中考数学面积专题
-
中考数学面积专题
如图
1
，
在矩
形
MNPQ
中，
动点
< br>R
从点
N
出发，
沿
N
→
P
→
Q
→
M
方向运动至点
M
处停止．设点
R
运动的路程为
x
，
△
MNR
的面积为
y
，如果
y
关于
x
< br>的函数图象如图
2
Q
P
R
M
（图
1
）
<
/p>
所示，则当
x
9
时，点
R
应运动到（
）
A
．<
/p>
N
处
B
．
P
处
N
O
4
9
（图
2
）
x
C
．<
/p>
Q
处
D
．
M
处
y
OAB
90
，
OA
AB
6
，
（
2009
年株洲市）
（
本题满分
10
分）
如图，
在
Rt
OAB
中，
将
OAB
绕点
O
沿逆时针方向旋转
90
得到
OA
1
B
1
．
（
1
）线
段
OA
1
的长是
，
AOB
1
的度数
是
；
B
1
A
1
B
（
2
）连结
AA
1
，求证：四边形
OAA
1
B
1
是平行四边形；
（
3
）求四边形
OAA
1
B
1
的面积．
O
A
矩形内有一点
P
到各边的距离分别为
1
、
3
、
5
、
7
，则该矩形的最大面积为
平方单位．
（
2011
湖南湘潭市，
24
，
8
分）
（本题满分
8
分）
两个
全等的直角三角形重叠放在直线
l
上，如图⑴，
AB=6cm
，
BC=8cm
，
∠
ABC=90
< br>°，将
Rt
△
ABC
在直线
l
上左右平移，如图⑵所示
.
⑴
求证：四边形
ACFD
是平行四边形
;
⑵
怎样移动
Rt
△
ABC
，使得四边形
ACFD
为菱形
;
⑶
将
Rt<
/p>
△
ABC
向左平移
4
cm
，求四边形
DHCF
的面积
.
A(D)
A
D
H
B(E)
图
(1)
C(F)
l
B
E
图
(2)
C
F
l
【答案】
（
1
）证明：∵△
ABC
≌△
DEF
，∴
AC=DF
,
∠
ACB=
∠
DFE
，∴
AC
∥
< br>DF
，
∴四边形
ACFD
是平行四边形；
（
2
）在
Rt
△
ABC
中，由勾股定理得
AC=10
cm
，要使四边形
ACFD
为菱形，则
AC=CF
，
∴可将
Rt
△
ABC
向左平移
10cm
或向右平移
10cm
；
（
3
）在
Rt
△
ABC
中，
tan
ACB
AB
6
3
．
< br>
BC
8
4
3
3
．
4
∴当
Rt
△
ABC
向左平移
4
cm
时，
EC=BC-BE=8-4=4
< br>（
cm
）
，
在
Rt
△
HEC
中，
HE
< br>EC
tan
ACB
4
∴四边形
DHCF
的面积为：
(2011
江苏南京，
12
，
2
分
)
如图，菱形
ABCD
的连长是
2
㎝，
E
是
A
B
中点，且
DE
⊥
AB
，
则菱形
ABCD
的面积为
_________
㎝
< br>2
．
D
A
E
B
(
第
12
题
)
如图
，菱形
ABCD
的边长为
10
cm
，
DE
⊥
AB
，
sin
A
=
cm
2
．
C
1
1
<
/p>
8
6
4
3
18
cm
2
．
2
2
3
，则这个菱形的面积
5
对角线互相垂直的四边形的面积
对角
线互相垂直的四边形的面积等于它的两条对角线长的积的一半。证明这个结论。
C
B
D
已知：四边形
ABCD
中，对角线
A
于
E
，如图
1
。
1
S
A
C
<
/p>
B
D
四
边
形
A
B
C
D
2
求证：
图
1
（
2011
山东聊城，
7
，
3
分）已知一个菱形的周长是
20cm
，两条对角线的比是<
/p>
4
∶
3
，则
这个菱形的面积是（
）
A
．
12c
m
2
B
．
24cm
2
C
．
48cm
2
D
．
96cm
2
3
，
A
B
C
6
0
A
O
B
< br>
例
1.
