高中数学教学案例文档
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高二数学必修⑤第二章《等比数列前
n
项和》教
学案例
在教学设计时，虽然我把教学等比
数列前
n
项和公式作为重点来处理，但着墨并不多，
因为我把更多的心思放在了练习的设计与安排上，
期望在课堂教学中，
能够在练习这一环节
上绽放精彩。没想到，到头来却成了有心栽花花
不开，无意插柳柳成行。
那天上
课时，一开始先进行常规复习，接着为了烘托课堂气氛，激发学生的求知欲望，
我用故事
激趣导入新课（为表述方便，以下片断中的教师即指称笔者自己）
：
我：
上节课我们学习了等比数
列的概念与通项公式，
谁来说一说怎样的数列叫做等比数列？
判
断等比数列的方法有哪几种？……。
听说有些同学喜欢国际象棋，
关于国际象棋有一个很
有趣的故事，大家想听吗？……，谁知道有多少粒麦子呢？
学生：
（学生
议论纷纷，大多认为不会太多吧）
我：
这个问题就归结为今天要学习的等比数列的求和问题。
等比
数列的前
n
项怎么表示？如
何求出结果
？
学生：
有的学生默不作声，
有的由于预习了教材而脱口说出了求解思路，
教师投以赞许的目
光。
我：请一名学生板书出公式的推导过程：
（
1
）
（
2
）
由（
1
）－（
2<
/p>
）得
（
*
）
我：这种方法叫做
“
错位相减法
”
，并解释为什么称之为
“
错位相减法
”
。问：公式涉及到等比
数列的哪几个基本量？大家对公式有什么要补充吗？
学生：公式（
*
）中
，此公式还可写成
；当
时，是常数列，
我：这是一个重要的公式，应用时要注意什么？（
）大家对于它还有什么问题吗？
<
/p>
不问不打紧，一问还真问出了问题。这时，只见坐在前排的一个学生抛出了一句：
“
老师，
这个
‘
错位相减法
’
是怎么被想出来的呢？
”
我愣了一愣：<
/p>
是呀，
这个方法是怎么被想出来的呢？在以往的教学中，
并没有学生问起这个
问题，
自己也没有留意过这
个问题，
当然更没有研究过这个问题。
面对着全班学生，在众目
睽睽之下，我真的心虚。
风暴乍起，晴天霹雳，躲又没处躲，退也没法退，进又进不得，怎么办？索性与之较量一番
吧！置之死地而后生。嘿！这样一想，心情反而平静了下来。
我：
这位同学提了一个很好的问题，
是呀，
这个方法是怎么被发现的呢？我们能不能自己来
发现公式的推导方法呢？
1
于是我要求每前后两桌的
4
个学生组成一组，
进行探究活动，
一旦有了想法就推举一名代表
发言，陈述想法。
大约
6
、<
/p>
7
分钟后，就有个小组报告说，他们利用倒序相加法来求，
但无论怎么试都不可行。
（评注：
等差数列前
n
项和是利用倒序相加法求得的，
他们
想用这个办法来试试，
他们的这
种想法，于情于理都很自然）<
/p>
接着又有一个小组报告了他们的发现：
学生：
我们发现…中的每项都有…，
所以首先想到的可能是提取…，即…，
但是我们无法求
出…。后来我们又发现除第一项外，也可以提取…，也就是……
（
**
）
但我们不知道这样做有没有用。
（以
上内容均予以板书出来）
我眼睛一
亮，嘿！还真有戏了，不露声色地微微一笑：大家再仔细观察（
**
）
，还能发现什
么？
有学生说：括号内是数列的前
n-1
项求和，也就是…，这样…
（评注：这离真正的求和公式仅一步之遥了）
我：请学生继续思考，希望他们能发现
与
之间的关系。果然几分钟后就有下文了。
学生：…，…，这样代入上式就可以求出…。
我：很好！大家再仔细看看，这个方法与错位相减法有什么关
系呢？
一经提醒，大家可开心了，
每张脸上都写满了兴奋：是呀，他们自己发现了错位相减法，这
能不欢呼雀跃吗！
一看时钟，课已经进行了
30
多分钟，显然原先的例题教学与练习安排不可能按照原计划完
成了，于是我对例题教学进行了压缩，对练习也重新做了调整。
……
<
/p>
下课铃响了，学生们似乎还意犹未尽，我带着些许的不安离开了教室。
这是一堂没有上完的课，
这是
一堂令我难忘的课。
这堂课没有在预计的练习中出彩，
原本没<
/p>
想要它出彩的公式教学却绽放出光彩。
等差数列的前
n
项和”的教学案例
现代认知心理学认为：
学生只有参与教
学实践，
参与问题探究，
才能建立起自己的认知结构，
才能灵活地运用所学知识解决实际问题，
才能有所发现、
有所创新。
传统的教学模式──教
2
师讲、
学生听，
< br>导致学生被动接受知识，
很大程度上阻碍了学生的主动参与，限制了学生的
思维活动及相应能力的培养和形成，
学生很难适应新时期的教育教学要
求。
改进教学模式和
