最新人教版高中数学选修4-4测试题全套及答案
-
最新人教版高中数学选修
4-4
测试题全套及答
案
第一章
测试题
一
、选择题
(
本大题共
10
小题，每小题
5
分，共
50
分，在每小题给出的四小选项中，
只有一项是符合题目要求的<
/p>
)
．
1
．原点与极点重合，
x
轴正半轴与极轴重合，
则点
(
－
2
，
－
2
3)
的极坐标是
< br>(
)
π
4
，
A
．
3
2π
－
4
，－
C
．
3
4π
4
，
B
．
3
2π
4
，
D
．
3
解析：
由直角坐标与极坐标互化公式：
y<
/p>
ρ
2
＝
x
2
＋
y
2
，
tan
θ
＝
(
x
≠
0)
．
x
把点
(
－
2
，－
2
3)
代入即可得
ρ
＝
4
，
tan
θ
＝
3
，
4π
因为点
(
－
2
，－
2
3)
在第三象限，所以
θ
＝
.
3
答案：
B
2
．在极坐标系中有如下三个结论：①点
P
在曲线
C
上，则点
P
的极坐标满足曲线
C
π
的极坐标方程；②
tan
θ
＝
1
与
θ
< br>＝
表示同一条曲线；③
ρ
＝
3
与
ρ
＝－
3
表示同一条曲线．在
4
这三个结论中正确的是
(
)
A
．①③
C
．②③
B
．①
D
．③
解析：
在直角坐标系内，曲线上每一
点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，
曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程
，故①是错误的；
π
5π
tan
θ
＝
1
不仅表示
θ
＝
这条射线，还表示
θ
＝
这条射线，故②亦不对；
ρ
< br>＝
3
与
ρ
＝－
4
4
3
差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为
3
的圆，故③正确．
答案：
D
x
2
y
2
3
．可以将椭圆
＋
＝
1
变为圆
x
2
＋
y
2
＝<
/p>
4
的伸缩变换
(
)
10
8
5
x
′＝<
/p>
2
x
A
．
2
y
′＝
y
C
．
< br>
2
x
′＝
5
x
B
．
y
′＝
2
y
D
．
2
x
′＝
x
5
y
′＝
2
x
5
< br>x
′＝
2
x
2
y
′＝
y
x
2
y
2
2
x
2
y
2
解析：
方法一
：将椭
圆方程
＋
＝
1
化为
＋
＝
4
，
10
8
5<
/p>
2
2
x
2
y
2
∴
＝
4
，
＋
5
2
2<
/p>
x
′
＝
x
，
5
令
y
y
′
＝
，
2
即
x
2
＋
y
2
＝<
/p>
4
，
得
x
′
2
＋
y
′
2
＝
4
，
5
x
′
＝
2
x
，
∴伸
缩变换
为所求．
< br>
2
y
′
＝
y
方法二
：将
x
2
＋
y
2
＝
4
改写为
x
′
2
＋
y<
/p>
′
2
＝
4
，
x
′
＝
λx
λ
>0
，
设满足题意的伸缩变换为
y
′
＝
μy
μ
>0
，
代入
x
′<
/p>
2
＋
y
′
2
＝
4
得
λ
2
x
2
＋
μ
2
y
2
＝
4
，
λ
2
x
2
μ
2
y
2
即
＋
＝
1
，
4
4
< br>x
2
y
2
与椭圆
＋
＝
1
比较系数得
10
8
μ
1
4
＝
8
，
2
λ
2
1<
/p>
＝
，
4
10
2
λ
＝
，
5
解得
1
μ
＝
2
，
2
x
′
＝
x
，
<
/p>
5
∴伸缩变换为
1
y
′
＝
y
，
2
答案：
D
5
x
′
＝
2
x
，
即
.
2
y
′
＝
y
π
4
，
作曲线
C
的切线，则切线
4
．在极坐标方程中，曲线
C
的方程是
ρ
＝
4sin
θ
，过点
6
长为
(
)
A
．
4
C
．
2
2
B
．
7
D
．
2
3 <
/p>
π
4
，
化为直角坐标为
(2
3
，
解析：
ρ
＝
4sin
θ
化为普通方程为
x
2
＋
(
y
－
< br>2)
2
＝
4
，
点
2)
，
6
切
线
长
、
圆
心
到
定
点
的
距
离
及
半
径
构
成
< br>直
角
三
角
形
，
由
勾
股
定
理
：
切
线
长
为
2
3
2
＋
2
－
< br>2
2
－
2
2
＝
2
2
.
