n
a
p
a
q
(m, n, p, q
∈
N )
6
．
数列的前
n
项和：
数列
a
n
中
，
a
1
a<
/p>
2
a
3
a
n
称为数列
a
n
的前
n
项和，记为
S
n
.
“
小故事
”
:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时
,
有一次老师出了一道题目
,
学习
必备
欢迎下载
老师说
:
“
现在给大家出道题目
:
1+2+
…
100=?
”
过了两分钟
,
正当大家在：
1+2=3
；
3+3=
6
；
4+6=10
…算得不亦乐乎时，
高斯
站起来回答说：
“
1+2+3+
…
+100=5050
教师问：
“你是如何算出答案的？
<
/p>
高斯回答说：因为
1+100=101
；
2+99=101
；…
50+51=101
，所以
101
×
50=5050
”
这个故事告诉我们：
（
1
）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的
事物中发现和寻找出某些规律性的东西
（
2
）该故事还告诉我们求等差数列前
n
项和的一种很重要的思想方法，这就
是下面我们要介绍的“
倒序相加”法
二、讲解新课：
如图，
一个堆放铅笔的
V
< br>形架的最下面一层放一支铅笔，
往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层
放
120
支，
这个
V
形架上共放着多少支铅笔
?
这
是一堆放铅笔的
V
形架，这形同前面所接触过的堆放
钢管的示意图，
看到此图，
大家都会很快捷地找到
每一层的铅
笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出
每一层的铅笔数
.
那么，
这个
V
形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如
何
解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？
这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的
“
小故事
”
问题，它可以看成是求
等差数列
1
，
2
，
3
，…，
n
,
…的前
120
项的和
.
在上面的求解中，我们发现所求
的和可用首项、
末项及项数
n
来表示，且任意的第
k<
/p>
项与倒数第
k
项的和都等
于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前
n
项的和
.
如果我
们可归纳出一
计算式，那么上述问题便可迎刃而解
.
1
．等差数列的前
n
项和公式
1
：
S
n
n
(
a
1
a
n
)
< br>
2
证明：
S
n
a
1
a
2
a
3
<
/p>
a
n
1
a
n
①
S
n
a
n
a
n
1
a
n
2
< br>
a
2
a
1
②
①
+
②：
2
S
n
(
a
1
a
n
)
(
a
2
a
n
1
)
(
a<
/p>
3
a
n
2
)
(
a
n
a
n
)
∵
a
1
a
< br>n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
学习必备
欢迎下载
∴
2
S
n
n
(
a
1<
/p>
a
n
)
由此得：
S
n<
/p>
n
(
a
1
a
n
)
2
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2
．
等差
数列的前
n
项和公式
2
：
S
n
na
1
n
(
n
1
)
d
2
用上述公式要求
S
n
< br>必须具备三个条件：
n
,
a
1
,
a
n
但
a
n
a
1
(
n
1
)
d
< br>代入公式
1
即得：
S
n
na
1
n
(
< br>n
1
)
d
2
此公式要求
S
n
必须已知三个条件
：
n
,
a
1<
/p>
,
d
（有时比较有用）
总之：两个公式都
表明要求
S
n
必须已知
n
,
a
1
,
d
,
a
n
中三个
公式二又可化成式子
：
S
n
d
< br>2
d
n
(
a
1
)
n
，
当
d
≠
0
，是一个常数项为零的二次式
2
2
三、例题讲解<
/p>
例
1
一个堆
放铅笔的
V
型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它
下面一层多放一支，最上面一层放
120
支
，这个
V
形架上共放着多少支铅笔？
解：
由题意可知，
这个
V
形架上共放着
120
层铅笔
，
且自下而上各层的铅
笔成等差数列，记为
a
n
，其中
a
1
1
,
a
120
120
，根据等差数列前
n
项和的
公式，得
S<
/p>
120
120
(
1
12
0
)
7260
2
答：
V
形架上共放着
7260
支铅笔
例
2
等差数
列
-10
，
-6
，
-2
，
2
，…前多少项的和是
54
？
解：设题中的等差数列为
a
< br>n
，前
n
项为
S
n
则
a
1
10
,
d
(
6
)
(
10
)
< br>4
,
S
n
54
由公式可得
10
n
< br>n
(
n
1
)
4
54
2
解之
得：
n
1
9
,
n
2
3
（舍去）
<
/p>
∴等差数列
-10
，
-6
，
-2
，
2
…前
9
项的和是
54
例
3
.