教学方法的变革刻不容缓。中学数学教学中
，在过去的旧观念下的那种“满堂灌”
，到现在
部分教师的
“满堂问”都存在着严重的问题。
“提出问题比解决问题更为重要<
/p>
（爱因斯坦）
”
，
所以提问不是简单的教师提、
学生答，
而应该更多的引导学生
相互提问。
下面就以我的一堂
“等差数列的前
< br>n
项和”
，
，进行教学反思。<
/p>
一、
在探究过程中设问，引导学生主动参与，提高课堂教学效率
<
/p>
新知识的学习都必须通过主体的积极参与，
才能将新知识纳入已有
的认知结构。
在新知识教
学中，为了让学生积极主动的参与到教
学活动中去，精心的设问是关键。
在推导等差数列求和公式的
过程中，结合学生已有的知识
──
等差数列的概念、通项公式和
性质，为了让学生积极主动地将新知识纳入已有的认知结构，设计下列问题：
问题
1
、
1
＋
2
＋
< br>3
＋
…
＋
100
＝？这是学生小学就已具备的高斯求和知识，学生可以解决。
< br>
问题
2
、
能否用上述方法解决等差数列的
Sn?
特殊到一般
Sn
＝
（
a1
＋
an
）
＋
（
a2
＋
an-1
）
＋
…
问题
3
、
a1
＋
an
＝
a2
＋
an-1
＝
< br>…
是否成立？
问题
4
、按上述匹配法，可分多少组？教师分析，学生思考后，注意结合
n
的特值，容易得
出：取决于
n
的奇、偶性。
即：
n
为偶数
,an
＝<
/p>
(a1
＋
an)n
n
为奇数，
n
–
1
为偶数，则
an
＝
(a1
＋
an)(n
－
1)
＋
问题
5
、与
a1,an
有何联系？联想性质可得：＝
(
a1
＋
an),
综上
< br>Sn
＝
(a1
＋
an)n
问题
6
，从上述结
论
Sn
＝
n
（
a1
＋
an
）
类似于哪个公式？
S
梯形如何求得？引例中的钢管数
如何求得？类似地能否求
Sn
。
< br>──
归纳出数列求和的一种重要方法：倒序相加。
二、
在课堂小结中设问，有助于课后的自主学习，提高课堂教学效率
课堂小结在课堂教学中往往起着提纲契领，
画龙点睛的作用，<
/p>
它通常是本节课的基础知识和
思想方法及关键点。
如果教师直接小结，
哪怕
“
字
字珠玑
”
，
其结果往往是
“
平平淡淡
”
。
因此，
小结时，教师精心设问，
有助于学生主动认
清所学知识的本质，理清所学知识的脉络，
使知
识系统化，
同时，
更有助于学生课后的主动学习。
本节
课在小结时，
我提出了一系列的问题，
比如小于
1000
的正整数中被
7
除余
2
的数之和为多少？以一种悬念性，有助于学生课后主
动探讨。有时，
前后两节知识内容联系紧密，
为
了下节课的教学，
可提出一些与后一节课有
关的具有启发性的问
题，
这些问题让学生一方面巩固本节课的知识，
另一方面让学生
感到似
乎是熟悉的，能解决的，但又不太清楚，不能立即解决，从而产生跃跃欲试的感觉
。另外，
也可以在小结时，将问题引向更深入的问题，
有助于优
生课后的自主学习。
还有，
传统教学
的
课堂小结由教师当堂完成的唯一办法也应该有其它方法来补充，
比如，
< br>我们可以考虑让一
部分课堂，教师不作小结，由学生来作小结，然后同学补充，最
后由教师点评，甚至于还可
以让部分课堂根本就不要小结，
而将
小结这项工作留为学生课外作业，
让学生们各自课外独
立完成小
结后，再由教师集中整理，留待后面的课堂中完成。
数学问题
包含数学习题，
但数学问题绝不等于数学习题。
问题的目的不是
“
灌水
”
，而
是为学
生的思维
“
点火
”
。古希腊一位智者说过：
“
人脑不是一个可以灌注的容器，而是一只可以点
燃的火把。
”<
/p>
所以，课堂上的设问，应该是将现实生活中的数学素材、学生已有的数学知识
和能力、
数学文化发展史中的史料、
数学教材中的数
学内容等多方面的数学素材的自然结合，
让学生们真切感受到数学
“
现实真理性
”
与
< br>“
模式真理性
”
的双重价值，<
/p>
这样自然就能点燃学生
的
“
智慧火种
”
，
从而为学生的
自己学习提供生存环境。
课堂教学是我们培养学生综合能力的
主
要途径，
设问是教学中的一个环节，
但也是各种教改都须重视的
重要环节。
将精心设问贯
穿在课堂教学的各个环节，
教师的知识传授与学生的学习在疑问中开始，
探索、
论证、
小结、
发展，则学生的思维习惯得以养成，求知的热忱
得以激发，学习兴趣得以培养，思维品质、
3
能力得以全面发展。精心设问，刺激学生心智不断向前追求，主动探索，自主学习，全面提
高数学课堂教学效率。
阅读《
