n维球体的体积公式
-
n
维球体的体积递推公式
若用
V
n
表示
n
维半径为
1
的球体的体积，
则
n+1
维半径为
1
的球
体的体积为
< br>
V
n
1
2
2
0
V
n
cos
n
d
sin
（
1
）
本文简要地推导此递推公式。换言之，简要说明积分项为何为
V
n
cos
n
d
sin
。
首先看一维情形。当
n
< br>
1
时，球体的体积显然为其半径的两倍。
换言之，此时
V
n
2
。
再来看二维情
形。
二维球体（即我们通常所说的圆）可以认为是
这样从一维球
体拓展而成的：过一维球体的球心作一维球体的垂线。
沿此垂线慢慢向上平移一维球体，
在移动的过程中同时慢慢地收缩一
维球体，
以保证一维球体的边界点到球心的距离不变
（即使之始终等
于
1
）
。显然，向上移到某一位置（也
即移动一个单位长的距离）后，
一维球体的两边界点合二为一。
（若边界点继续向上移动，那将导致
边界点到球心的距离就会大于
1
了。
）如此这样也就得到了半个二维
球体，
即通常所说的一个半圆。
若如此这般从初始位置向下移
到一维
球体，即可得另外半个二维球体。这样二维球体的体积（也即我们常
说的面积）
也就等于初始的一维球体如此向上移动过程中所扫过的体
积的两倍，或者说是如此累积起来的所有的一维球体的“总体积”的
两倍
。
若用
表
示其中某一个一维球体的某一个边界点和球心的连线
与初始一维球体的夹角
（注：
因为所有如此得到的一维球体彼此平行，
且球
体是完全的对称体，
所以同一个一维球体上的各边界点与球心的
连线与所有的一维球体的夹角相等都为
。这一点对于高维空间
显然
也是成立的。
）
，则由三角知识可
得此一维球体的半径为
cos
。这样
，
此一维球体的一维体积就为
2
cos
。
因此，
它
在向上微微移动
d
sin
的
过程中所扫过的二维体积就为
2
cos
d
sin
。显然，此即二维情形下的
积分项。
与二维球体类似，
三维球体可以认为是二维球体
即我们通常所说
的圆的基础上这样拓展而成的：
过二维球体的球
心作此二维球体的垂
线。
沿此垂线慢慢向上平移二维球体，
在移动的过程中同时慢慢地收
缩二维球体，
以保证二维球体所有的边界点到球心的距离不变
（即使
之始终等
于
1
）
。向上移至某一位置后，二维球
体的边界点就会完全
收缩为一个点。
这样就得到了半个三维球体
，
即通常所说的一个半球
体。
显然，<
/p>
整个球体的体积就等于二维球体在上述过程中所扫过的体
积的两倍
。用
表示其中某一个二维球体的某一个边界点与球心的连
线与初始二维球体的夹角，由三角知识可导出此二维球体的半径为
c
os
。这样，此二维球体的二维体积就为
V
2
cos
2
。因此，它在向上
微微移动
d<
/p>
sin
的过程中所扫过的三维体积就为
V
2
cos
2
d
sin
。显然，
此即三维情形下的积分项。
采用同样的方法，
我们不仅可以构造出四维、五维的球体，而且
也可用
n
维球体构造出
n+1
维球体。
过
n
维球体的球心作此
n
维球体的垂线。
沿此垂线慢慢向上平移