已知等差数列
{
a
n
}
中
a
1
=13
且
S
3
=
S
11
,
那么
n
取何值时
,
S
n
取最大值
.
学习必备
欢迎下载
解法
1
：设公差为
d
，由
S
3
=
S
11
得：
3
×
13+3
×
2d/2=11
×
13+11
×
1
0d/2
d= -2,
a
n
=13-2(n-1),
a
n
=15-2n,
a
n
0
15
2
n
0
由
即
得：<
/p>
6.5
≤
n
≤<
/p>
7.5,
所以
n=7
时
,
S
n
取最大值
.
a
0
15
2
(
n
1
)
0
n
1
解法
2:
由解
1
得
d= -2,
又
a
1
=13
所以
S
n
d
2
d
n
(
a
1
)
< br>n
= - n
2
+14 n
2
2
2
= -
（
n-7
）
+49
∴当
n=7
，
S
< br>n
取最大值
对等差数列前项和的最值问题有两种方法
:
（
1
）
利用
a
n
:
当
a
n
>0<
/p>
，
d<0
，前
n
项和有最大值
可由
a
< br>n
≥
0
，且
a
n
1
≤
0
，求得
n
的值
当
a
n
<0
，
d>0
，前
n
项和有最小值
可由
a
n
≤
0
< br>，且
a
n
1
≥
0
，求得
n
的值
（
2
）
利用
S
n
：
由
S
n
d
2
d
n
(
a
1
)
n
利用二次函数配方法求得最值时
n
的值
2
2
四、练习
：
1
．求集合
M
m
|
m
7
n
,
n
N
*
且
m
100
的元素个数，并求
这些元素的和
100
2
14
7
7
<
/p>
∴正整数
n
共有
14
个即
M
中共有
14
个元素
解：由
7
n
100
得
n
即：
7
，
14
，
21
，…，
98
是
a
1
7
为首项
a
14
98
的
AP
∴
S
n
14
(
7
98
)
735
答：略
2
2.
已知一个等差数列的前
10
项
的和是
310
，前
20
项的和是
1220
，
学习必备
欢迎下载
求其前
n
项和的公式
.
解：由题设：
S
10
310
S
20
1220
得：
<
/p>
10
a
1
45
d
310<
/p>
a
1
4
20
a
1
190
d
1220
d
6
n
(
n
1
)
6
3
n
2
< br>
n
2
n
(
a
1
a
n
)
2
∴
S
n
4
n
五、小结
本节课学习了以下内容：
1.
等差数列的前
n
项
和公式
1
：
S
n
2.
等差数列的前
n
项和公式
2
：
S
n
na
1
3.
S
< br>n
n
(
n
1
)
d
2
d
2<
/p>
d
n
(
a
1
)
n
，
当
d
≠
0
，是一个常数项为零的二次式
2
2
4.
