用数学家的眼光看世界
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用数学家的眼光看世界
张景中院士写了一本书
,
作为献给中学生的礼物
,
书的名字叫做《数学家的眼光》
。当
我看到这本书时
,
首先
就被书名
镇
住
了
!--
数学家的眼光
,
在平白的语言后面蕴藏着多么深
邃的哲理
!
当我看完了这本书以后
,
我更真切地感受到这不
仅是院士送给中学生的礼物
,
而且
是送
给中小学数学教育工作者的礼物
!
感受到它对数学教育所具有的
巨大的启迪意义
!
数学教育的目的是什么
?
我们可以说出一大堆
!
其实这一
大堆目的
,
基本上可以概括成一
句话<
/p>
,
就是为了让学生学会用数学
(
家
)
的眼光看世界
!
怎样才能学习好数学
?
学习的方法也可
以说出一大堆
,
其实这一大堆
,
从根本上说
,
也可以
概括成一句话
,
就是要学习并尝试用数学
(
家
)
的眼光看世界
!
怎样才能教好数学
,
教学
方法也可以说出一大堆
,
其实这一大堆
,
也可以概括成一句话
,
就
是教师自身要学会用数学的眼光看世界
,
更要引导
学生用数学的眼光看世界
!
数学教育的实质就在于让学生用数学
(
家
)
的眼光看世界
< br>,
这应该是文化数学教育方式的
核心观念
!
那么
,
什么是数学家的眼
光呢
?
数学家的眼光有什么样的特点
?
为什么我们要让学生学着
用数学家的眼光看世界
?
又怎么样才能让学生学会用数学家的眼光看世界呢
?
这就是我们在
这里要讨论的问题。
活生生的数学文化
用数学家的眼光看
世界
,
就是从数学的视角观察
,
感受
,
认识
,
描述
,
理解以至创造世界
!
让我们来看几个例子。
1
。陈省身质疑三角形内角和定理。
1980
年
,
陈省身教授在北京大学的一次讲学中对三角形内角和定理作出质疑。他说
:
人
们常说
,
三角形内角和等
于
180°
。但是
,
< br>这是不对的
!
三角形的内角和等于
180°
这是一个熟知的定理
,
为什
么说它不对呢
?
陈教授对大家的疑问作了精辟的解答
:
说
三角形内角和为
180°
不对
,
不是说这个事实
不对
,
而是说这种看问题的方法不对
.
应
当说
:
三角
形外角和是
360°
这是为什么呢
?
因为任意
n
边形
外角和都是
360°
。把眼光盯住外角
,
就可以把多种情形
用一个十分简单的结论概括起来了
;
用一个与
n
无关的常
数代替了与
n
有关的公式
,
找到了
-
个更一般的规律。当然也是一个更简单的
规律
!
由此可见
,
< br>尽管命题
三角的外角和为
360
°
和命题
三角
的内角和为
180°
是等价的
,
但是
在数学家看来
,
这是不同的
!
因为在形式上
,
后者更简单
,
因此就更
美
,
也就更有价值
!
< br>事实果真
如此
,
正是这与众不同
的眼光
,
使陈教授抓住了更有价值的内角和
,
并由此出发
,
进一步把
多
边形内角和等于
36
0°
这个规律推广到闭曲线
,
推广到空间
,
进而发展为着名的陈氏类理论
,
做
出了划时代的贡献。
< br>
这就是数学家的眼光
!
在这透
彻、
犀利的目光中
,
折射出来的是数学
家的价值观和审美观
,
是数学家的穷追不舍
,
孜孜以求的探索真理的精神。
2
。华罗庚的问题。
谁都看见过茶杯
,
面对着茶杯也有人提出过形形色色的
问题
,
可是你很难想到华罗庚教
授提出
的问题。
华先生在一次对中学生的讲演中
,
指着讲台上的茶杯问大家
:
为什么茶杯盖不
会掉到茶杯里去呢
?
许多入会对这个问题不屑一顾<
/p>
,
他们会说
:
这
还要问
?
盖子比口大嘛
!
果真是这个原因吗
?
华先生说
:
一种正方形的饼于盒
,
盖子比口
大
,
可是一不小心还是会掉
下去
!
这是什么原因呢
?
有人会说
:
这是因为正方形的饼干盒口的对角线长度大于盒盖
的边长
,
由此可见
,
< br>关键是
正方形盒盖的宽度不均匀
,
从某个方向看太窄
,
正如栅栏不太密时
,
人可以从侧身钻进去一样。
可是
华先生并不满足于这样的答复。
他进一步追问
:
什么是封闭图形的
宽度
除了圆形
,
还有什么形状的盒子
,
它的盖子不会掉进去
?
接着华先生给出了一种各方宽度相等的
三角拱形
类似于裁缝用的划粉的形状
)
。
但是
,
华先生并没有停止思考
,
他继续追问
:
还有
其它各个方向
宽度
相同的图形吗
?