菱形
ABCD
的对角线
AC
、
BD
相交于
O
，
的周长为
3
，
求菱形
ABCD
的面积。
（如图
2
）
图
2
例
2.
等腰梯形
ABCD
的两条对角线互相垂
直，垂足为
O
，梯形的高为
a
，求梯形
ABCD
的
面
积。
图
3 <
/p>
A
B
C
中
，
BD
和
CE
分
别
是
两
边
上
的
中
线
，
并
且
例
3.
如
图
4
，
已
知
：
在
B<
/p>
D
C
E
，
B
DC
8
，
E
1
2
A
B
< br>C
，求
的面积。
图
4
D
/
/
B
C
，
A
D
1
，
B
C<
/p>
4
，
A<
/p>
C
3
，
B
D
4
例
5.
已知梯形
ABCD
中，
A
，
如图
6
，
求
< br>S
梯
形
A
B
C
D
。
图
6
（
2011
山东泰安，
14
，
3
分）一圆锥的侧面展开图是半径为
2
的半圆，则该圆锥
的全面
积是（
）
A.5
π
B. 4
π
C.3
π
D.2
π
【答案】
C
（
2011
湖南常德，
14
，
3
分）已知圆锥底面圆的半径为
6
厘米，高为
8
厘米，
则圆锥的侧面积为
_______
厘米
.
A
．
48
B.
48π
C. 120π
D.
60π
【答案】
D
< br>20
．
（
2011
湖北黄冈，
12
，
3
分）一个几何体的三视图如下：其中主视图都是腰
长为
4
、底边为
2
的等腰三角形，
则这个几何体的侧面展开图的面积为（
）
A
．
2
B
．
<
/p>
2
1
2
C
．
4
4
D
．
8<
/p>
4
2
左视图
2
右视图
第
12
题图
俯视图
【答案】
C
8.
（
2
011
宁波市，
10
，
3
分）如图，
Rt
ABC
中，∠
ACB
＝
90°
，
AC
＝
BC
＝
2
2
，
若把
Rt
ABC
绕边
AB
所在直线旋转一周则所得的几何体得表面积为
A
．
4
B
．
4
2
C
．
8
D
．
8
2
【答案】
D
（
20
11
福建泉州，
17
，
4
分）如图，有一直径为
4
的
圆形铁皮，要从中剪出一个
最大圆心角为
60°
的扇形
ABC.
那么剪下的扇形
ABC
（阴影部分）的面积为
；
用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥
，该圆锥的底面圆的半径
r=
.
（第
17
题）
【答案】
2
；
3
3
如图
7
，在⊙
O<
/p>
中，弦
BC
垂直于半径
< br>OA
，垂足为
E
，
D
是优弧
BC
⌒
上一点，连接
BD
，<
/p>
AD
，
OC
，∠
ADB
＝
30°
.
（
1
）求∠
AOC
的度数；
（
2
）若弦
BC
＝
6cm
，求图中阴影部分的面积
.
D
O
B
E
< br>A
图
7
阴影面积问题
转化——
化不规则为规则：扇形、三角形、四边形、梯形的分解或组合图形
一、等积转化
例
1.
如图
1
，半圆的直径
AB
10
，
P
为
< br>AB
上一点，点
C
，
D
为半圆的三等分点，
则阴影部分的面积等于
_______
．
（等底等高的三角形面积
相等”
，
将原图形转化为扇形面积
问题
）
D
C
A
B
P
O
图
2
图
1
图
3
C
例
5
、如图
，梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，∠
D=90°
，以
AB
为直径的⊙
O
切
CD
于
E
，交
BC
于
F
，若
AB=4cm
，
AD=1cm
，则图中阴影部分的面积为
____
注意寻找最简便的方法
例
6
、如图所示，扇形
OAB
的圆心角为
60°
，半径为
6
，
C
、
D
分别是
■
的三等分点，则阴影
部分的面积等于
___
二、平移转化
例
2.
如图
2
，两个半圆中，小圆的
圆心
O
′在大⊙
O
的直径
CD
上，长为
4
的弦
AB
与直
径
CD
平行且与小半圆相切，那么圆中阴影部分面积等于
< br>
．
（通过平移将不
规则图形转化为半个圆环的面积）
3
（
09
福州）如图
4
，在反比例函数
y
2
（
x
＞
0
）的图象上，有点<
/p>
P
1
、
P
2
、
P
3
、
x
P
4
，它们的横坐标依次为
1
，
2
，
3
，
4.
