球的体积和表面积附答案
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球的体积和表面积附答案
球的体积和表面积
[
学习目标］
1.
< br>记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积
.2.
能解决与球有关
的组合体的计算问题
.
知识点一
球的体积公式与表面积公式
1.
球的体积公式
V
＝
错误
!
π
Ｒ
(
其中
R
为球的半径
).
2.
球的表面积公式
S
=4π
R
.
思考
球有底面吗
?
球面能展开成平面图形吗？
答
球没有底面，球的表面不能展开成平面．
知识点二
球体的截面的特点
１．球既是中心对
称的几何体，
又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也
都是圆
.
2.
利用球半径、
截面圆半径、
球心到截面的距离构建直
角三角形是把空间问题转化为平面问
题的主要途径
.
２
3
题型一
球的表面积和体积
例
1
（
1<
/p>
）已知球的表面积为
6
４π，求它的体积
;
（
2)<
/p>
已知球的体积为＼
f(50
０
,
3)
π，求它的表面积
.
解
(<
/p>
１
)
设球的半径为
R
，则
4π
Ｒ
=64π，解得
R
＝４，
4
３
4
３
所以球的体积
V
＝
π
Ｒ
=
π·4
＝
错误
!
π.
３
3
(
２
)
设球的半径为
R
，则<
/p>
错误
!
π
R
=
错误
!
π，解得
R
=5,
1
/
13
3
2
球的体积和表面积附答案
所以球的
表面积
S
=4π
R
＝4π×5
=100π．
跟踪训练
1
一个球的表面积是１６π，则它的体积是（
)
A
．64π
B.
＼
f(
６４π
，
3)
C
．
3
２π
D
．＼ｆ（３2π
，
3)
答案
D
解析
<
/p>
设球的半径为
R
,
则由题意可知
4π
R
＝16π，故<
/p>
R
＝
2.
所以球
的半径为
2,
体积
V
< br>=
错误
!
π
Ｒ
＝
错误
!
π.
题型二
球的截面问题
例２
平面
α
截球
O
的球面所得圆的半径为
1.
球心
O
到平面
α
的距离为
错误
!
，
则此球的
体积为
(
)
A
．＼
r(6
）π
B.４
错误
!
π
C.４
错误
!
π D.6
错误
!
π
答案
B
解析
如图
,
设截面圆的圆心为
Ｏ
′,
3
２
2
< br>2
M
为截面圆上任一点，
则
Ｏ
O
′＝
错误
!
，
Ｏ
′
M
=
１．
∴
Ｏ
M
=
错误
!
=
< br>错误
!
．
即球的半径为＼
r(3).
4
3
∴
V
=
π(
3
）
=4
错误
!
π．
3
跟踪训练２
已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为＼
r(3),
< br>＼ｒ
(
５）
,
< br>＼
r(
１
5)
< br>，
则它的
外接球表面积为
___
____
＿．
答案
9π
解析
如图，
是过长方体的一条体对角线
AB
的截面
,
设长方体有公共顶
2
/
13
球的体积和表面积附答案
点的三条棱的长分别为
ｘ
,
y
，
ｚ
,
则由已知，
得
错误
!
解得
错误
!
所以球的半径
R
=
错误
!
AB
＝
错误
!
错误
!
＝
错误
!
,
所以
S
球
=4π
R
=9π.
题型三
球的组合体与三视图
例
3
某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．
２
解
由三视图可知该几何体的下部是棱长为
2
的
正方体
,
上部是半径为１的半球
,
该几何体的
表面积为
Ｓ
＝
错误
!
×4π×1
２
+
６×2
2
-
π×1
２
=24
＋π．
该几何体的体积为
V
＝
2
3
＋
×
错误
!
π×１
< br>3
=
８
+
错误
!
.
跟踪训练
3
有三个球，第一个球内切
于正方体
,
第二个球与这个正方体各条棱相切
< br>,
第三个
球过这个正方体的各个顶点
,
求这三个球的表面积之比
.
解
设正方体的棱长为
a
.
①正方体的内切球球心
是正方体的中心
,
切点是正方体六个面的中心
,
经过四个切点及球心作截面，
3
/
13
1
2
球的体积和表面积附答案
如图
(1
）所示
,
则有
2
r
1
＝
a
，
即
r
1
=
＼ｆ
(
a,
2)
，所以
S
１
=4π
r
错误
!