从上面的例子中
,
我们可以看到
,
华罗庚先生作为数学
家所特有的眼光
,
他们对数量和形
状的
敏锐
,
对问题精确表述的苛求
,
对问题的穷追不舍探究精神
,
这都是数学家所
共同具有而
为一般人所或缺的
,
而这一
切也正是造就数学家眼光的重要因素。
3
。数学家波拉克的问题
你一定逛过大型超市
,
琳琅满目的商品
,
熙熙攘攘的人群
,
你会
关心什么呢
?
应用数学家波
拉克
,
谈到了他关心的东西
,
他说
:
如果你走进一家超市
,<
/p>
通常会看到在几个付款柜台中
,
有一个标
有
快速付款通道
的柜
台
,
上面写着
< br>:
您购买的商品在
X
件以下
,
请在此付款。
如果你观察一下
这个数
,
会发现每家超<
/p>
市的
X
值各不相同。在我的家乡
,A&P
超市规定为
6
件
;ShoP-Rjte
超市规定为
8
件
;
而
Kin
gs
超市则规定为
10
件。我还发现全
国各地的超市对值
X
的规定从
5
到
15
件都有。
X<
/p>
值变化
如此之不同
,
让我们无法判断哪个数值更正确。
我们不禁要问
,
允许在快速付款通道付款的商
品件数到底应该是几件呢
< br>?
波拉克把超市看成一个数学背景
< br>,
这是一般人几乎不会具有的观点。对大多数人来说
,<
/p>
允许从快速付款通道通过几件商品只不过是该超市的具体规定而已
,
作为顾客只要按规定执
行就是了
!<
/p>
但在波拉克看来
,
这个数是个变量
,
如何确定这个变量的
正确
数值是一个最优化
问题
!
这种以数学方式来观察各种现象的习惯已经成为他的行为准则
,
成为数学家个性的一
部分
!
波拉克还讲到他在亚那桑那州的经历
,
他说
:
亚里桑那州有多少树形仙人掌的高度超过
6
英尺
?
我从书上
看到树形仙人掌是一种危险
植物。
开发商建造新公寓时
,
要把这些仙人掌都砍光。
二三年前
,
我去亚里桑那州时
,
便
想估算
一下还剩多少仙人掌没被砍掉。我算出的答案是
108<
/p>
。我来给你们说说
,
我是怎样算出这个<
/p>
答案的。这些仙人掌的生长布局似乎很有规则
,
< br>株距差不多都是
50
英尺左右
,
那么每一英里
长就有
102
棵仙人掌
,
也就是说每平方英里有
104
棵。
而生长有仙人掌的地区至少有
50×
200
平方英里的面积。于是
,
我便得出
104×
104<
/p>
这个答案。我请亚里桑那州的一些教师也来估算
一下
,
结果他们却茫然不知所措
,
不知如何入手。
波拉克为什么要估算仙人掌的颗数呢
?
他有什么目的吗
?
没有
!
波
拉克估算仙人掌的颗数
,
只是一个数学家近乎本能的反应
!
这是数学家的习惯
!
因为出于职业的本能
,
作为数学家波拉克对事物的数量、对
于关系、结构特别的敏感
,
有一种特别的兴趣
< br>,
对量化和模型化的偏好
,
于是
他自然而然地提出了问题
,
然后又根据可以
获得的数据大概作了估计。所有这些已经是数学家个性的一部分
,
< br>是数学家特有的观念。非
数学家阶层的人员
(
如和波拉克讨论这一问题的教师
)
是不具备这种典
型的观念
,
因而也不可
能本能地做出这
样的反应的。
从上面的例子可以看到
,
数学家的眼光
,
具有丰富的内涵
,
它不仅包括数学家的思维方式
,
数学家的价值观
,
审美意识
,
数学家看问题的角度和行为规范。
我们已经看到
,
作为一个社会群
体的数学家
< br>,
虽然有个体上的差异
,
但是却
重现出了很多共同的联系。
数学家们有着共同关心
的问题
,
共同的价值标准、
共同的语言、
共同的行为方式和审美标准。
因此
,
广义地说
,
数学家
的眼光就
是作为一个社会群体的数学家共同的生活方式。
它是活的
数学文化
和数学知识、
技能相比
,
数学家的眼光也是数学文化中更为宝贵的财富
,
是最有价值的东西。
因此
,
也是学生
最应该学习的东西。
社会化的学习途径
要学好数学就首先就要尝试着就用数学家的眼光看世界。
这是一个具有一般性的命题。人们不是常说
,
要学好学问
,
首先就要学做人嘛
?<
/p>
在数学学
习中
,
怎样学习做人
?
学做什么样的人
?
这当然就是要学做数学家
!
要学习数学家的
人品
。而
要学做数学家
,
当然首先就要学习数学家的
眼光
!
其实这样的论断
,
不仅对数学来说是对的
,
对各行各业也差不多都是
正确的。
你要学好物理
,
就要学会用物理学家的眼光看世界。
你要学做律
师
,
就要学会用律师的眼光看世界。
甚至学做裁缝
,
也要学会用裁缝的眼光
看世界。
数学教育家莱夫具体考察了
学做裁缝
的过程
,
对此
,
数学教育家舍恩菲尔德将莱
夫的