不规则立体图形
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精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号：
年
级：
课
时
数：
学员姓名：
辅导科目：
学科教师：
授课
类型
C(
长方体正方体变形
)
C
（圆柱圆锥立体变形）
T
（拓展提高）
授课日
期时段
教学内容
一、
专题精讲
例
1.
把十
九个棱长为
1
厘米的正方体重叠起来，
拼成一个立体图形，
如图
1
所示，
求这个立体图形
的表面积。
答案解析：
由于此立体图形的三个面
的投影的面积分别是
10
平方厘米，
8
平方厘米，
9
平方厘米，
所以此立体图
形表面积为（
10+8+9
）×
2=54
（平方厘米）
。
（注：如果一个立体图形没有
被“挖洞”的问题，那么它的表面积应该是从上、下、左、右和前、后六个
方向看到的平
面图形的面积的总和。而此立方体图形，从前后、上下、左右分别看到的图形分别如图
所
示。
）
例
2.
如图
3
所示，
剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型
（沿着虚线折，
沿着实线粘）
。
< br>请问：
这个多面体的面数、顶点和棱数各是多少？
答案解析：
从展开图中可以看出，粘
合的多面体有
12
个正方形和
8
个三角形，从而它有
20
个面。
这个多面体上部的中间是一个正三角形，它的三边与三个正方形相连，因此
这个多面体的上部共有
9
个顶点。同理，它的下部也有
9
个顶点，因此这个多面体的顶点数为
18
。
由欧拉公式，这个多面体的棱数
=20+18-2=36
，即这个多面体有
3
6
条棱。
答：粘合后的多面体有
20
个面，
18
个
顶点，
36
条棱。
例
3.<
/p>
如图
4
所示是一个长方体，上、下两面被
分成
6
×
5=30
个正方形，前后两个面被分成
6
×
4=24
个正方形，左右两个面被分成
5
×
4=20
个正方形，那么图中共有多少个正方体？多少个长
方体？
答案解析：
图
4
中长方体的长边上有
6+5+4+3+2+1=21
条线段；宽边上有
5+4+3+2+1=15
条线段；高上有
4+3+2+1=10
条线段。所以图形中的长
方体（包含正方体）的总数有
21
×
1
5
×
10=3150
（个）
。
而图
4
中有最小的正方体
6
×
5<
/p>
×
4=120
（个）
，
由
8
个最小正方体组成的正方体
有
5
×
4
×<
/p>
3=60
（个）
，
由
27
个最小正方体组成的正方体有
4
×
3
×
2=
24
（个）
，由
64
< br>个最小正方体组成的正方体有
3
×
2
×
1=6
（个）
< br>，因此，图
4
中共有正方体
12
0+60+24+6=210
（个）
。
例
4.
如图
8
所示，一个棱长
10
厘米的正方体，
分别在它的前后、左右、上下各需的中心位置挖去
一个横截面是边长为
< br>3
厘米的正方形的正方体（都和对面打通）
。求这个立体
图形的体积。
答案解析：
此立体图形的体积等于正
方体的体积减去前后、左右、上下六长方体的体积。
正方体的
体积为
10
×
10
×
10=1000
（立方厘米）
前后长方体的体积为
3
×
3
×
10=90
（立方厘米
）
同理，左右长方体和上下长方体的体积也是
90
立方厘米。正方体内部的小正方体的体积为
3
×
3
×
3=27<
/p>
（立方厘米）
因此，此立体图形的体积
为
1000-90
×
3+27
×
2=1000-270+54=784
（立方
厘米）
二、专题过关
【
检测题
1
】
从一个长方体上截下一个体积是
32
立方厘米的小长方体后剩下的部分正好是棱长为
4
厘米的正
方
体，则原来的长方体的表面积是
______
。
【
检测题
2
】
2
．有一个零件如图
10
所示，则
它的体积是
______
立方厘米，它的表面积是
______
平方厘米（单位：
厘米）
< br>【
检测题
3
】
< br>
图
11
中的正方体
A
点有一只蚂蚁要沿着棱爬到
B
< br>点，那么，取最短路线的走法有
______
种。
【
检测题
4
】
有一张长方形
的纸板，它的长是
12
厘米，把它的四边折起
< br>2
厘米，并剪去四个角的正方形。已知折