答案：
C
5
．在极坐标中，与圆
ρ
＝
4sin
θ
相切的一条直线方程为
(
)
A
．
ρ
sin
θ
＝
2
C
．
ρ
cos
θ
＝
4
B
．
ρ
cos
θ
＝
2
D
．
ρ
cos
θ
＝－
4
π
2
，
，半径
为
r
＝
2
，<
/p>
解析：
圆<
/p>
ρ
＝
4sin
θ
的圆心为
2
对于选项
A
，方程
ρ
sin
θ
＝
2
对应的直线
y
＝
2
，与圆相交；
<
/p>
对于选项
B
，方程
ρ
cos
θ
＝
2
对应的直线
x
＝
2
，与圆相切；
选项
C
，
D
对应的直线与
圆相离．
答案：
B
6
．圆
ρ
＝
2(cos
θ
＋
sin
θ
)
的圆心坐标是
(
< br>
)
π
1
，
A
．
4
π
2
，
C
．
4
< br>
1
π
B
．
2
，
4
π
2
，
D
．
4
解析：
将圆的极坐标方程化成直角坐标方程
x
－
2
2
2
＋
y
－
2
＝
1
，
<
/p>
2
2
圆心直角坐标为
答案：
A
π
2
2
1
，
.
，故其极坐标为
，
4
2
2
π
1
，
<
/p>
的最近距离等于
(
)
7
．极
坐标系内曲线
ρ
＝
2cos
θ
上的动点
P
与定点
Q
2
A
．
2
－
1
C
．
1
B<
/p>
．
5
－
1
D
．
2
解析：
将曲线
ρ
＝
2cos
θ
化成直角坐标方程为
(
x
－
1)
2
＋
y
2
＝
1
，
点
Q
的直角坐标为
(0,1
)
，
则
P
到<
/p>
Q
的最短距离为点
Q
与圆心的距离减去半径，即
2
－
1
.
答案：
A
8
．已知点
P
的坐标为
(1
，
π)
，则过点
P
且垂直极轴的直线方程是
(
)
A
．
ρ
＝
1
1
C
．
ρ
＝－
cos
θ
B
．
ρ
＝
cos
θ
1
D
．
ρ
＝
cos
θ
解析：
由
点
P
的坐标可知，
过点
P
且垂直极轴的直线方程在直角坐标系中为
x
＝－
1
，
即
ρ
cos
θ
＝－
1
，故选
C
．
答案：
C
π
θ
＋
(
r
＞
0)
的公共弦所在直线的方程为
(
)
9
．圆
ρ
＝
r
与圆<
/p>
ρ
＝－
2
r
sin
4
A
．
2
ρ
(sin
θ
＋
cos
θ
)
＝
r
B
．
2
ρ
(sin
θ
＋
cos
θ
)
＝－
r
C
．
2
ρ
(sin
θ
＋
cos
θ
)
＝
r
D
．
2
ρ
< br>(sin
θ
＋
cos
θ
)
＝－
r
解析：
圆
ρ
＝
r
的直角坐标方程为<
/p>
x
2
＋
y
2
＝
r
2
①
π
θ
＋
圆
ρ
＝－
2
r
sin
4
π
π
sin
θ
cos
＋
cos
< br>θ
sin
＝－
2
r
(sin
θ
＋
cos
θ
)
．
＝－
2
r
4
4
两边同乘以
ρ
得
ρ
2
＝－
< br>2
r
(
ρ
sin
θ
＋
ρ
cos
θ
)
，
∵
x
＝
ρ
cos
θ
，
y
＝
ρ
sin
θ
，
ρ
2
＝
x
2
＋
y
2
，
∴
x
2
＋
y
< br>2
＋
2
rx
＋
2
ry
＝
0
②
①－②整理得
2(
x
＋
y
< br>)
＝－
r
，即为两圆公共弦所在
直线的普通方程．再将直线
2(
x
＋<
/p>
y
)
＝－
r
化为极坐标方程为
2
ρ
(cos
θ
＋
sin
θ
)
＝－
r
.
