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2021年2月21日发(作者：一起又看流星雨14)

五大面积模型讲义及练习

知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如右图

S

1

:

S

2



a

< br>:

b

③夹在一组平行线之间的 等积变形，

如右图

S

△

ACD



S

△

BCD

；

反之，如果

S

△

ACD



S

△

BCD

，则可知 直线

AB

平行于

CD

< br>．

④等底等高的两个平行四 边形面积相等

(

长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形

)

；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

< /p>

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积

比等于它们的高之比．

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角 相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面 积比等于对应角

(

相等角或互补角

)< /p>

两夹边的乘积之比．

如图在

< p>
△

ABC

中，

D

,

E

分别是

AB

,

AC

上的点如图

⑴

(

或

D

在

BA

的延长线上，

E

在

AC

上

)

，

则

S< /p>

△

ABC

C

D< /p>

A

B

:

S

△

ADE



(

AB



AC

)

:

(

AD



AE

)

D

< p>
A

A

D

E

E

B

图⑴

图⑵

D< /p>

A

S

2

B

S

1

O

S

< p>
3

C

C

B

C

三、蝴蝶定理

S

4

1 < /p>

任意四边形中的比例关系

(

“蝴蝶定理”

)

：

①

S

1

:

S

2



S

4

:

S

3

或者

S

1



S

3



S

2



S

4

②

②

AO< /p>

:

OC





S

1



S

2



:



S

4



S

< br>3



蝴蝶定理为我们提供了解 决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一

方面可以使不规则四边形的面 积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以

得到与面积对应的对角线的比例关 系．

梯形中比例关系

(

“梯形蝴蝶定理”

)

：

< /p>

①

S

1

:

S

3



a

< p>
:

b

②

S

1

:

S

3

:

S

2

:

S

4



< br>a

:

b

:

ab

:

ab

；

四、相似模型

2

2

A

S

2

a

S

1

O

S

3

S

4

D< /p>

2

2

(

一

)

金字塔模型

(

二

)

沙漏模型

A

B

b

C

E

A< /p>

F

D

D

B

F

G

E

C

< p>

B

G

C

①

AD

AE

DE

AF







AB

AC

B C

AG

；

②

S

△

ADE

：

S

△

ABC



AF< /p>

2

:

AG

2

．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大 小不同的三角形

(

只要其形状不改变，不论大小

怎样改变它们都相似

)

，与相似三角形相关的常用的性 质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例， 并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．

五、燕尾定理

在三角形

ABC

中，

AD

，

BE

，

CF

相交于同一 点

O

，那么

S



ABO

:

S



ACO



BD

:

DC

．

F

O

B

D

C< /p>

E

A

上述定理给出了一个新的转化面积比 与线段比的手段，因为



ABO

和



ACO

的形状很象燕子的尾巴，所以这个 定理被称为燕尾定理．该定理

在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它 可以存在于任何一个三角

形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的 途

径

典型例题

1)

如图所示，

正方形

ABCD

的边长为

8

厘米，

长方形

EBGF

的长

BG

为

10

厘米，

那么长方形的

2

宽为几厘米？

_

E

_

A

_

F

_

D

_

G

_

C

_

B

_

F

_

A

_

E

_

B

2

2)

长方 形

ABCD

的面积为

36

cm

，

E

、

F

、

G

为各边中点，

H

为

AD

边上任意一点 ，问阴

影部分面积是多少？

A

H

D

_

D

_

G

_

C

E

G

B

F

C

3)

< p>
在边长为

6

厘米的正方形

ABCD

内任取一点

P

，

将正方形的一组对边二等分，

另一组

对边三等分，分 别与

P

点连接

,

求阴影部分面积．

A

D

< p>
A

(

P

)

D

A

D

P

P

B

C

4)

如图 所示，

长方形

ABCD

内的阴影部分的 面积之和为

70

，

AB



8

，

AD

< br>

15

，

四边形

EFGO

的面积为

．

A

D

B

C

B

C

O

E

B

F

G

C

5)

< p>
如图，长方形

ABCD

的面积是

< br>36

，

E

是

AD

的三等分点，

AE



2

ED

，则阴影部分的面积

为

．

3

A< /p>

O

B

E

D

C

6)

如图 ，已知

CD



5

，

DE



7

，

EF



15

，

FG



6

， 线段

AB

将图形分成两部分，左边部分

面积是

38

，右边部分面积是

65

，那么三角形

ADG

的面积是

．

< /p>

A

C

D

B

E

F

G

7)

如图 在

△

ABC

中，

D

,

E

分别是

AB

,

AC

上的点，且

AD

:

AB



2:5

，

AE

:

< p>
AC



4:7

，

S

△

ADE



16

平

方厘米，求

△< /p>

ABC

的面积．

A

D

E

B

C

8)

如图 在

△

ABC

中，

D

在

BA

的延长线上，

E

在

AC

上，且

< p>
AB

:

AD



< p>
5:

2

，

1.

AE

:

EC



3:

2

，

S

△

ADE



12

平方厘米，求

< br>△

ABC

的面积．

< p>
D

A

E

B

C

9)

如图，

三角形

ABC

的面积是

1

，

E

是

AC

的中点，

点

D

在

BC

上，

且

BD

< p>
:

DC



1:

< p>
2

，

AD

与

BE

交于点

F

．则四边形< /p>

DFEC

的面积等于

．

4

A

E

B

D

F

C

10)

如 图，长方形

ABCD

的面积是

2

平方厘米，

EC



2

DE

，

F

是< /p>

DG

的中点．阴影部分的

面积是多少平方 厘米

?

A

F

B

G

D

E

C< /p>

A

x

F

y

x

y

G

D

< p>
E

C

B

11)

四 边形

ABCD

的对角线

AC

< p>
与

BD

交于点

O

(

如图所示

)

．

如果三角形

ABD

的面积等于

三角形

BCD

的面积的

1

，且

AO



2

，

DO



3

，那么

CO

的长度是

DO

的长度的

_________

3< /p>

倍．

A

O

B

C

D

12)

如图，四边形被两条对角线分成

4

个三 角形，其中三个三角形的面积已知，

1.

求：⑴三角形

< br>BGC

的面积；⑵

AG

:

GC



？

A

2

B

C

1

G

3

D

< br>

13)

< br>如图，长方形

ABCD

中，

BE

:

EC



2: 3

，

DF

:

F C



1:

2

， 三角形

DFG

的面积为

2

平方厘米，

求长方形

ABCD

的面积．

5

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