对等差数列前项和的最值问题有两种方法
:
（
3
）
利用
a
n
:
当
a
n
>0<
/p>
，
d<0
，前
n
项和有最大值
可由
a
< br>n
≥
0
，且
a
n
1
≤
0
，求得
n
的值
当
a
n
<0
，
d>0
，前
n
项和有最小值
可由
a
n
≤
0
< br>，且
a
n
1
≥
0
，求得
n
的值
（
4
）
利用
S
n
：
S
n
六、课后作业
：
d
2
d
n
(
a
1
)
n
二次函数配方法求得最值时
n
的值
2
2
已知等差数列的前
n
项和为
a
，前
2
n
项和为
b
，求前
3
n
项和．
解：由题设
S
n
a
S
2
n
b
∴
a
n
1
a
n
< br>
2
a
2
n
b
a
而
(
a
1
a
2
a
n
)
< br>(
a
2
n
1
a
2
n
2
a
3
n
)
2
(
a
n
< br>1
a
n
2
a
2
n
)
S
3
n
(
a
1
a
2
< br>
a
n
)
(
a
n
1
a
n
2
a
2
n
)
(
< br>a
2
n
1
a
2
n
|
2
a
3
n
)
3
(
a
n
< br>1
a
n
2
a
2
n
)
3
(
b
a
)
七、板书设计
（略）
八、课后记：
学习必备
欢迎下载
课
题
：
3.3
等差数列的前
n
项和（二）
教学目的：
1.
进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前
n
项和公式
.
2.
了解等差数列的一些性质，并会用它
们解决一些相关问题
.
教学重点：
熟
练掌握等差数列的求和公式
教学难点：
灵活应用求和公式解决问题
授课类型：
新授课
< br>课时安排：
1
课时
教
具
：多媒体、实物投影仪
内容分析
：
本节是
在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的
教学过程
：
一、复习引入：
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1.
等差数列的前
n
项和公式
1
：
S
n
n
(
a
1
a
n
)
2
2.
等差数列的前
n
项和公式
2
：
S
n
na
1
3.
S
n
n
(
n
1
)
d
2
d
2
d
n
(
a
1
)
n
，
当
d
≠
0
，是一个常数项
为零的二次式
2
2
< br>4.
对等差数列前项和的最值问题有两种方法
:
（
5
）
利用
a
n
:
当
a
n
>0<
/p>
，
d<0
，前
n
项和有最大值
可由
a
< br>n
≥
0
，且
a
n
1
≤
0
，求得
n
的值
当
a
n
<0
，
d>0
，前
n
项和有最小值
可由
a
n
≤
0
< br>，且
a
n
1
≥
0
，求得
n
的值
（
6
）
利用
S
n
：由
S
n
d
2
d
n
(
a
1
< br>)
n
二次函数配方法求得最值时
n
的值
2
2
二、例题讲解
例
1
.
求集
合
M
={
m
|
m
=2
n
－<
/p>
1,
n
∈
N
*
,
且
m
＜
60}
的元素个数及这些元素的和
.
解：由
2
n
－
1
＜
60,
得
n
＜
∴满足不等式<
/p>
n
＜
61
,
又∵
n
∈
N
*
2
61
的正整数一共有
30
个
.
2
学习必备
欢迎下载
即
集合
M<
/p>
中一共有
30
个元素，可列为：
1
，
3
，
5
，
7
，
< br>9
，…，
59
，组成
一个以
a
1
=1,
a
30
=59,
n
=30
的等差数列
.
n
(
a
1
a
n
)
30
(
1
5
9
)
,
∴
S<
/p>
30
=
=900.
2
2
答案：集合
M
中一共有
30
个元素，其和为
900.
例
2.
在小于
100
的正整数中共有多少个数能被
3
除余
2
，并求这些数的和
分析：满足条件的数属于集合，
M
={
m
|
m
=3<
/p>
n
+2,
m
＜<
/p>
100,
m
∈
N
*
}
解：分析题意可得满足条件的数
属于集合，
M
={
m
< br>|
m
=3
n
+2,
m
＜
100,
n
∈
N
*
< br>}
2
由
3
n
+2
＜
100,
得
n
＜
32
< br>,
且
m
∈
N
*
,
3
∴
n
可取
0
，
1
，
2
，
3
，…，
32.
即
在小于
1
00
的正整数中共有
33
个数能被
3
除余
2.
把这
些数从小到大排列出来就是：
2
，
5<
/p>
，
8
，…，
98
.
∵
S
n
=
它们可组成一个以
a
1
=2,
d
=3,
a
33
=98,
n
=33
的等差数列
.
n
(
a
1
a
n
)
33
(
2
98
)<
/p>
,
得
S
33
=
=1650.