< br>“椭圆及其标准方程”教学案例》
< br>说明：因为编写“自主学习”专题论文比赛获奖作品集的需要，
7
月
13
日开始，我通读了
获奖
的作品，也对那些文章做了一些修改。本来，
今年
6
月的时候，我曾经委托学校高一语
文备课组的几位年轻教师做校对工作，但
是他们的工作不尽如人意。
现在，我把读稿时的想法记录下来，也算是工作留痕吧。
我修改了论文的标题。原来的标题是《数学课堂教学学生的自
主活动探索——
“椭圆及其
标准方程
”
教学的案例分析》
，
修改之后的为<
/p>
《数学课堂教学中自主学习活动的探索——
“椭
圆及其标准方程”教学案例》
。
对于原先的标题
“数学课堂教学学生的自主活动探索”来说，
它是不明确的，
或者说搭配是不恰当的。
该文讨论的对象是一次
教学活动，
这次活动是学生
在“数学课堂教学”中的自主学习活
动。当然“自主学习”的对象就是学生，也就不需要说
明了。再则，
“自主活动探索”说的是一次活动（
“探索”的意义等同于“活动”
）呢，还是
说作者要思考一次“自主活动”呢，是有不同理解的。从行文内容来
看，作者是在思考。
原先的副标题“教学的案例分析”也是存
在赘余的问题，
“案例”包含了“分析”
，因为本文
不是讨论案例撰写方面的问题的。
语言表达方面的修改例子。
例子
1
：
<
/p>
原文：
新课程标准要求在数学学习中进行一定的数学探究活动，<
/p>
对一些数学知识及应用问题
用科学探究的方法过程来完成，让学生
能有一个自主建构知识的过程，学会自主学习。
改文：
新课程标准要求在数学学习中进行一定的数学探究活动，
对一些数学知
识及应用问题
用科学探究的过程和方法来完成，让学生能有一个自主建构知识的过程，学
会自主学习。
分析：
“过程”是探究
的重要内容，也许“过程”比“方法”更重要。当然修改为“方法和
过程”
，我觉得也是可以的。
例子
2
：
<
/p>
原文：
从学生的心理学习心理上看，
学生
头脑中虽有一些椭圆的实物实例，
但并没有上升为
“概念”的水
平，如何给椭圆以数学描述
?
如何“定性”
“定量”地描述椭圆是学生关注的问
题，也是学习的重点问题。
改文：
从学生的学习心理上看，
学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，
但并没有上升为
“概
念”的水平。如何给椭圆以数学描述，如何“定性”
“定量”地描述
椭圆，是学生关注的问
题，也是学习的重点问题。
分析：句子不连贯，标点符号使用有问题。
例子
3
：
<
/p>
原文：
传统的教学方法都是首先开门见山地给出椭圆的定义，
板演椭圆的曲线，
再结合图形
逐字逐句地抠
定义。
改文：去掉“以前”
分析：重复了。
例子
4
：
<
/p>
原文：
为了突破重点，我在教学中决定抓住学生的最近发展区，采
用循序渐进、逐层推进的
方法。
4
改文：
“最近发展区”上面加双引号
分析：
“最近发展区”是一个特定称谓。
例子
5
：
原文：这样，学生可以在对比、观察、思维的基础上提升自己的思维，使新知识与旧知识
尽
可能产生自然的联系，而不是人为的告诉其正确的结果，把经验强加给学生。
改文：
这样，学生可以在对比、
观察的基础上提升自己的思维，使新知识与旧知识尽可能产
生自然的联系，而
不是人为的告诉其正确的结果，把经验强加给学生。
分析：<
/p>
“在思维的基础上提升自己的思维”好像是废话。
例子
6
：
<
/p>
原文：
同时也让学生明确椭圆的标准方程是有两种形式，
以后在遇到求椭圆标准方程时，
一
个自然的想法
就是“椭圆焦点在哪个轴上？，需要讨论吗？”
改文：
同时也让学生明确椭圆的标准方程是有两种形式，
以后在遇到求椭圆标
准方程问题时，
一个自然的想法就是“椭圆焦点在哪个轴上，需要讨论吗”
。
分析：标点符号使用出了问题。
例子
7
：
<
/p>
原文：此时教师引导学生考虑：动点到两个定点的距离涉及几种情况？（相等、和为常数、
差为常数等）
。
改文：此时教师引导学生考虑：
“动点到两个定点的距离涉及几种情况？”一般情况
下，学
生会提出相等、和为常数、差为常数等看法。
分析：
此处不能够使用括号，
因为括号中的内容
是文章的重要部分，
不是可有可无的。
同时，
< br>使用括号造成了上下句不连贯。
例子
8
：
<
/p>
原文：
从新课改以来，我一直在思考，我们究竟需要怎样的数学课
堂教学，
怎样才能让学生
积极的参与到课堂中来，并能获得不错
的教学效果？
改文：把“？”改为“。
”
。
分析：句子虽然包含疑问代词，但是并不是疑问句。
直线与椭圆教学案例
一、教学目标
1.