成无盖纸盒的容
积是
112
立方厘米，那么这张纸的宽是
______
厘米。
【
检测题
5
】
有一个棱长为
10
厘米的正方体木块，从它的每个
面看都有一个穿透的完
的“十”字孔（如图
12
所示）
，求这个立体图形的表面积。
全
相
同
【
检测题
6
】图
13
中
第一格内放着一个立方体木块，木块的六个面上分别写着
A
、<
/p>
B
、
C
、
D
、
E
、
F
六个字母，其中
A
与<
/p>
D
，
B
与
E
，
C
与
F
相对，且
A
面向上。如
果木块沿着图中方格滚动，那么当木
块滚到第
21
格进，木块向上的面是哪个字母？
【答案解析】
：
【检测题
1
答案】将小长方体拼在正方体上恰可以组成原来
的长方体，因此小长方
体必有一面与正方体的面相等，即小正方体有一面为
4
×
4
的正方体，从而它的
长、宽、
高分别为
2
厘米、
4
厘米和
4
厘米。所以大
正方形的长、宽、高分别为
6
厘米、
4
厘米
和
4
厘米
，从而它的表面积为：
2
×（
4
×
4+4
×
6+4<
/p>
×
6
）
=2
×（
16+24+24
）
< br>=2
×
64=128
（平方厘米
）
。
【检
测题
2
答案】此零件的体积为上面的正方体的体积加上下面的长
方体的体积。
而上面的正方体的体积为
2
×
2
×
2=8
（立方厘米）
，下面的长方体的体积为
4
×
4
×
2=36
< br>（立方厘米）
，因此这个零件的体积是
8+32=40<
/p>
（立方厘米）
。而它的表面积用“投影法”
来求解。从上下面看，投影的面积均为
4
×
< br>4=16
（平方厘米）
，从前后左右看，投影的面
积均为
4
×
2+2<
/p>
×
2=8+4=12
（
< br>平方厘米）
，
因此这个零件的表面积为
< br>16
×
2+12
×
4=32+48=80
（平方厘米）
。
【检测题
3
答案】如答图
1
所示，
从
A
点出发，
到
A
1
有一条路线，从
A
1
到
B
有两条
最短路线，从而，从
A
点出发经
A
1
到
B
点
有两条最短路线。同理，从
A
点出发经
B
2
和
经
A<
/p>
3
也各有两条最短路线到达
B
点，从而从
A
点到
B
点最短路线共有
2+2+2=6
（条）
。
【检测题<
/p>
4
答案】设这张纸板的宽是
x
厘米，则折成的无盖纸盒底面的长是（
12-2
×
2
）
=8
厘米
，宽是（
x-2
×
2
< br>）
=
（
x-4
< br>）厘米，高是
2
厘米。从而有
8
×（
x-4
）×
2=112
即
x=11
（厘米）
【检测题
5
答案】
将这个立体图形看成
8
个棱长为
4
厘米的正
方体和
12
个棱长为
2
厘米的正方体粘合而成。其中
8
个棱长为
4
厘米的正方体在大正方体的八个顶点上，棱
长为<
/p>
2
厘米的正方体在大正方体的棱的中间。
由于每个小正方体都有两个面分别粘接两
个较大的正方体，相对于不粘接，对粘接面减少
了
2
×
2
×<
/p>
4=16
（平方厘米）的表面积，
所以这
个立体图形的表面积为
（
4
×
4
×
6
）×
8+
（
2
×
2
×
6
< br>）×
12-16
×
12=768
+288-192=864
（平方厘米）
【检测题
6
答案】
当木块沿着同一个方向滚动时，
每滚动四格，
会回到原来的状态。
所以当木块向左滚动四格后，即在第五格的时候，状态
与第一格一样。同理，当木块从
第五格滚第九格时，最终状态也未改变。从而第
1
格、第
5
格、第
9
格、第
13
格、
第
17
格、
第
21
格的状态是一样的。
因此，
当木块
滚到第
21
格时，
木块向上的面是字母
A
。
三、学法提炼
1
、立体图形的计数问题，
有一个常用的结论：如果把正方体的每条棱长
n
等分，那么就将正方体分成
n
3
3
3
3
个小正方体，而正方体的总个数有
1
2
3
<
/p>
n
。
2
、立体图形上的最短路线问题，一般将立
体图形展开在平面上，利用公理“两点之间，直线段最短”来
求解。
3
、立体图形的分割与拼凑，类似于平面图形的分割与拼
凑，将不规则的立体图形拼凑成规则的或我们比
较熟悉的立体图形。
4
、立体图形的表面积与体积的计算，一般是将图形分成
几个部分，对各个部分分别求出表面积或体积，
再求出总的表面积或体积。
专题精讲
例
1.