分别过这些点作
x
轴与
y
轴的垂线，
图中所构成阴影部分的面积从左到右依次为
S
1
、
S
2
、
S
3
，则
S
1
+
S
2
+
S
3
=
(
把
S
1
、
S
3
向左平移
)
例
5.
如图
6
，在一块长为
a
、宽为
b
的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地
方的水平宽都是
c
个单位）
，求阴影
部分草地的面积。
三、旋转转化
例
3.
如图
4
，将△
ABC
绕点
B
逆时针旋转到△
A
′
BC
′使
A
、
B
、
C
′在同一直线上，若∠
2
BCA=90
°，∠
BAC=30
°，
AB=4cm
，则图中阴影部分（线条的）面积为
cm
．
（根据旋转的性质可推得两个三角形中的阴影部分面积相等
，
所以可将阴影部分面积转化
为两个扇形面积的差）
D
′
D
（
20
11
山东烟台，
17,4
分）如图，三
个边长均为
2
的正方形重
叠在一起，<
/p>
O
1
、
O
2
是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是
.
O
2
O
1
2
（<
/p>
09
贵阳）如图，已知面积为
1
的正方形
ABCD
的对角线相交于点
O
，过点
O
任作一条直
线分别交
AD
，
BC
< br>于
E
，
F
，则阴影部分的面积是
．
D
A
E
(
将△
OCF
绕点
O
旋转
180
°
< br>
O
（
2009
年广西桂林）
10
．如图
，
□
ABCD
中，
AC
、
BD
为对角线，
BC
=6
，
BC
边上的高为
4
，则阴
影部分的面积为（
）
．
A
．
3
B
．
6
C
．
12
D
．
24
B
F
A
图
3
C
D
例
1
3
．
（
2009
年四川绵阳）
12
．如图，△
ABC
是直角边长为
a
的等腰直角三角形，直
角边
AB
是半圆
O
1
的直径，半圆
O
2
过
C
点且与半圆
O
1
相切，则图中阴影部分的面积是
B
5
2
7<
/p>
2
5
2
7
2
a
B
．
a
C
．
a
D
．
a
第
A
．
3
题图
36
36
36
36
四、对称转化
C
O
2
P
A
O
1
B
C
折叠法
1
（
08
贵阳）如图，正方形
ABCD<
/p>
的边长为
4cm
，则图中阴影
部分的面积为
cm
2
．<
/p>
（利用图形变换中的轴对称）
（
2009
年湖南娄底）
< br>15
．如图
7
，⊙
O
的半径为
2
，
C
1
是函数
1
1
y
=
x
2
的图象，
C
2
是函数
y
=-
x
2
的图象，则阴影部分的面积
2
< br>2
是
.
五、和差转化
A
D
B
1
题
C <
/p>
（
2011
浙江台州，
< br>16,5
分）如图，
CD
是⊙<
/p>
O
的直径，弦
AB
⊥
CD
，垂足为点
M
，
AB=20
，
分别以
DM
，
CM
为直径作
两个大小不同的⊙
O
1
和⊙
O
2
，则图中所示的阴影部分面积为
（结果保留
）
【答案】
50
（
2011
安徽芜湖，
16
，
5
分）
如图，
在正方形
ABCD
内有一折线段，
其中
AE
⊥
EF
，
EF
⊥
FC
，
并且
AE
=6
，
EF
=8
，
FC=
10
，
则正方
形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为
_______.
图
6
【答案】
80
160
（
2011
内蒙古乌兰察布，
15<
/p>
，
4
分）
如图，
在
Rt
△
AB
C
中，
∠
ABC =
90
, AB = 8cm , BC = 6cm ,
分别
以
A,C
为圆心，以
0
AC
的长为半径作圆
,
将
Rt
△<
/p>
ABC
截去两个扇形，则剩余（阴
2
2
影）部分的面积为
cm
（结
果保留
π
）
A
B
C
第
15
题图
【答
案】
(24
（
2011
贵州安顺，
18
，
4
分）如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
C
=90°
，
CA
< br>=
CB
=4
，分别以
A
、
B
、
C
为
圆心，以
25
)
4
1
AC
为半径画弧，三条弧与边
AB
所围成的阴影部分的面积是
．
2
第
18
题图
【答案】
8
2<
/p>
例
6.
