(完整版)用割补法求面积
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在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形
等图形组合而成的不规则图形，
为了计算它们的面积，
常常需要变动图形的位置或对图形进
行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出
面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，
为了计算面积，有时也要用到割补的方法
。
例
1
求下列
各图中阴影部分的面积：
分析与解
：（
1
）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下
< br>图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中
AB
弧所形成的弓形，其面积等于扇形
OAB
与三角形
OAB
的面积之差。
π×4×4÷4
-4×
4÷
2=4.56
。
（
2
）在题图虚线分割的两个正方形中，右
边正方形的阴影部分是半径为
5
的四分之一
个圆，在左边正方形中空白部分是半径为
5
的四分之一个圆
。
如下
图所示，
将右边的阴影部分平移到左边正方形中。
可以看出，<
/p>
原题图的阴影部分正
好等于一个正方形的面积，为
5×
5=25
。
例
2
在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等
分成三段
（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
分析与解
：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。
（
1
）割补法
从顶点作底边上的高，得到两个相
同的直角三角形。将这两个直角三角
（
2
）拼补法
将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。
积和平行四边行面积同时除以
2
，商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面
（
3
）等分法
将原图
等分成
9
个小三角形（见右上图），阴影部分占
3
个小三角形，
注意，
后两种方法对任意三角形都适用。
也
就是说，
将例题中的等腰三角形换成任意三
角形，其它条件不变
，结论仍然成立。
例
3
如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上
< br>底长
5
厘米、下底长
9
厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。
分析与
解
：
因为不知道梯形的高，
所以不能直
接求出梯形的面积。
可以从等腰直角
三角形与正方形之间的联系
上考虑。
将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形
（上页右
下图），图中阴影部分是边长
9
厘米与
边长
5
厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形
面积的
4
倍。所以所求梯形面积是（
9×
9-5×
5
）
÷
4=14
（厘米
2
）。
例
4
在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。
分析与解
：
题中给出了两个似乎毫无关联的
数据，
无法沟通与矩形的联系。
我们给这个直
< br>角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为
A
< br>与
A′
，
B
与
B′
面积分别相
等，所以甲、乙
两个矩形的面积相等。乙的面积是
4×
6=24
，所以甲的面积，即所求矩形的
面积也是
24
。
例
5
下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是
20
厘米，甲正方形比乙正方形的面
积大
40
厘米
2
。求乙正方形的面积。
分析与
解
：如果从甲正方形中
“
挖掉
”
和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的
A
，
B
，
C
三部分之和就是
40
厘米
2
（见左下图）。
把
C
割下，拼补到乙正方形的上面（见右上
图），这样
A
，
B
，
C
三块就合并成一个长
20
厘米的矩形，面积是
40
厘米
2
，宽是
40÷
20=2<
/p>
（厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边
长之差，
由此可求出乙正方形的边长为
（
20-2
）
÷
2=9
（厘米）
，
从而乙正方形的面积为
9×
9=81
（厘米
2
）。
练习
22
1.
求下列各图中阴影部分的面积：
（
1
）
（
2
）
2.
以等
腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长
4
厘米，
求图中阴影部分的面积。
3.
在左下图所示的等腰直角三角形
中，
剪去一个三角形后，
剩下的部分是一个直角梯形
（阴影部分）。已知梯形的面积为
36
厘米
2
，上底为
3
厘米，
求下底和高。
4.<
/p>
在右上图中，长方形
AEFD
的面积是<
/p>
18
厘米
2
，<
/p>
BE
长
3
厘米，
求
CD
的长。
5.
下图
是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长
3
厘米，甲的面积
比乙的面积大
45
厘米
2
。求甲、乙的面积之和。
6.
求下图（单位：厘米）中四边形
ABC
D
的面积。