2
2
答：
在小于
100
的正整数中共有
33
个数能被
3
除余
2
，
这
些数的和是
1650.
由
S
n
=
例
3
已知数列
a
n
,
是等差数列，
S
n
是其前
n
项和，
求证：⑴
S
6
，
S
12
-
S
6
，
S
18
-
S
12
成等差数列；
⑵设
S
k
,
S
2
k
S
k
,
S
3
k
S
2
k
（
k
< br>N
）成等差数列
证明：设
a
n
,
首项是
a
1
，公差为
d
则
S
6
a
1
a
2
a
3
< br>a
4
a
5
a
6
∵
S
12
<
/p>
S
6
a
7
a
8
a
9
a
10
a
< br>11
a
12
< br>
(
a
1
6
d
)
(
a
2
6
d
)
(
a
3
6
d
)
< br>
(
a
4
6
d
)
(
a
5
6
d
)
(
a
6
6
d
)
< br>(
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
)
36
d
S
6
36
d
S
< br>18
S
12
< br>
a
13
a
14
a
15
a
16
a
17
a
18
(
a
7
6
d
)
(
a
8
6
d
)
(
a
< br>9
6
d
)
(
a
1
0
6
d
)<
/p>
(
a
11
6
d
)
(
a
12
6
d
)
∵
∴
学习必备
欢迎下载
(
a
7
a<
/p>
8
a
9
a
10
a
11
a
12
)
36
d
(
S
12
S
6
< br>)
36
d
S
6
,
S
12
S
6
,
S
18<
/p>
S
12
是以<
/p>
36d
为公差的等差数列
2
同理可得
S
k
,
S
2
k
S
k
,
S
3
k
S
2
k
是以
k
d
为公差的等差数列
.
三、练习
：
1
．一个等差数列前
4
项的和是
24
，前
5
项的和与
前
2
项的和的差是
27
，
求这个等差数列的通项公式
.
分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解
.
解：根据题意，得
S
4
=2
4,
S
5
－
S
2
=27
则设等差数列首项为
a
1
,
公差为
d
,
4
(
4
1
)
d
4
< br>a
24
1
2
则
<
/p>
(
5
a
5
(
5
1
)
d
)
(
2
a
2
(
2
1
)
d
)<
/p>
27
1
1
2
2
a
1
3
解之得：
∴
a
n
=3+2<
/p>
（
n
－
1
）
=2
n
+1. <
/p>
d
2
2
．两个数列
1,
x
1
,
x
2
,
……
,
x
7
,
5
和
1,
y
1
,
y
2
,
……
,
y
6
, 5
均成等差数
列公差分别是
d
1
,
d
2
,
求<
/p>
x
x
2
x
7
d
1
与
1
的值
< br>y
1
y
2
y
6
d
2
解：
5
＝
1
＋
8
d
1
,
d
1
＝
d
1
< br>4
7
,
又
5
＝
1
＋
7
d
2
,
d
2
＝
,
∴
1
＝
; <
/p>
d
2
2
7
8
x
1
+
x
2
+
……
+
x
7
＝
7
x
4
＝
7
×
1
5
＝
21,
< br>2
y
1
+
y
2
+
……
+
y
6
＝
3
×
(1
＋
5)
＝
18,
∴
x
1
x
2
x
7
7
< br>＝
.
y
1
y
2
y
6<
/p>
6
3
．在等差数列
{
a
n
}
中
,
a<
/p>
4
＝－
15,
公差
d
＝
3,
求数列
{
a
n
}
的前
n
项和
学习必备
欢迎下载
S
n
的最小值
解法
1<
/p>
：∵
a
4
＝
a
1
＋
3d,
∴
－
15<
/p>
＝
a
1
＋
9,
a
1
＝－
24,
3
n<
/p>
(
n
1
)
3
51
2
51
2
∴
S
n
＝－
24n
＋
＝
[(n
－
)
－
],
36
2
2
6
∴
当
|n
－
51
|
最小时，
S
n
最小
，
6
即当
n
＝
8
或
n
＝
9
时，
S
8
＝
S
9
＝－
108
最小
.