如图
6
，
Rt
△
ABC
中，
AC=8
，
B
C=6
，∠
C=90
°，分别以
AB
、
BC
、
AC
为直径作三个
半圆，那么阴影部分的面积
为
（平方单位）
解析：阴影部分面积可
以看成是以
AC
、
BC
为直径的两个半圆的面积加上一个直角三
角形
ABC<
/p>
的面积减去一个以
AB
为直径的半圆的面
积
（
2009
年山东青岛市）如图．边长为
1
的两个正方形互相重合，按住
其中一个不动，将
另一个绕顶点
A
顺时
针旋转
45
°
，则这两个正方形重叠部
分的面积是
．
D
A
B
D
C
E
B
C
如图
11
，正方形的边长为
1
，以
CD
为直径在正方形内画半圆，再以点
C
为圆心、
1
为半
径画弧<
/p>
BD
，则图中阴影部分的面积为
____
_______
。
⌒
1
例
2.
如图
3
是一个商标的设计图案，
AB=2BC=8
，
DE
为
圆，求阴影部分面积。
4
用重叠法寻找面积的和差：
看阴影是由哪几个图形叠加而成的。
要准确认清其结构，
理顺图
形间的大小关系
。
例
3.
如
图
4
，
正方形的边长为
a
，
以各边为直径在正方形内作半圆，
求所围成阴影部分
图形的面积。
解：
因为
4
个半圆覆盖了正方形，
而且阴影部分重叠了两次，
所以阴影部分的面积等于
4
个半圆的面积和与正方形
面积的差。
补形法：将不规则图形补成特殊图
形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。
例
4.
如图
5
，在四边形
ABCD
中，
AB=2
，
CD=1
，<
/p>
A
6
0
，
B
D
9
0
，求
四边形
ABCD
所在阴影部分的面积。
（
2011
浙江衢州，
10,3<
/p>
分）如图，一张半径为
1
的圆形纸片在边
长为
a
(
a
3)
的正方形内
任意移动，则在该正方
形内，这张圆形纸片
“
不能接触到的部分
”
的面积是（）
A.
a
B.
(4
)
a
2<
/p>
C.
2
D.
4
【答案】
D
（第
10
题）
（
2011
福建泉州，
7
，
3
分）如图，直径
AB
为
6
的半圆，绕
A
点逆时针旋转
60°
，此时点
B
到了点
B’
，则图中阴影部分的面积是（
）
.
A. 3
B. 6
C. 5
D. 4
【答案】
B
相似法
（
两个相似三角形的面积比等于相似比的平方）
等比法
（找等底或找等高：两个等
底的三角形
的面积比等于对应的高之比；两个等高的三角形的面积比等于对应的边之比；
）
在平行四边形
ABCD
中，
E
是
AB
的中点，
CE
和
BD
交于点
O
，设△
OCD
的面积为
m
，
△
OEB
的面积为
5
，则下列结论中正确的是（
）
A
．
m
5
B
．
m
4
5
C
．
m
3
5
D
．
m
10
例
4
如图
6
，在矩形
ABCD
< br>中，
E
、
F
分别是边
AD
、
BC
的
< br>中点，点
G
、
H
在边
DC
上，且
GH=
1
DC.
若
AB=
10
，
BC=12
，则图中阴影部分面
积
2
A
E
D<
/p>
G
H
B
A
为
．
解析：
如图
7
，<
/p>
连接
EF
，
可知
EF//GH
，
△
GOH
∽△
EOF
，
1
且相似比为
.
根据相似三角形对应边上的高线比等于相似
2
O
N
1
；由于
MN=6
，所以
ON=2
，
OM=4
比，可知
OM
2
1
于是△
GOH
的面积为：
×
5
×
2=5
；△
EOF
的面积为：
2
1
×
10
×
4=20
，
所以阴影部分面积
=
矩形
EFCD
面积
-25
2
=60-25=35.
