2013届高三数学二轮复习 专题三 第2讲 数列求和及数列的综合应用教案
-
第
2
讲
数列求和及数列的综合应用
自主学习导引
真题感悟
1
．
(2012·大纲全国卷
)
已知等差
数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
5<
/p>
＝
5
，
S
5
＝
15
，
则数列
的前
100<
/p>
项和为
A.
1
00
99
99
101
< br>
B.
C.
D.
101
101
100
100
1
a
n
a
n
＋
1
解析
利用裂项相消法求和．
设等差数列<
/p>
{
a
n
}
的首项为
a
1
，公差
为
d
.
∵
a
5
＝
5
，
S
5
＝
15
，
a
1
＋
4
d
＝
5
，
∴
5×5－
1
< br>5
a
d
＝
15
，
1
＋
2
∴
<
/p>
∴
a
1
＝
1
，
d
＝
1
，
∴
a
n
＝
a
1
＋
< br>(
n
－
1)
d
＝
n
.
1
a
n
a
n
＋
1
n
1
＝
1
1
1
＝
－
，
n
＋
1
n
< br>n
＋
1
∴数列
< br>{
答案
A
< br>1
1
1
1
1
1
100
}
的前
100
项和为
1
－
＋
－
＋…
< br>－
＝
1
－
＝
.
a
n
a
n
＋
1
2<
/p>
2
3
100
10
1
101
101
2
．
(2012
·浙江
)
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
＝
2
n
2
＋
n
，
< br>n
∈
N
＋
，数列
{
b
n
}
满足
a
n
＝
4log
2
b
n
＋
3
，
n
∈
N
＋
. <
/p>
(1)
求
a
n<
/p>
，
b
n
；
(2)
求数列
{<
/p>
a
n
·
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
解析
(1)
由
S
n
＝
2<
/p>
n
2
＋
n
，得
当
n
＝
1
时，
a
1
＝
S
1
＝
3
；
当
n
≥
2
时，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝
4
n
－
1.
所以
a
n
＝
4
n
－
1
，
n
∈
N
＋
.
由
4
n
－
1
＝
a
n
＝
4log
2
b
n
＋
3
，得
b
n
＝
2
n
－
1
，
n
∈
N
＋
.
(2)
由
(1)
知
a
n
b
n
＝
(4
n
－
1)
·
2
n
－
1
，
n
∈
N
＋
，
- 1 -
所以
T
n<
/p>
＝
3
＋
7
×
2
＋
11
×
2
2
＋…＋
(4
n
－
1)
·
2
n
－
1
，
2
< br>T
n
＝
3
×
2
＋
7
×
2
2
＋…＋
(
4
n
－
5)
·
2
n
－
1
＋
(4
n
－
1)
·
2
n
，
所以
2
T
n
－
T
n
＝
(4
n
< br>－
1)2
n
－
< br>[3
＋
4(2
＋
2
2
＋…＋
2
n
－
1
)]
< br>＝
(4
n
－
5)2
n
＋
5.
故
T
n
＝
(4
n
－
5)2
< br>n
＋
5
，
n
∈
N
＋
.
考题分析
数列的求和是高考的必考内
容，可单独命题，也可与函数、不等式等综合命题，求解的过程
体现了转化与化归的数学
思想，解答此类题目需重点掌握几类重要的求和方法，并加以灵活
应用．
网络构建
高频考点突破
考点一：裂项相消法求
数列的前
n
项和
2
【例
1
】(2012·门头沟一
模
)
数列
{
a
n
}
的前
n<
/p>
项和
S
n
＝
n
＋
1.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
设
b
n
＝
1
(
n
∈
N
＋
)
，求
数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
a
n<
/p>
·
a
n
＋
1
S
1
，
n
＝
1
，
[
审题导引
]
(1)
运用公式
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
，
< br>n
≥2，
< br>求
a
n
，注意
< br>n
＝
1
时通项公式
a
n
；
(2)
裂项法求和．
[
规范解答
]
(1)
由已知，当
n
＝
1
时，
a
1
＝
S
1
＝
2
，
当
n
≥2
时，
a
n
＝
S
n
－<
/p>
S
n
－
1
＝
2
n
－
1
，
2
，
n
＝
1
，
∴数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
＝
<
/p>
2
n
－
1
，
n
≥2.
(2)
由
(
1)
知，
- 2 -
1
6
，
n
＝
1
，
b
＝
1
1
1
1
< br>－
＝
，
n
≥2，
2
n
－
1
2
n
＋
1<
/p>
2
2
n
－
1
2
n
＋
1
n
1
当
n
＝
1
时，
T
1
＝
b
1
＝
，
6
当
n
≥2
时，
T
n
＝
b
1
＋
b
2
＋…＋
b
n
1
1
< br>1
1
1
1
1
1
1
1
－
＝
＋
－
＋
－
＋…＋
＝
－
，
2
n
－
1
2
n
＋
< br>1
3
4
n
＋
2
6
2
3
5
5
7
1
1
∴
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
＝
－
.
