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2021年2月21日发(作者：是树木游泳的力量)

创作编号：

GB88783BT9125XW

创作者：

凤呜大王

*

穿根法解不等式的原理、

步骤和应用范例

摘要：

本 文通过阐述穿根法解不等式的原理、

步骤和应用范例，

尝试对其 进行系统性的论述。

在原理层面，

提出该方法中不

等式的标准形式为

f(x)=(x-x

1

< p>
)(x-x

2

)

……

(x-x

n

)

∨< /p>

0

，规范了序

轴的概念，

先后由一元一次、

二次到高次不等式，

动态考察

了

f(x)

的符号变化规律，并介绍如何使用 穿根法表达此规

律；

在步骤层面，

对解 高次不等式、

分式不等式和含等号不

等式的操作步骤进行了分类 详述；然后通过

6

个应用范例，

进一步 展现了穿根法解不等式的具体操作细节和若干注意

事项。论文最后概括说明了穿根法的特 征和实用意义。

关键词：

穿根法；解不等式；原理；步骤；应用

穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的

重要通用方 法，

特别在解简单高次不等式时，

一直居于主流地位。

然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此

法也往往 是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。

现结合中学一线教学经验，通过阐 述其原理、步骤和应用范例，

尝试对其进行系统性的论述。

一、

原理

穿根法解不等式时，一般先将其化为形如：

< br>f(x)=(x-x

1

)(x-x

2

)

…

(x-x

n

)>0

（或

<0

）

的标准形式，主要考察

f(x)

的符号 规律。

在穿根法中我们引入序轴的概念。序轴是一条有向直线 ，

类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要

求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。

（一）

一

次不等式

标准形式：

f(x)=x-x

1

>0

（或

<0

）

我们将

x-x

1=

0

的根

x

1

标在序轴上，可以发现：

x

1

右边的 点

都是大于

x

1

的点，即是

x-x

1

>0

< p>
的解；而

x

1

左边的点都 是小于

x

1

的点，即是

x-x

1

<0

的

解。所以可以如图标注，图中

+

、

< br>-

用以表

示

f(x)=x-x

1

的符号。

我们还可以以动态的思想来考察该问题。当一点

x=a

从

x

1

右侧向

x

1

左侧移动时，

f (x)=x-x

1

经历了由正到

0

又到负的符号变

换。由此也可得出

f(x)

的符号可以如图标注的结论。

（二）

二

次不等式

标准形式：

f(x)=(x-x

1

)( x-x

2

) >0

（或

<0

）

(1) x

1

≠

x

2

时，不妨设

x

< br>1

2

将

f(x )=0

的二根

x

1

、

x

2

标在序轴上，则可以发现： 处于

(-

∞

,

x

1

)

，

( x

2

,+

∞

)

内的点满足

f(x)

>0

< p>
，处于

(x

1

,x

2

)

内的点满足

f( x) <0

。

当我们动态考察该问题 时，我们也可

以发现：当点

x=a

在< /p>

x

2

右方时，

x -x

1

、

x-x

2

均正，故有

f(x) >0

；

而当点

x=a

从

x

2

右侧移动到左侧时，

x-x

2

变为负值，

而

x-x

1

符号

不变，所以有

< br>f(x)

必然变号，此时由正变负；而再当点

x=a

从

x

1

右侧移动到 左侧时，

x-x

1

由正变负，而

x-x

2

符号不变，所以

f(x)

又一次变号，此时由负变正。

< br>总之，无论从哪个方面看，

f(x)

的符号都可以如图标 注。

(2) x

1

< br>=x

2

时，即形如

f(x)=( x-x

1

)

2

时

显然，

(-

∞

,x

1

)

与

( x

1

,+

∞

)

都是

f(x) >0

的解。

而若动态的考察此问题，则有

点

x=a

从

x

1

右侧移 动向左侧移动时，

由于平方项内的

x-x

1

由正到

0

又到负，所以

< p>
f(x)

经历了由正到

0

又回到正的过程。故而

f(x)

在

x< /p>

1

两侧符号同正，只有在

x=x

1

处

为

0

。

（三）

高

次不等式

标准形式：

f(x)=(x-x

1

)( x-x

2

)

…

(x-x

n

)>0

（或

<0

）

，

x

1

≤

x

2

≤……≤

x

n

< br>

(1)

x

< br>1

2

<

…

n

时

动态考察

f(x)

的符号，则有当 点

x=a

在

x

n

右方时，

x-x

i

(i=1,2,…,n)

均大于

0

，故而

f(x) >0

；而当点

x =a

从

x

n

右 侧移动到

左侧时，

x-x

n

< p>
符号变化，而其余任一

x-x

i

< br>均不变号，所以有

f(x)

由正变负；类似可得：对任一

i

，当点

x=a

从

x

i

右侧移动到左侧

时，

x-x

i

符号变化，< /p>

而其余每个

x-x

j

(j

≠

i)

都不变号，所

以有

f(x)

必然变号，或由正变负，或由负 变正。就这样，由于每

过一个

x

i

都恰有一个因式

x-x

i

< br>变号，

所以我们可以从最右上方开

始画一条依次穿过各根 的线，这正是穿根法的原理和名称由来。

(2)

x

1

≤

x

2

≤…… ≤

x

n

且有等号成立时

其标准形式可写为

f(x )=(x-x

1

)

m1

(x-x

2

)

m2

…

(x-x

n

)

mn

>0

（ 或

<0

）

，

x

1

2< /p>

<

…

n ,

m

i

∈

N

*

(i=1,2,…,n)

当点

x=a

在

x

n

右方时，所有

x-x

i

(i=1,2,…,n)

均为正，故而

f(x)

< p>
为正。

而每当

x=a

从< /p>

x

i

右侧移动到

x

i

左侧时，

若

m

i

为奇，

则

(x-x

i

)

mi

由正变负，

f(x)

符号改变 ；而若

m

i

为偶，则

< br>(x-x

i

)

mi

符号

不变，

f(x) < /p>

符号也不变，原正仍为正，原负仍为负。这里值得一

提的是，每当

x=x

i

成立，即有

< br>f(x)=

0

。所以，使用穿根法当遇

到

m

i

为奇，则穿根线在根< /p>

x

i

穿过序轴；当遇到

< br>m

i

为偶，则穿根

线与根

x

i

接触即回，

好像 被序轴弹了回去。

此称为

“奇穿偶回”

。

二、

步骤

（一）

一元高次不等式

对于不等式

f(x) >0

，其中

f(x)

为

x

的高 次多项式，用穿根法

解的步骤如下：

（

1

）

整理——原式化为标准型

把

f(x)

进行因 式分解，

并化简为下面的形式：

f( x)=(x-x

1

)

m1

(x-x

2

)

m2

…

(x-x

n

)

mn

>0

（或

<0

）

，

m

i

∈

N

*

(i=1,2,…,n)

（

2

）

标根——在序轴上标根

将

< p>
f(x)=0

的

n

个不同

的根

x

1

,x

2

,

……

x< /p>

n

按照大小顺序标在序轴上，

将序轴分为

n+1

个区间。

（

3

）

画线——画穿根线

从最大根右上方开 始，按

照大小顺序依次经过每个根画一条连续曲线，作为穿根线。

遇奇次根穿过序轴，遇偶次根弹回，即“奇穿偶回”

。

（

4

）

选解——写出解集

如例图，在序轴上 方的曲

线对应的区间为

f(x)>0

解 集，在序轴下方的曲线对应的区

间为

f(x)<0

解集。

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