理解直线与椭圆的各种位置关系，
能利用方程根的判别
式来研究直线与椭圆的各种位置关
系；
2.
掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式；
3.
初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；
4.
进一步树立数形结合、函数方程
、等价转化、分类讨论等重要数学思想
.
二、重点难点
利用“数”与“形”的
结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系和有关弦长等问题
.
三、教学方法
导学<
/p>
——
讨论式，多媒体课件辅助教学
.
四、教学过程
（一）设置情境
导入新课
在初中已经研究过直线与圆
的各种位置关系，
通常用圆心到直线的距离的变化来判断直线与
圆的各种不同的位置关系
.
但这种方法能用于直线与椭圆的位置
关系的讨论吗？不能！那么
怎么办？将两个方程联立，转化为一个关于
< br>x
(
有时也可以转化为关于
y
)
的一元二次方程来
研究、讨论
.
而我们对一元二次方程是比较熟悉的，那么今天就是用熟悉的“武器”来研究、
讨论、解决陌生的直线与椭圆的位置关系及其有关问题
.
5
（二）探索研究
问题
1
：
<
/p>
当实数
m
分别取何值时，直线
l
：
y=x+m
与椭圆<
/p>
9x2+16y2=144
相交、相切、相
离？
分析：
将直线和椭圆的方程联立，得关于
x
的一元二次方程
25x2+32mx+16m2-144=0
，
∵△
=576(25-
m2)
，
∴当
(1)
△
>0
，即
< br>
△
<
br>△
-5
时，直线
l
与椭圆相交；
(2)
=0
，即
m=5
，或
m= -5
时，直线
l<
/p>
与椭圆相切；
(3)
<0
，即
m< -5
，或
m>5
，时，直线
l
与椭圆相离
.
将曲线位置关系的研
究的问题转化为方程根的讨论的问题，
这是本节课的核心。
在不
同的范
围内取值时，决定了直线与椭圆的不同的位置关系，体现了量变到质变的哲学思想
。
x
2
y<
/p>
2
1
4
问题
2
：
过椭圆
16
内一点
M(2
，
1)
作椭圆的弦，点
M
恰为该弦的中点，求
该弦
y
l
所在直线
l
的方程
(
如图
)
。
A
分析一：设
l
：
y-1=k(
x-2)
交椭圆于点
A(x1
，
y1)
、
B(x2
，
y2)
，
M
将直线方程代入椭圆方程化为
x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)-16=0.
·
x
则由韦达定理得……，故所求直线方程为
x+2y-4=0.
O
B
这个方法是最基本、最常规、最通用，也是最重要的方法，
<
/p>
必须熟练掌握
.
韦达定理在这里发挥出很
大的作用，以后我们还可以发现它的更大的作用
.
知
识就是要做到前后连贯，并组成一个有机的整体
.
分析二：同上所设，因为点
A
、
B<
/p>
都在椭圆上，则得
x
< br>1
2
4
y
1
2
1
6
①
2
2
x
2
4
y
2
16
②
经观察知这两个式子除了字母的下
标不同外，
其余都相同，
将两式相减，
看能得到什么结果：
(x1+x2)
(x1-x2)+4(y1+y2) (y1-y2)=0
可以知道式中的
x1+ x2=4
，
y1+y2=2<
/p>
，那么得
4 (x1-x2)+8 (y1-y2)=0.