=π
a
.
2
②球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面
,
如图
(2)
< br>所示
,
则
2
r
2
＝
错误
!
a
，即
r
２
=
错误
!
ａ
，
所以
Ｓ<
/p>
2
＝4π
r
错误
!
＝2π
a
.
③正方体的各个顶点在球面上
,
过球心作正方体的对角面得截面，
如图（
3)
所示，则有２
r
< br>3
＝
错误
!
a
,
即
r
3
＝
错误
!
a
,
所以
S<
/p>
3
=4π
ｒ
错误
!
＝3π
ａ
．
综上可得
S
1
∶
Ｓ
2
∶<
/p>
S
3
=1∶2∶3.
轴截面的应用
例
4
有一个倒圆锥形容器，它的轴截
面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为
r
的铁
球
,
并注入水，使水面没过铁球和球正好相切
,
然后将球取出
,
求这时容器中水的深度．
分析
分别表示出取出铁球前后水的体积→由水的体积不变建立等式→求出所求量
< br>.
２
２
4
/
13
球的体积和表面积附答案
解
如图，⊙
O
是球的最大截面
,
它内切于△
ABC
，球的半径为
r
.
设将球取出后，水平面在
MN
处<
/p>
,
M
Ｎ
与
CD
交于点
E
.
则
Ｄ
O
=
r
,
AD
＝
错误
!
r
,
Ａ
B
=
AC
=
ＢＣ
=2
错误
!
ｒ
，
< br>∴
CD
＝
3
r
.
由图形知
V
< br>圆锥
C
Ｅ
∶
V
圆锥
Ｃ
D
=
错误
!
∶
错误
!
=
CE
∶
Ｃ
D
.
３
3
又∵<
/p>
V
圆锥
Ｃ
D
＝
错误
!
(
错误
!
r
)
·3
r
=3π
r
,
２
3
V
圆锥
C
Ｅ
＝
V
圆锥
Ｃ
D
-
V
球
O
=3π
r
3
－
错误
!
π
ｒ
3
＝
错误
!
π
r
3
,<
/p>
∴
错误
!
∶3π
r
＝
CE<
/p>
∶(３
r
)
，∴
CE
＝
错误
!
ｒ
.
∴球从
容器中取出后
,
水的深度为
错误
!
ｒ
.
3
3
3
1.
直径为
6
的球
的表面积和体积分别是
( )
Ａ.36π,1４4π
B.36π，36π
C
．
14
４π,3６π
ﻩ
D.144π,144π
2
．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于
< br>(
)
Ａ．＼
f(
１
,
2)
B.1 C.2
D
．
3
3.
两个半径为
1
的实心铁球
,
熔化成一个球，这个大球的半径是＿＿＿＿
___
＿
.
4.
若球的半径由
R
增加为
2
Ｒ
，则这个球的体积变为原
来的＿
_____
＿＿倍，表面积变为原
来的
___
＿
____
倍
.
５
< br>.
某几何体的三视图如图所示
,
则其表面积为
________
．
5
/
13
球的体积和表面积附答案
一、选择题
1.
设正方体的表面积为
24,
那么其外接球的体积是（
）
A
．
错误
!
π
B.
错误
!
C.
４
错
误
!
π
D
．
32
错误
!
π
2.
一个正方体的八个顶点都在半径为
1
的球面上，则正方体的表面积为（
)
A.8
Ｂ
.8
2
Ｃ
.
８
错误
!
D.4
错误
!
3.
两个球的半径之比为
1∶3，那么两个球的表面积之比为
(
)
A.
１∶
9
B
．1∶２７
C.1∶３
D.1∶1
4
．设正方体的表面积为
2
４
cm
，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（
）
A.
＼ｒ
(6
）π ｃｍ
B.
错误
!
π
c
ｍ
π cm
5.
若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为
r
,
Ｒ
,
则球的表面积为
( )
A.4
π(
r
＋
R
)
Ｃ.4π
Ｒ
r
2
3
3
３
２
Ｃ
.
错误<
/p>
!
π
cｍ
D.
错误
!
3
B.4π
< br>r
R
D.π（
R
＋
r
)
2
２
2
６
.
已知底面边长为１，侧棱长为
错误
!
的正四棱柱的各顶点均在同一球面上
,
则该球的体积
为（
）
A.
错误
!
B
．4π
C.2π
D.
错误
!
π
6
/
13