F
图
6
E
O
C
D
G
N
H
C
M
B
F
< br>图
7
如图，在△
ABC
中，
BD
：
DC=1<
/p>
：
2
，
E
为
AD
中点，若△
A
BC
面积为
120cm
²，求填
色部分面积
如图，正方形
ABCD
的面积是
120
平方厘米
，
E
是
AB
的
中点，
F
是
BC
的中点，四边形
BGHF
的面积是多少平方厘米？
解：
添加辅助线，<
/p>
连接
GF
（图略）
。
因为
E
是
AB
的中点，
F
是
BC
的中点，
所以△CBE、
△C
DF、
△DBF
的面积都是正方形
AB
CD
面积的
1/4
，都是120×1/
4＝
30
平方厘米。在四边形
GEBF
中，
△GEB
与△GFB
是完全相同的，
又
F
是
BC
的中点，
所以△GE
< br>B
、
△GFB、
△GFC
的面积都是30÷3
＝
10
< br>平方厘米。于是，△GDF
面积＝△DBF
面积－△GF
B
面积＝
30
－
10
＝
20
平方厘米。
在四边形
DGFC
中，△GFH
与△CFH
的底都是
FH
，面积的比等于高的比；△GDF
与△CDF
的底都是
DF
，
面
积的比等于高的比，
并且△GDF
的高等于△GFH
的高，
△CDF
的高等于△CFH
的高，所以，△GFH
面
积∶△CFH
面积＝△GDF
面积∶△CDF
< br>面积＝20∶30＝2∶3。而△GFH
面积＋△CFH
面积＝△GFC
面积＝
10
平方厘米，
所以△GFH
面积是10÷(2＋
3
)
×2＝
4
平方厘
米，四边形
BGHF
的面积＝△GFB
面积＋△GFH
面积＝
10
＋
4
＝
14
平方厘米
代数法
将图形按形状、
< br>大小分类，
并设其面积为未知数，
通过建立方程或方程组
来解出阴影部
分面积的方法。
例
7.
如图
10
，正方形的边长为
a
，分别以两个
对角顶点为圆心、以
a
为半径画弧，求
图中阴影部分的面积。
解：设阴影
部分的面积为
x
，剩下的两块形状、大小相同的每块面积为
y
，则图中正方
形的面积是
x
2
y
，而
x
y
是以半径为
a
的圆面积的
具体问题
具体分析，合理选择、简捷第一
1
4
函数与面积
一次函数
y=2x+4
的图像与两坐标轴的交点分别为
与两坐标轴所围成的三角形的面积为
若一次函数
y=kx+3
的图像与两坐标轴所围成的三角形的面
积为
6
，则
k=____
一次函数
y=2x+b
的图像与两坐标轴围成的三
角形的面积是
4
，求解析式
一个一次函数的图像经过点
A
（
-3
，
0
）
，且和
y
轴相交与点
B
。当函数图像与坐
标轴围成的三角形
的面积为
6
时，求这个一次函数的解析式
已知一次函数
y=kx+b
与正比
例函数
y=2x
交与点
p(m,4)<
/p>
，
与
y
轴交点的
坐标为
3
，
求一次函数图象与两坐标所
围成的三角形的面积
已知四
条直线
y=kx-3
，
y=-1
，
y=3
和
x=1<
/p>
所围成的四边形面积是
12
，则
k
的值
是
______
____
分析：此题中四条直线围成四边形，其中有三条直线是已知直线，而
y=kx-3
则
是动直线，
因为
k
值不确定，
所以在考虑这个
问题的时候，
四边形的面积一定与
k
值
有关，所以解题的思路是用含
k
的式子表示出这个四边形的面积
，然后利用
面积为
12
列方程求解，与
动点类问题异曲同工。
如上图所示，①
当
A
、
B
在直线
CD
左侧时，直线
AB
：
y=kx-3<
/p>
经过点（
0
，
-
3
）
为动直线，而图中点
C
（
1
，
3
）
，
D
（
1
，
-1
）为已知定点，这四条直
线所围成的
四边形是一个梯形，其中点
A
、
B
均可由含
k
的式子表示其坐标：
A
（
2/k<
/p>
，
-1
）
，
B
（
6/k
，
3
）
，梯形
ABC
D
面积
=[(1-2/k)+(1-6/k)]×
4÷
2=12
，解得
k=-
2
；
②
当
A
、
B
在直线
CD<
/p>
右侧时，梯形面积
==[(2/k-1)+(6/k-1)]×<
/p>
4÷
2=12
，解得
k=1
。
反比例函数与面积问题
秦振
反比
例函数内容丰富、
涉及的数学知识较多，
是函数的重要内容之一
。
下面讨论几个反
比例函数与图象的面积问题，供同学们学习时
参考。
一
.
