三角函数之面积问题
-
解三角形面积问题
1.
（本小题满分
12
分）
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分
别为
a
,
b
,
c
.
已知
a
3,cos
A
6
,
B
A
. <
/p>
3
2
（Ｉ）求
b
的值；
（
I
I
）求
ABC
的面积
.
2.
（本小题满分
14
分）
在
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
，已知
4sin
2
A
B
4sin
A
< br>sin
B
2
< br>
2
2
（
1
）求角
C
的大小；
（
2
）已知
b
4
，
ABC
的面积为
6
，求边长
c
的值
.
3.
在
ABC
中，内角
A
,<
/p>
B
,
C
所对的边
分别为
a
,
b
,
c
，且
a
b
c
8
（
1
）若
a
2
,
b
（
2
）若
sin
A
cos
的值
.
4.
四边形
2<
/p>
5
，求
cos
C
的值
;
2
9
B
A
sin
B
cos
2
2
sin
C
，
且
ABC
的面积
S
sin
C
，求
a
和
b
2
2
2
ABCD
的内角
A
与
C
互补，
AB=1
，
BC=3,
CD=DA=2.
(
I
)
求
C
和
BD;
(
II
)
求四边形
ABCD
的面积。
5.
（本小题满分
12
分）
在△
ABC
中，角<
/p>
A
，
B
，
C
对应的边分别是
a
，
b
，
c
.
已知
cos2
A
3cos(
B
< br>C
)
1
.
（Ⅰ
）求角
A
< br>的大小；
（Ⅱ）若△
ABC<
/p>
的面积
S
5<
/p>
3
，
b
5
，求
sin
B
sin
C
的值
.
6.
（
18
）
（本小题满分
13
分，（Ⅰ）小问
4<
/p>
分，（Ⅱ）小问
9
分）
< br>
在△
ABC
中，内角
A
、
B
、
C
的对边分别是
a
、
b
、
c
，且
a
b
c
3
ab
．
（Ⅰ）求
A
；
（Ⅱ）设
a
3
，
S
为△
A
BC
的面积，求
S
< br>3cos
B
cos
C
的最大值，并指出此时
B
的
值．
7.
在锐角△
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为<
/p>
a
，
b
，
c
，
且
2asinB=
3b .
（Ⅰ
）求角
A
的大小；
（Ⅱ
)
若
a=6
，
b+c=8
< br>，求△
ABC
的面积
.
8.
（本小题满分
12
分）
△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
< br>。已知
3cos
（
B-C
）
-1=6cosBcos
。
2
2
2
（
1
）求
cosA
；
（
2
）若
a=3
，△
ABC
的面积为
2
2
，求
b
，
c
。
9.
（本小题满分
12
分）
已
知
a
，
b
，<
/p>
c
分别为△
ABC
三个内角
A
，
B
，
C
的对边，
c
< br> =
3
a
sinC
－
c
cosA
(1)
求
A
(2)
若
a
=2
，△
ABC
的面积为
3
，求
b
< br>,
c
10.
< br>(
本小题满分
12
分
)
在△
ABC
中，内角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c<
/p>
，已知
sin
B
(tan
A
tan
< br>C
)
tan
< br>A
tan
C
.
(
Ⅰ
)
求证：
a
,
b
,
c
成等比数列；
(
Ⅱ
)
若
a
< br>
1,
c
2
，求△
ABC
的面积
S
.
试卷答案
1.
三．
（Ⅰ）由题意知：
sin
A
1
cos
2
A
sin
B
sin
A
3
，
3
6
，
sin
A
cos
cos
A
sin
c
os
A
2
2
2
3
a
b
a
sin
B
b
3
2
由正弦定理得
：
sin
A
sin
B
sin
A
3
（Ⅱ）由
B
< br>
A
得
cos
B
cos(
A
)
sin
A
.
2
2
3
A
B
C
,
C
(
A
B
)
,
sin
C
sin(
A
B
)
sin
A
cos
B
cos
A
sin
B
3
3
6
6
1
< br>(
)
，
3
3
3
3
3
1
1
1
3
2
因此，
ABC
的面积
S
ab<
/p>
sin
C
<
/p>
3
3
2
.
2
2
3
2
2.
（
1
）由已知得
2
[
1
cos(
A
B
)]
4
sin
A
sin
B
2
2
，
化简得
2
cos
A
cos
B
2
sin
A
sin
B
2
，
故
cos(
A
B
)
3
< br>2
，所以
A
< br>B
，
4
2
因为
A
B
C
<
/p>
，所以
C
<
/p>
（
2
）因为
S<
/p>
3
.
1
ab
sin
C
，由
S
ABC
6
，
b
4
，
C
，所以
a
3
2
，
2
3
< br>2
2
2
由余弦定理得
C
a
b
2
ab
< br>cos
C
，所以
c
10
.
3.
s
π
C
=
，
BD
=
7
3
4. (1)
(2)
2
3
（
1
）
设
x
=
BD
,
分别在
ΔABD,
ΔBCD
中，对角
A,
C
用余弦定理
,
则
1
+
4
-
x
2
9
+
4
< br>-
x
2
cos
< br>A
=
,
cos
< br>C
=
.
A
+
C
=
π
∴
cos
A
+
cos
C
=
0
2
•
2
2
•
2
•
3
1
π
联立上式解得<
/p>
x
=
7
,
cos
C
=
,
所以
,
C
=
，
BD
=
7
2
3
(2)
A
+
C
=
π,
C
=
π
3
∴
s
in
< br>A
=
sin
C
< br>=
3
2
1
1
3
AB
•
AD
•
sin
A
+
CB
•
CD
•
sin
C
=
(
1
+
3
)
2
2
2
四边形
ABCD
面积
S
ABCD
=
S
Δ
ABD
+
S
Δ
BCD
=
=
2
3
.
所以，四边形
ABCD
面积为
2
3
5.