根据上式能得到什么呢？得到直线
l
的斜率
，则……
.
①、②两式被称为同构式，就是除了字母的下标不
同外，其余的结构都相同
.
第一次用同构
式来解题，
觉得非常新颖和奇妙，
甚至觉得不可思议，
怎么想起来的呢？这是探索尝试的结
果
.
可是当你掌握了这个方法，并熟练地解决了几道题后，你就会觉得不新鲜了
< br>.
许多技能技
巧都是这样，一个生，二回熟，熟能生巧嘛
！
分析三：设
A(x
，
y)
，则得
x2+4y2=16
③
又
M(2
，
1)
是
AB
的中点，所以
B(4-x
，
2-y)
，又点
B
也在椭
圆上，
则得
(4-x)2+4(2-y)2=16
④
③、
④两式当然不是同构式，
怎么办？回顾在研究求相交两圆的公共弦所在直线方程时，
用
过什么方法，那么在这里能不能用呢？大胆尝试！
③
-
④化得……
没有想到在圆中曾用过的技巧在这里又发挥了它的威力。
分析四：椭圆的上顶点和右顶点分别是
(0
，
2)
、
(4
，
0)
，
M(2
，
1)
恰为连结这两点的线段的中
点
，故所求直线即为连结这两点的直线……
由巧妙的发现得到巧
妙的解法
.
虽然这里有一定的偶然性，但这是一种机遇，解数学
题时若
发现和利用题中的某些隐含条件，充分题目给的机遇，可使解答大大简捷
.
不过，这到底不
6
是一种通用的常规解法
.
问题
3
：
椭圆
C
的焦点分别为
< br>F1(-2
，
0)
、
F2(2
，
0)
，椭圆<
/p>
E
以
C
的焦点为
焦点，且过直
线
x+y-9=0
上的一
点
P
，当椭圆
E
的长轴最短时，求椭圆
E
的方程
.
分析一：如图，在直线
l
上求一点
P
，使
P
到直线<
/p>
l
外的两个已知点
A
、
B
的距离之和最短
.
在初中时解过此题，作点
B
关于直线
l
的对称的点
C
，连
AC
交
B
l
于点
P
，则
P
为所求之点，即
P
到
A
、
B
两
点的距离之和最短
.
A
l
2
x
2
2
y
2
1
P
77
利用上面的结论，即可得椭圆
E
的方程为
85
.
C
贮存在脑中的初中知识在这里显示出它的巨大作用
.
x
2
y
2
2
1
< br>2
a
a
4
分析二：由已知可设椭圆
E
：
.
与直线
l<
/p>
的方程联立，化得关于
x
的一元二次方程
，由△
=0
得解……
当椭圆
E
与直线
l
相切时，椭圆
E
的长轴最长，故得上述解法
.
问题
4
：
<
/p>
若椭圆
ax2+by2=1(a>0
，<
/p>
b>0)
与直线
l
：
x+y=1
交于
A
、
B
两点，
M
是
AB
的中点，
直线
OM
的斜率为
2
，且<
/p>
OA
⊥
OB(O
为原点
)
，求椭圆的方程
.
分析：
欲求椭圆的方程，只要求出
a
、
b <
/p>
的值，构建关于
a
、
b
的方程组是解决问题的关键
.
x
1
x
2
y
1
y
2
,
)
2
2
为此，设
A(x1
，
y1)
、
B(x2
，
y2)
，则
M
.
(
1
2
(
,
)
OM
所
在直线为
y=2x
，与直线
AB
的交点为
3
3
，由椭
圆与直线
l
的方程消去
y
得
b
1
< br>
(a+b)x2-2bx+b-1=0
，则由韦达定理
得
a
b
3
①
再设法
求得关于
a
、
b
的一个方程，由已知得
OA
OB<
/p>
0
x1x2
+y1y2=0.
再由韦达定理得
a+b=2
②
a
解①、②可得
4
2
4
2
2
2
,<
/p>
b
x
y
1
3
3
，则所求椭圆方程为
3
3
.
在《解析几何》问题的解答过程中，往往有比较麻烦的计
算，不应该被这种“简单的复杂计
算”挡住了我们的去路，这也是对我们意志品质的考验
和锻炼
.
2
问题
4
的变式
：
将直线
OM
的斜率改变为
2
< br>，
将条件
“
OA
⊥
OB
”
改为
“弦
AB
的长
|AB|
为
2
2
”
，求椭圆的方程
.
2
2
分析一：由弦长公式得关于
a
、
b
的一个方程
a<
/p>
b
ab
2
2
a
b
，
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