答案：
D
π
10
．已知曲线
C
1
，
C
2
的极坐标方程分别为
ρ
cos
θ
＝
3
，
ρ
＝
4cos
θ
(
ρ
≥
0,0
≤
θ
<
)
，则曲线
2
C
1
< br>与
C
2
交点的极坐标为
(
)
5
2
3
，
π
A
．
6
7π
2
3
，
C
．
6
ρ
cos
θ
＝
3
①
，
解析：
∵
ρ
＝
4cos
θ
②
，
π
2
3
，
B
．
6
< br>
11
2
3
，
π
D
．
6
<
/p>
3
∴
4cos
2
θ
＝
3.
∴
cos
θ
＝
±
. <
/p>
2
π
3
π
∵
0
≤
θ
<
，∴
cos
θ
＝
，∴
θ
＝
.
2
2
6
π
将
θ
＝
代入②，得
ρ
＝
2
3
，
6
π
2
3
，
.
∴
C
1
与
C
2
交
点的极坐标为
6
< br>
答案：
B
二、填空题
(
每小题
5
分，共
20
分．把正确答案填在题中的横线上
)
π
2
，<
/p>
到直线
l
的距
离为
________
．
11
．
在极坐标系中，
直
线
l
的方程为
ρ
sin
θ
＝
3
，
则点
6
解析：
直线
l
的极坐标方程为
ρ
sin
θ
＝
3
，化为直线方程得
y
＝
3
；
π
π<
/p>
2
，
化为直角
坐标即为
(
3
，
1)
，于是点
2
< br>，
到直线
l
< br>的距离为
2.
点
6
6
答案：
2
π
12
．
在极坐标系中，由三条直线
θ
＝
0
，
θ
＝
，
ρ
cos
θ
＋
ρ
sin
θ
＝
1
围成图
形的面积是
3
________
．
解析：
三条直
线在直角坐标系下的方程依次为
y
＝
0
，
y
＝
3
x
，
x
＋
y
＝
1.
如图可知，<
/p>
1
S
△
POQ
＝
×
|
OQ
|
×
|
y
p
|
2
3
－
3
1
3
＝
×
1
×
＝
.
2
4
3
＋
1
答
案：
3
－
3
4
π
π
4
，
绕极点逆时针旋转
得到点
B
，且
|
OA
|
13
．已知极坐标系中，极点
为
O
，将点
A
6
4<
/p>
＝
|
OB
|
，则点
B
的直角坐标
________
．
5π
4
，
，
解析：
依题意，点
B
的极坐标为
12
∵
co
s
π
π
5
π
＝
cos
4
＋
6
<
/p>
12
π
π
π
π
＝
cos
cos
－
sin
sin
4
6
4
6
＝
＝<
/p>
sin
2
3
2
1
×
－
×
2
2
2
2
6
－
2
，
4
π
< br>π
5
π
＝
sin
4
＋
6
12
π
π
π<
/p>
π
＝
sin
cos
＋
cos
sin
4
6
4
6
＝
6<
/p>
＋
2
2
3
2
1
×
＋
×
＝
，
2
2
2
2
4
6
－
2
＝
6
－
2
，<
/p>
4
∴
x
＝
ρ
cos
θ
＝
4
×
y
＝
ρ
sin
θ
＝
4
×
6
＋
2
＝
6
＋
2.
4
∴点
B
的直角坐标为
(
6
－
2
，
6
＋
2)
．
答案：
(
6
－
2
，
6
＋
2)
14
．从
极点作圆
ρ
＝
2
a
cos
θ
的弦，则各条弦中点的
轨迹方程为
________
．
a
a
，
0
为圆心，
为半径的圆．求得方程是
ρ
＝
解析：
数形结合，易知所求轨迹是以
2
2
π
π
－
≤
θ
≤
.
a
cos
θ
2
2<
/p>
π
π
－
≤
θ
≤
答案：
ρ
＝
a
cos
θ
2
2
三、解答题
(
本大题共
4
小题，共
< br>50
分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
)
15
．
(12
分
)
设极点
O
到直线
l
的距离为
d
< br>，由点
O
向直线
l
作垂
线，
由极轴到垂线
OA
的角度为
α
(
如图所示
)
．
求直线
< br>l
的极坐标方程．
解析：
在直线
l
上任取一点
M
(
< br>ρ
，
θ
)
．
在直角三角形
OMA
中，
由三角知识得
ρ<
/p>
cos(
α
－
θ
)
＝
d
，
d
即
ρ
＝
.