解法
2<
/p>
：由已知解得
a
1
＝－
24, d
＝
3,
a
n
＝－
24
＋
3(n
－
1),
由
a
n
≤
0
得
n
≤
9
且
a
9
＝
0,
∴当
n
＝
8
或
n
＝
9
时，
S
8
＝
S
9
＝－
108
最小
.
四、小结
本节课学习了以下内容：
a
n
是等差数列，
S
n
是其前
n
项和，则
S
k
,
S
2
k
S
k<
/p>
,
S
3
k
S
2
k
（
k
N
）仍成等差数列
五、课后作业
：
1
．一凸
n
边形各内角的度数成等
差数列，公差是
10
°
,
最小内角为
100
°
,
求边数
n.
解：由
(n
－
2)
·
180
＝
100n
＋
2
n
(
n
1
)
×
10
，
2
求得
n
－<
/p>
17n
＋
72
＝
0,
n
＝
8
或
n
＝
9,
当
n
＝
9
时
,
最大内角
100
＋
(9
－
1)
×
10
＝
180
°不合题意，舍去，∴
n
＝
8.
2
．已知非常数等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足
10
S
n
m
2
3
n
2
(
m
1<
/p>
)
n
mn
解：由题设知
5
2
(n
∈
N,
m
∈
R),
求数列
< br>{
a
5
n
3
}
的前
n
项和
.
S
n
＝
lg(
m
2
3
2<
/p>
n
5
(
m
1
)
n
2
mn
(
m
1
)
< br>n
2
mn
)
＝
lgm
＋
nlg3
＋
lg2,
5
2
学习必备
欢迎下载
即
S
n
＝
[
(
m
1
)
m
lg
2
]n
2
＋
(lg3
＋
lg
2
)n
＋
lgm
2
,
5
5
∵
{
a
n
}
是
非常数
等差数列，当
d
≠
0
，是一个常数项为零的二次式
(<
/p>
m
1
)
lg
2
≠
0
且
lgm
2
＝
0,
∴
m
＝－
1,
5
2
1
∴
S
n
＝
(
－
lg2)n
2
＋
(lg3
－
lg2)n,
5
5
3
则
当
n=1
时，
a
1
＝<
/p>
lg
3
lg<
/p>
2
5
2
1
当
n
≥
2
时
,
a
n
＝
S
n
－
S
n
1
＝
(
－
lg
2)(2n
－
1)
＋
< br>(lg3
－
lg2)
5
5
4
1
＝
n
lg
2
lg
3
lg
2
5
< br>5
4
1
∴
a
n
＝
n
lg
2
lg
3
lg
2<
/p>
5
5
4
d=
a
n
1
a
n
=
lg
2
5
4
1
< br>a
5
n
3
=
(
5
n
3
)
lg
2
lg
3
lg
2
5
5
11
=
4
n
lg
2
lg
3
lg
2
5
31
数列
{
a
5
n
3
}
是以
a
8
< br>=
lg
3
lg
2
为首项
,5d=
4
lg
2
< br>为公差的等差数列，
5
∴
∴数列
{
a
5
n
3
}
的前
n
项和为
n
·
(
lg
3
31
21
1
lg
2
)
＋
n(n
－
1)
·
(
4
lg
2
)
＝
2
n
2
lg
< br>2
(lg
3
< br>
lg
2
)
n
2
5
5
3
．一个等差数列的前
12
项和为
354
，前
12
项中偶数项的和与奇数项的
和之比为
32:2
7
，求公差
d.
解：设这个数列的首项为
a
1
,
公差为
d
，则偶数项与奇数项分别都是公
12
a
1
66
d
354
32
,
解得
d
＝
5.
