球体表面积
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球体表面积
球体表面积是指球面所围成的几何
体的面积，它包括球面和球面所围成的空间。
1
公式
球体
表面积公式
2
公式证明
把一个半径为
R
的球的上半球横向切成
n
（无穷大）份，
每份等高
并且把每份看成一个类似圆
台，其中半径等于该类似圆台顶面圆半径
则从下到上第
k
个类似圆台的侧面积
S(k)=2
π
r(k)×h
其中
r(k)=√[R^2
-
﹙
kh
）
^2],
h=R
^2/{n√[R^2
-
﹙
kh
）
^2}.
S(k)=2
< br>π
r(k)h=(2
π
R^2)
/n
则
S=S(1)+S(2)+„„+S(n)=
2
π
R^2;
乘以
< br>2
就是整个球的表面积
4
π
R^2;
可以把半径为
R
的球看成像洋葱一样分成
n
< br>层，
每层厚为
=
，
设第
k
层与球心的距
离为<
/p>
r=r(k)=k
，面积为一个关于
r(
k)
的函数设为
S(r)
，则
k
层的体积
V(k)=S(r)*
，
所以
V=
V(k)=
S(k
)*
=<
/p>
S(r)*
Δ
r=
,
也就是
V(r)=
，
有
可以知道
V(r)=4/3
π
r^3,
所以同时求导就可得
S(
r)=4
π
r^2
一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积．
一个圆锥的体积等于与它等底等高
的圆柱的体积的
1/3
根据圆柱体积公式
V=Sh
（
V=
π
r^2h
），得出圆锥体积公
式：
S
是圆柱的底面积，
h
是圆柱的高，
r
是圆柱的底面半径。
证明：
把圆锥沿高分成
k
分
每份高
h/k,
第
n
份半径：
n×r÷k
第
n
份底面
积：
pi×nx2×rx2÷kx2
第
n
份体积
：
pi×h×nx2×rx2÷kx3
总体积
(1+2+3+4+5+...+n)
份
:pi×h×(1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2)×rx2/kx3
∵
1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2=k×(k+1)
×(2k+1)÷6
∴总体积
(1
+2+3+4+5+...+n)
份
:pi*h*(1x2+2
x2+3x2+4x2+...+kx2)*rx2/kx3
=pi*h*rx2*
k*(k+1)*(2k+1)/6kx3
=pi*h*rx2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
∵
当
n
越来越大，总体积越接近于圆锥体积，
1/k
越接近于
0