这就是直线
l
的极坐标方程．
cos
< br>
α
－
θ
2
16
．
(12
分
)
已知⊙
C
：
ρ
＝
cos
θ
＋
sin
θ
，直线
l
：
ρ
＝
2
.
求⊙
C
上点到直线
l
距离
π
cos
θ
＋
4
的最小值．
解析：
⊙
C
的直角坐标方程是
x
2
＋
y
2
－
x
－
y
＝
0
，
1
1<
/p>
1
x
－
2
＋
y
－
2
＝
.
即
< br>2
2
2
又直线
l
的极坐标方程为
ρ
(cos
θ
－
sin
θ
)
＝
4
，<
/p>
所以直线
l
的
直角坐标方程为
x
－
y
－
4
＝
0.
1
2
1
2
设
M
＋
cos
θ
，
＋
sin
θ
为⊙
C<
/p>
上任意一点，
M
点到直线
l
的距离
2
2
2
2
d
＝
1
＋
2
cos
θ
－
1
2
－
4
＋
sin
θ
<
/p>
2
2
2
2
2
π
θ
＋
4
－
cos
4
＝
，
2
7π
3
3
2
当
θ
＝
时，
d<
/p>
min
＝
＝
.
4
2
2
17<
/p>
．
(12
分
)<
/p>
在直角坐标系
xOy
中，以
O
为极点，
x
轴正半轴为极
轴建立极坐标系．曲线
π
θ
－
＝
1
，
M
，
N
分别为
C
与
x
轴，
y
轴的交点．
C
的极坐标方程为
ρ
cos
3
(1
)
写出
C
的直角坐标方程，并求
M
，
N
的极坐标；<
/p>
(2)
设
MN
的中点为
P
，求直线
< br>OP
的极坐标方程．
π
1
3
θ
－
＝
1
，得
ρ
cos
θ
＋
sin
θ
＝
1.
解析：
(1)
由
ρ
cos
3
2
2
1
3
从而
C
的直角坐标方程为
< br>x
＋
y
＝
1
，即
x
＋
3
y
＝
2.
2
2
当
θ
＝<
/p>
0
时，
ρ
＝
2
，得
M
(2,0
)
；
π
2<
/p>
3
2
3
π
当
θ
＝
时，
ρ
＝
，得
N
.
2
3
3
，
< br>2
2
3
(2)
M
点的直角坐标为
(2,0)
，
N
点的直
角坐标为
0
，
.
3
所以
P
点的直角坐标为
1
，
3
< br>
，
3
则
P
点的极坐标为
2
3
π
.
3
，
6
π
所
以直线
OP
的极坐标方程为
θ
＝
，
ρ
∈
R
.
6
1
18
．
(14
分
)
△
ABC
底边
BC
＝
10
，∠
A
＝
∠
B
，以
B
为极点，
BC
为极轴，求顶点
A
的
2
轨迹的极坐标方程．
解析：
如图：令
A
(
ρ
，
θ
)
，
θ<
/p>
△
ABC
内，设∠
B
＝
θ
，∠
A
＝
，
2<
/p>
又
|
BC
|
＝
10
，
|
AB
|
＝
ρ
.
于是由正弦定理，
得
10
＝
，
3
θ
θ
sin
π
－
2
sin
2
ρ
化简，得
A<
/p>
点轨迹的极坐标方程为
ρ
＝
10
＋
20cos
θ
.
第二章
测试题
一、选择题
(
本大题共
10
小题，每小题
5
分，共<
/p>
50
分，在每小题给出的四个选项中，
只
有一项是符合题目要求的
)
x
＝－
1
－
t
1
．极坐标方程
ρ
＝
cos
θ
和
参数方程
(
t
为参数
)
所表示的图形分别是
(
)
y
＝
2
＋
3
t
A
．圆、直线
C
．圆、圆
解析：
∵
ρ
＝
cos
θ
，
∴
x
2
＋
y
2
＝
x
，
x
＝－
1
－
t
∴表示一个圆．由
y
＝
2
＋
3
t
B
．直线、圆
D
．直线、直线