差为
2d
的等差数列，由已知得
6
a
2
30
d
6
a
< br>1
30
d
27
解
法
2
：
设
偶
数
项
和
与
奇
数
项
和
分
别
为
S
偶
，
S
奇
，
则
< br>由
已
知
得
学习必备
欢迎下载
S
偶
S
奇<
/p>
354
S<
/p>
32
,
求得
S<
/p>
偶＝
192
，
S
奇＝
162
，
S
偶－
S
奇＝
6d,
∴
d
＝
5.
偶
S
27
奇
4
．两个等差数列，它们的前
n
项和之比为
项的比
5
n
3
,
求这两个数列的第九
2
n
1
解：
a
9
a
1
a
17
<
/p>
b
9
b
1
b
17
17
(
a
1
a
17
)
S
8
.
2
17
'
< br>17
S
17
3
< br>(
b
1
b
17
)
2
5
．一个等差数列的前
10
项和为
100
，前
100
项和为
10
，求它的前
110
项和
解：在等差数列中，
S
10
,
S
20
－
S
10
,
S
30
－
S
20
,
……
,
S<
/p>
100
－
S
90
,
S
110
－
S
100
,
成等差数列，
∴
新数列
的前
10
项和＝原数列的前
100
项和，
10
S<
/p>
10
＋
10
<
/p>
9
·
D
＝
S
100
＝
10,
解得
D
＝－
2
2
2
∴
S
110
－
S
100
＝
S
10
＋
10
×
D
＝－
12
0,
∴
S
110
＝－
110.
6
．设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
3
＝
12
，
S
12
>0
，
S
13
<0
，
(1)
求
公差
d<
/p>
的取值范围；
(2)
指出
S
1
,
S
2
,
S
3
,
……
,
S<
/p>
12
中哪一个最大，说明理由
12
11
S
12
a
d
0
1
12
< br>2
a
1
11
d
0
2
解：
(1)
,
<
/p>
13
12
a<
/p>
6
d
0
1
S
13
13
a
1
d
0
2
∵
a
3
＝
a
1
＋
2d
＝
12,
代入得
2
4
7
d
0
24
,
∴
－
－
3,
7
3
d
0
(2)
S
13
＝
13
a
7<
/p>
<0,
∴
a
7
<0,
由
S
12
＝
6
(
a
6
＋
a<
/p>
7
)>0,
∴
a
6
＋
a
7
>0,
∴
a
6
>0,
S
6
最大
.
六、板书设计
（略）
七、课后记：
学习必备
欢迎下载
课
题
：
3.4
等比数列（一）
教学目的：
1.
掌握等比数列的定义
.
2.
理解等比数列的通项公式及推导
教学重点：
等比数列的定义及通项公式
教学难点：
灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
授课类型：
新授课
<
/p>
课时安排：
1
课时
内容分析：
在等比数列也是一
类重要的特殊数列，在讲等比数列的概念和通项公式时
要突出它与指数函数的联系
这不仅可加深对等比数列的认识，而且可以对处理
某类问题的指数函数
方法和等比数列方法进行比较，从而有利于对这些方法的
掌握从全面提高学生的素质考虑
，本节课把等比数列定义及通项公式的探索、
发现、创新等思维过程的暴露，知识形成过
程的揭示作为教学重点，同时，由
于“思维过程的暴露，知识形成过程的揭示”不像将知
识点和盘托出那么容易，
而是要求教师精心设计问题层次，由浅入深，循序渐进，不断地
激发学生思维
的积极性和创造性，使学生自行发现知识．
“创造
”知识．这是对教师，也是对
学生高层次的要求，因而是教学的难点之一．
教学过程
：
一、复习引入：
首先回忆一下前几节课所学主要内容：
1
．等差数列的定义
：
a
n
－
a
n
1
=d
，
（
n
≥
2
，
n
∈
N
）
2
．等差数列的通项公式：
a
n
a
1
(
n
< br>
1
)
d
(
a
n
a
m
(
n
m
)
d
或
a
n
=pn+q (p
、
q<
/p>
是常数
))
3
．几种计算公差
d
的方法：
d=
a
n
－
a
n
1
=
4
．等差中项：
A
a
n
a
1
a
n
< br>
a
m
=
n
1
n
m
a
b
a
,
b
,
成等差数列
2
5
．等差数列
的性质：
m+n=p+q
a
m
a
n
a
p
a
q
(m, n, p, q
∈
N
)
6
．<
/p>
数列的前
n
项和
S
n
：
S
n<
/p>
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
d
，
S
n
na
1
2
2
学习必备
欢迎下载
S
n
d
2<
/p>
d
n
(
a
1
)
n
，
当
d
≠
0
，是一个常数项为零的二次式
2
2
7
．
S
n
是等差数列前
n
项和，则
S
k
,
S
2
k
S
k
,
S
3
k
S
2
k
仍成等差数列
<
/p>
前面我们已经研究了一类特殊的数列—等差数列，今天我们一起研究第二
< br>类新的数列——等比数列
二、讲解新课：
下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点
?