3
4
n
＋
2
【规律总结】
常用的裂项技巧和方法
用裂项相消法
求和是最难把握的求和问题之一，其原因是有时很难找到裂项的方向．突破这
类问题的方
法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧，如：
1
1
1
1
(1)
＝
－
；
n
n
＋
k
k
n
n
< br>＋
k
(2)
< br>1
m
－
1
m
n
＋
k
＋
n
k
m
1
＝
(
n
＋
k
－
n
)
；
(3)C
n
＝
C
n
＋
1
－
C
n
；
(4)
n
·
n
！＝
(
n
＋
1)
！－
n
！等．
[
易错提示
]
利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：
< br>(1)
裂项过程中易忽视常数，如
1
1
1
1
容易误裂为
－
，漏掉前面的系数
；
n
n
＋
2
n
n
＋
2
2
(2)
裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项
的问题，导致计算结果错误．
【变式训练】
1
．(2012·大连模拟
)
已知函数
f
(
x
)
＝
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式
< br>a
n
；
1
n
(2)
若数列
< br>{
b
n
}
满足
b
n
＝
a
n
a
n
＋<
/p>
1
·3
，
S
n
＝
b
1
＋
b
2
＋…＋
b
n
，求
S
n
.
2
1
3
，∴
＝
＋
1.
a
n
＋
3
a
n
＋
1
a
n
1
1
1
1
<
/p>
1
1
3
∴
＋
＝
3
＋
，并且
＋
＝
，
a
n
＋
1
2
a
n
2
a
1
2
2<
/p>
1
1
3
∴数列
＋
为以
为首项，
3<
/p>
为公比的等比数列，
2
a
n
2
1
1
3
2
n
－
1
∴<
/p>
＋
＝
·3
，∴<
/p>
a
n
＝
n
.
a
n
2
2
3
－
1
n
2·3
1
1
(2)
b
n
＝
n
＝
n
－
< br>n
＋
1
，
n
＋
1
3
－
1
3
－
1
3
－
1
3
－
1
解析
(1)
由已知，
a
n
＋
1
＝
- 3 -
x
x<
/p>
＋
3
，数列
{<
/p>
a
n
}
满足
a
1
＝
1
，
a
n
＋
1
＝
f
(
< br>a
n
)(
n
∈
N
＋
)
．
a
n
<
/p>
∴
S
n
＝
b
1
＋
b
2
＋…＋
b
n
＝
1
1
1
1
1
1
－
< br>2
＋…＋
n
－
< br>n
＋
1
＝
－
n
＋
1
.
3
－
1
3
－
1
3
－
1
3
－
1
2
3
－
1
< br>考点二：错位相减法求数列的前
n
项和
< br>
【例
2
】
(2012
·滨州模拟
)
设等比数
列
{
a
n
}<
/p>
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
n
＋
1
＝
2
S
n
＋
2(
n
∈
N
＋
)
．
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
1
(2)
在
a
n
与
a
n
＋
1
之间插入
n
个数，使这
n
＋<
/p>
2
个数组成公差为
d
n
的等差数列，求数列
的前
n
d
n
项和
T
n
.
[
审题导引
]
(1)
利用递推式消去
S
n
可求
a
n
；
1
(2)
利用错位相减法求数列
的前
n
项和．
d
n
[
规范解答
]
(1)
由
a
n
＋
1
＝
2
S
n
＋
2(
n
∈
N
＋
)
，
得
a
n
＝
2
S
n
－
1
＋
< br>2(
n
∈
N
＋
，
n
≥
2)
，
两式相减得
< br>a
n
＋
1
－
a
n
＝
2
a
n
，
即
a
n
＋
1
＝
3
a
n
(
n
∈
< br>N
＋
，
n
≥
2)
，
又
a
2
＝
2<
/p>
a
1
＋
2
，
∵
{
a
n
}
是等比数列，所以
a
2
＝
3
a
1
，
则
2
a
1
＋
2
＝
3
< br>a
1
，
∴
a
1
＝
2
，∴
a
n
＝<
/p>
2
·
3
n
－
1
.
(2)
由
(1)
知
a
n
＋
1
＝2·3<
/p>
，
a
n
＝2·3
.
n
－
1<
/p>
4×3
∵
a
n<
/p>
＋
1
＝
a
n
＋
(
n
＋
1)
d
n
，∴
d
n
＝
，
n
＋
1
1
1
1
1
令
T
n
＝<
/p>
＋
＋
＋…＋
，<
/p>
n
n
－
1
d
1
d
2
d
3
d
n
2
3
4
n
＋
1
0
＋
1
＋
2
＋…
＋
n
－
1
①<
/p>
4×3
4·3
4·3
4·3
1
2
3
n
n
＋
1
T
n
＝
＋<
/p>
＋…＋
＋
1
2<
/p>
n
－
1
n
②
3
4·3
4·3
4·3
4·3
2
2
1
1
1<
/p>
n
＋
1
①－②得
T
n
＝
0
＋
1
＋
2
＋…＋
n
－
1
－
n
3
4·3
4·3
4·3
4·3
4·3
1
1
1
－
n
－
1
1
1
3
3
n
＋
< br>1
5
2
n
＋
5
＝
＋
×
－
n
＝
－
n
.
2
4
1
4·3
8
8·3<
/p>
1
－
3
则
T
n
＝
- 4 -