求函数解析式
例
1.
如图
1
，
P
是反比例函数图象在第二象限上
的一点，且矩形
PEOF
的面积为
3<
/p>
。求
这个反函数的解析式。
图
1
分析
：利用反比例函数
y
k
的特点及矩形
PEOF
的面积为
3
，求
k
的值。
< br>
x
解：设反比例函数为
y
所以
xy
k
。
k
，
x
因为<
/p>
S
矩形
PEOF
|
x
|
<
/p>
y
3
，图象在
第二象限，
所以
k
< br>
3
。
即反函数解析式为
y
二
.
求面积
例
2.
图<
/p>
2
中正比例函数和反比例函数的图象相交于
A
、
B
两点，分别以
A
、
B
两点为
圆心，画与
y
轴相切的两个圆，若点
< br>A
的坐标为（
1
，
2
）
，求图中两个阴影面积的和。
< br>
3
。
x
图
2
分析：利用反比例函数和圆的对称性求解。
< br>解：由点
A
的坐标可知，圆的半径是
1
，又由反比例函数的对称性知，两个阴影的面积
和应为一
个圆的面积，因此图中两个阴影面积的和为
。
例
2
．
(2009
·
牡丹江
)
如图
2
，
点
两点向
轴、
轴作垂线段，若
、
是双曲线
则
上的点，
分别经过
．
、
分析与解：
因为点
< br>、
是
双曲线上的点，由反比例图像的几何性质可知，以点
A
、
B
分别为
顶点的矩形面
积是相等的，从而有：
∵
∴
∴
例
3
（
2009<
/p>
·
莆田）
在
轴的
正半轴上依次截取
，
过点
分别作
轴的垂线与反比例函
数
的
图
象
相
交
于
点
并设其面积分别为
的值为
．
分析与解
：本题采用化归的思想方法
，连接线段
，
得
直
角
三
角
形
则
，构造三角形
，
从而把求
转化成求三角形
的面积，
这样就转化为反比例函数
的面积问
，
与
的高
都是
题了。
因为
，所以
三
.
特殊点组成图形的面积
例
3.
如图
3
，反比例函数
y
< br>
（
1
）求
A
、
B
两点的坐标；
（
2
）求
AOB
的面积。
8
与一次函数
y
x
2
的图象相交于
A
、
B
两点。
x
图
3
分析：将
AOB
的面积转化为
AOD
与
BOD
面积和求解。
8
y
,
解：
（
1
）解方程组
x
<
/p>
y
x
2
x
1
4
,
x
2
2
,
得
y
2
;
y
4
1
2
所以
A
、
B
两点的坐标为
A
（
-2
，
4
）
，
B
（
4
，
-2
）
< br>
（
2
）因为
< br>y
x
2
与
y
轴
交点
D
的坐标是（
0
< br>，
2
）
，
所以
S
AOD
1
2
2
2<
/p>
，
2
S
BOD
1
2
4
4
2
所以
S
AOB
2
4
< br>
6
四
.
探讨面积的变化
（
< br>2009
年·甘肃兰州）如图
1
，在直角坐标系中，点
是
轴正半轴上的一
个定点，点
时，
是双曲线
（
）上的一个动点，当点
的横坐标逐渐增大
的面积
将会（
）
A
．逐渐增大
B
．不变
C
．逐渐减小
D
．先增大后减小
例
4.
如图
4
，
y
x<
/p>
和
y
mx
(
m
0
)
的图象与
y
k
(
k
0
)
的图象分别交于第一象限内
< br>x
的两点
A
，
< br>C
，过
A
，
C
分别向
x
轴作垂线，垂足分别为
B
，
D
，若直
角三角形
AOB
与直角
三角形
COD
的面积分别为
S
1
、S
A.
S
1
S
2
2
，则<
/p>
S
1
与
S
2
的关系为（
）
B.
S
1
S
2