1
，
2
，
4
，
8
，
< br>16
，…，
2
63
;
①
5
，
25
，
125
，<
/p>
625
，…；
②
1
，－<
/p>
,
,
1
1
2
4
1
，…；
③
8
n
1
对于数列①
，
a
n
=
2<
/p>
;
a
n
=2<
/p>
（
n
≥
2
）
a
n
1
对于数列②，
a
n
=
5
;
n<
/p>
a
n
=5
（
n
≥
2
）
a
n
1
对于数列③，
a
n
=
(
1
)
n
1
·
1
2
n
1
；
a
n
1
（<
/p>
n
≥
2
）
a
n
1
2
共同特点：
从第二项
起，第一项与前一项的比都等于同一个常数
1
．等比数列
：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比
等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列
.
< br>这个常数叫做等比数列的公
a
n
比；公比通常用字母
q
表示（
q
≠
0
）
，即：
=
q
（
q
≠
0
）
a
n
1
1
“从第二项起”与“前一项”之比为常数
(q)
｛
a
n
｝成等比数列
a
n
1
=
q
（
n
N
,
q
< br>≠
0
a
n
2
隐
含：任一项
a
n
0
且
q
0
“
a
n<
/p>
≠
0
”是数列｛
a
n
｝成等比数列的必要非充分条件．
3
q= 1
时，
{a
n
}
为常数
n
1
2.
等比数列的通项公式
1:
a
n
a
1
q
(
a
1
< br>q
0
)
学习必备
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由等比数列的定义，有：
a
2
a
1
q
；
a
< br>3
a
2
q
(
a
1
q
)
q
a
1
q
2
；
a
4
a
3
q
< br>
(
a
1
q
2
)
q
a
1
q
3
；
…
…
…
…
…
…
…
a
n
a
n
1
q
a
1
q
n
< br>1
(
a
1
q
0
)
m
1
3.
等比数列的通项公式
2:
a
n
< br>a
m
q
(
a
1
q
0
)
4
．既是等差又是等比数列的数列
：非零常
数列．
三、例题讲解
例
求下列各等比数列的通项公式：
1
．
a
1
=
2,
a
3
=
8
2
解：
a
3
a
1
q
q
4
q
< br>
2
a
n
(
2
)
2
n
1
2
n
或
a
n
(
< br>
2
)(
2
)
n
1
(
2<
/p>
)
n
2
．
a
1
=5,
且
2
a
n
<
/p>
1
=
3
a
n
解：
q
a
n
1
3
< br>
a
n
2
3
又：
a
1
5
a<
/p>
n
5
(
)
n
1
2
3
．
a
1
=5,
且
a
n
1<
/p>
n
a
n
n
1
a
3
2
a
n
1
,
,
n
a
2<
/p>
3
a
n
1
n
解：
a
n
1
a
n
1
< br>
2
,
a
n
n
1
a
1
2
以上各式相乘得：
a
n
四、练习
：
< br>1
3
a
1
n
n
1
．求下面等比数列的第
4
项与第
5
项：
（
1
）
5
，－
15
，
45
，……；
（
2
）
1.2
，
2.4
，
4.8
，……；