把一块长为
< br>15.8
厘米，宽为
8.4
厘米
，高为
6
厘米的长方体铝块和一块底面积直径为
8.4
厘米，高
10
厘
米的圆柱形铝块，熔铸成一个底面半径为
10
厘米的圆锥形铝块，求这块圆锥形铝块的高是多少厘米？
答案解析：
长方体的体积为
15.8
×
8.4<
/p>
×
6=796.32
（立方厘米）
8
.
4
10
< br>
553
.
90
2
圆柱体的体积为
（立方厘米）
2
1
100
V
10
2<
/p>
x
x
3
3
设圆锥体的高
为
x
厘米，则圆锥体的体积为
（立方厘
米）
100
x
796
.
32
553
.
90
根据题意，圆锥体积等于长方体体积与圆锥体体积之和，列方程可得
3
即
104.64x=1350.22
从而
x=12.90
（厘米）
答：这块圆锥体铝块的高是
12.90
厘米。
例
2.
一个圆柱体的底面周长和高相
等，说明圆柱体的侧面展开是一个正方形。从图
3
可以看出，表
面
积减少的部分
（即阴影部分）
实际上
是高为
2
厘米的圆柱的侧面积，
从而底
面周长为
62.8
÷
2=31.4
（厘米）
由底面周长可以求出底面半径，然后求出底面积，再求出原
来圆柱体的体积。
答案解析：
底面周长为
62.8
÷
2=31.4
（厘米）
从而底面半径为
31
.
4
2
< br>
5
厘米
2
5
31
.
4
78<
/p>
.
5
31
.
4
2464<
/p>
.
9
立方厘米
所以圆柱体的体积为
答：原来圆柱体的体积是
2464.9
立方厘米。<
/p>
例
3.
图
4
是一个珠宝箱的直观图，它的下部是一
具棱长为
20
厘米的正方体，上部是圆柱体的一半。求这
个珠宝箱的表面积和体积。
答案解析：
（
1
）先求这个珠宝箱的表面积：
将这个几何体的表面积分成两上部分：
一部分是圆柱表面积的一
半，
另一部分是正方体的
5
个面的面积
之
和。
由于正方体的棱长为
20
厘米，从而圆柱底面半径为
10
厘米，高为
20
厘米，因此圆柱的表面积为
2
r
r
h
2
3
.
14
10
30
1884
平方厘米
，可得第一部分
的表面积为
1884
÷
2=942
（平方厘米）
；而
2
2
5
h
5
20
20
00
平方厘米
；故此珠宝箱的表面积为
942+2000=2942
（平
方厘
第二部分的表面积为：
米）
。
（
2
）再求这个
珠宝箱的体积：
1
1
r
2
h
3
.
14
20
3140
立方厘米
2
第
一
部
分
的
体
积
为
2
；
第<
/p>
二
部
分
的
体
积
为
h
3
20
3
8000
立方厘米
；故此珠宝箱的体积为
3140+800
0=11140
（立方厘米）
。
答：这个珠宝箱的表面积为
2942
平方厘
米，体积为
11140
立方厘米。
例
4.
如
图
5a
所示，壁虎在一座油罐的下底边
A
处，它发现在自己的正上方，油罐上边缘的
B
处有一只
害虫，壁虎决定捕捉这只害虫。为了不引起害虫的注意，它故意不走直
线，而是绕着油罐，沿着一条螺
旋路线，从背后对害虫进行突然袭击。请问；壁虎沿着螺
旋线至少要爬行多少米才能捕到害虫？